依據(jù)遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法歸納目錄一、概述··································二、等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式··································等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程································2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程··································三、一般的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法··································1、公式法··································2、歸納猜想法··································3、累加法··································4、累乘法··································5、構(gòu)造新函數(shù)法(待定系數(shù)法）··································6、倒數(shù)變換法··································7、特征根法··································8、不動(dòng)點(diǎn)法·································9、換元法·································10、取對(duì)數(shù)法··································11、周期法··································一、概述在高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，數(shù)列作為離散函數(shù)的典型代表之一，不僅在高中數(shù)學(xué)中具有重要位置，而且，在現(xiàn)實(shí)生活中有著非常廣泛的作用，同時(shí)，數(shù)列的教學(xué)也是培養(yǎng)觀(guān)察、分析、歸納、猜想、邏輯推理以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的必不可少的重要途徑。數(shù)列這一章蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想及方法，如函數(shù)思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教學(xué)本身也包含著豐富的數(shù)學(xué)方法，掌握這些思想方法不僅可以增進(jìn)對(duì)數(shù)列概念、公式的理解，而且運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的過(guò)程，往往能誘發(fā)知識(shí)的遷移，使學(xué)生產(chǎn)生舉一反三、融會(huì)貫通的解決多數(shù)列問(wèn)題。在這一章主要用到了以下幾中數(shù)學(xué)方法：

1、不完全歸納法不完全歸納法不但可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀(guān)，而且可以幫助學(xué)生有效的解決問(wèn)題，在等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)的過(guò)程就用到了不完全歸納法。

2、倒敘相加法等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中，就根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)，很好的應(yīng)用了倒敘相加法，而且在這一章的很多問(wèn)題都直接或間接地用到了這種方法。

3、錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法是另一類(lèi)數(shù)列求和的方法，它主要應(yīng)用于求和的項(xiàng)之間通過(guò)一定的變形可以相互轉(zhuǎn)化，并且是多個(gè)數(shù)求和的問(wèn)題。等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)就用到了這種思想方法。

4、函數(shù)的思想方法數(shù)列本身就是一個(gè)特殊的函數(shù)，而且是離散的函數(shù)，因此在解題過(guò)程中，尤其在遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類(lèi)特殊的數(shù)列時(shí)，可以將它們看成一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題。

5、方程的思想方法數(shù)列這一章涉及了多個(gè)關(guān)于首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差、公比、第n項(xiàng)和前n項(xiàng)和這些量的數(shù)學(xué)公式，而公式本身就是一個(gè)等式，因此，在求這些數(shù)學(xué)量的過(guò)程中，可將它們看成相應(yīng)的已知量和未知數(shù)，通過(guò)公式建立關(guān)于求未知量的方程，可以使解題變得清晰、明了，而且簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。

二、等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)過(guò)程等差數(shù)列通項(xiàng)公式：可以從等差數(shù)列特點(diǎn)及定義來(lái)引入。

