高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第七版第七章課后習(xí)題答案解析

第七章

微分方程

習(xí)題7-微分方程的基本概念

&1.試說出下列各微分方程的階數(shù)：

(1)x(y')2-2yy'+x=0；(2)xiy"-xy'+y=0；

(3)W+2y"+/y=o；(4)(7x-6y)dx+(i+))dv=0；

(5)-普+嗯+g=0；(6)累+p=sinb

dtdrCd，

解(1)一階；(2)二階；(3)三階；(4)一階；(5)二階；(6)一階.

22.指出下列各題中的函數(shù)是否為所給微分方程的解：

(1)xy'=2>,>=5.J；

(2)y"+>=0,y=3sinx-4cosx；

(3)yn-2y'+y=O,y=x2e,；

wA,AA,

(4)y-(A1+A2)7*+A?A2y=0,y=C1e+C,e\

解(1)由y=5寸,得)'=10".個(gè)'=10/=2),故>=5/是所給微分方程的解.

(2)ill)=3sinx-4cosx,得yr=3cosx+4sinx,進(jìn)而得

>"=-3sinx+4rosx,

于是

)‘"+)’=(-3sinx-k4cosx)+(3sinx-4cosx)=0.

故y=3sinx-4cosx是所給微分方程的解

(3)由y=x2e\fyy'=2*e'+"%’=(2*+/)/.進(jìn)而得

/=(2+2x)e"+(2x+x2)e1=(2+4x+x2)e\

于是

/-2yr+y=［(2+4x+x?)-2(2*+./)+.r2>l=2eB5*0.

故不是所給微分方程的解.

(4)由”+。2尸\得>'=認(rèn)。尸"?人26」”，進(jìn)而得

>"=入；小…+人沁…，

于是

y”-⑶+入2)>'+人iZ

=AjC)eA,1+AC2cA?1-A1(A1+入？)'一八］(人［+4.

A1A2G"'+入i入2c2公"=0.

第七章微分方程243

故)二是所給微分方程的解.

23.在下列各題中.驗(yàn)證所給：元方程所確定的函數(shù)為所給微分方程的解：

r22

(1)(X-2y)y=2x-ytx-xy+y=C；

(2)(町?x))"+K>'2+yy'-2y'=0,y=ln(xy).

解(l)在方程/-v+y?=C兩端對(duì)x求導(dǎo)，得

2x-(y+xy')+2y>'=0,

即(x-2,)v'=2x->.故所給二元方程所確定的函數(shù)是微分方程的解.

(2)在方程)=ln(x>)兩端對(duì)1求導(dǎo)，得

町

即⑺7)y'->=0,再在上式兩揣對(duì)“求導(dǎo)，得

(y+-1)yr+(xy-x)yK-y*=0.

即(D-x))"+x/2+n，_2)，=0.故所給二元方程所確定的函數(shù)是所給微分方程的

解.

%4.在下列各題中.確定函數(shù)關(guān)系式中所含的參數(shù),使函數(shù)滿足所給的初值

條件：

(1)X2-Y2=。.>|…0