定義：n≥2時(shí)，有an－a(n－1)=d，則：

a2=a1＋d

a3=a2＋d=a1＋2d

a4=a3＋d=a1＋3d

a5=a4＋d=a1＋4d

……

猜測(cè)并寫(xiě)出an=？

采取累加a2－a1=da3－a2=da4－a3=d……an－a(n－1)=d累加后，有：an－a1=(n－1)d，即：an=a1＋(n－1)d。等差數(shù)列前n項(xiàng)和：方法一：高斯算法（即首尾相加法）1+2+3+…+50+51+…+98+99+100=？1+100=101，2+99=101，…,50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050則利用高斯算法，容易進(jìn)行類(lèi)比，過(guò)程如下：其中這里用到了等差數(shù)列的性質(zhì)：?jiǎn)栴}是一共有多少個(gè)，學(xué)生自然想到對(duì)n取奇偶進(jìn)行討論。（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：分析到這里發(fā)現(xiàn)“落單”了，似乎遇到了阻礙，此時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生不能放棄，在老師的適當(dāng)引導(dǎo)下，不難發(fā)現(xiàn)，的角標(biāo)與角標(biāo)的關(guān)系從而得到，無(wú)論n取奇數(shù)還是偶數(shù)，總結(jié)：（1）類(lèi)比高斯算法將首尾分組進(jìn)行“配對(duì)”，發(fā)現(xiàn)需要對(duì)n取奇偶進(jìn)行討論，思路自然，容易掌握。（2）不少資料對(duì)n取奇數(shù)時(shí)的處理辦法是，當(dāng)討論進(jìn)行不下去時(shí)轉(zhuǎn)向?qū)で笃渌鉀Q辦法，進(jìn)而引出倒序相加求和法。方法二：對(duì)n的奇偶進(jìn)行討論有點(diǎn)麻煩，能否回避對(duì)n的討論呢？接下來(lái)給出實(shí)際問(wèn)題：伐木工人是如何快速計(jì)算堆放在木場(chǎng)的木頭根數(shù)呢？由此引入倒序相加求和法。兩式相加得：總結(jié)：（1）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要最優(yōu)化的學(xué)習(xí)，因此引導(dǎo)學(xué)生去尋求更有效的解決辦法，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)也體會(huì)到同一個(gè)問(wèn)題有不同的解決辦法，而我們需要的是具備高效率的方法。倒序相加求和法是重要的數(shù)學(xué)思想，方法比公式本身更為重要，為以后數(shù)列求和的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。（3）在過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美。三、一般的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法公式法例1、已知無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且，求的通項(xiàng)公式？【解析】：，，，又，.反思：利用相關(guān)數(shù)列與的關(guān)系：,與提設(shè)條件，建立遞推關(guān)系，是本題求解的關(guān)鍵.歸納猜想法：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法.例2、已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】：，，，猜測(cè)，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.（略）反思：用歸納法求遞推數(shù)列，首先要熟悉一般數(shù)列的通項(xiàng)公式，再就是一定要用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.三、累加法：利用求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為累加法。累加法是求型如的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（可求前項(xiàng)和）.例3、已知無(wú)窮數(shù)列的的通項(xiàng)公式是，若數(shù)列滿(mǎn)足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】：,,=1++...+=.反思:用累加法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為。四、累乘法:利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為累乘法,累乘法是求型如:的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法(數(shù)列可求前項(xiàng)積)。例4、已知,,求數(shù)列通項(xiàng)公式.【解析】：,,又有=1×=,當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，.反思:用累乘法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為.五、構(gòu)造新數(shù)列（待定系數(shù)法）:將遞推公式（為常數(shù)，，）通過(guò)與原遞推公式恒等變成的方法叫構(gòu)造新數(shù)列，也即是待定系數(shù)法。例5、已知數(shù)列中,,,求的通項(xiàng)公式.【解析】:利用,求得,是首項(xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列,即,反思：構(gòu)造新數(shù)列的實(shí)質(zhì)是通過(guò)來(lái)構(gòu)造一個(gè)我們所熟知的等差或等比數(shù)列.六、倒數(shù)變換：將遞推數(shù)列,取倒數(shù)變成的形式的方法叫倒數(shù)變換。然后就轉(zhuǎn)變?yōu)榈谖宸N情況，此時(shí)將數(shù)列看成一個(gè)新的數(shù)列，即再利用“構(gòu)造新數(shù)列”的方法求解。例6、已知數(shù)列中,,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】:將取倒數(shù)得:,,是以為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列.,.反思:倒數(shù)變換有兩個(gè)要點(diǎn)需要注意:一是取倒數(shù).二是一定要注意新數(shù)列的首項(xiàng),公差或公比變化了。七、特征根法：形如遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。對(duì)于由遞推公式，有給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。例7:數(shù)列滿(mǎn)足，,求【解析】：由題可知數(shù)列的特征方程是：。,。又由，于是故反思：本題解題的關(guān)鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出A,B的用已知量a,b表示的值，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式。八、不動(dòng)點(diǎn)法若A,B且AD-BC，解,設(shè)為其兩根=1\*ROMANI、若，數(shù)列是等比數(shù)列；=2\*ROMANII、若，數(shù)列是等差數(shù)列。例8、已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式?！窘馕觥浚毫?，得，則x=1是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)樗?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，故。反思：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等差數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。九、換元法即是將一復(fù)雜的整體用一個(gè)新的符號(hào)來(lái)表示，從而使遞推數(shù)列看起來(lái)更簡(jiǎn)單，更易找到解決的方法。例9、已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式?！窘馕觥浚毫?，則故代入得即因?yàn)?，故則，即，可化為，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，則+3，即，得。反思：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。十、取對(duì)數(shù)法：形如這種類(lèi)型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用構(gòu)造新數(shù)列（待定系數(shù)法）求解。例10：已知數(shù)列｛｝中，，求數(shù)列。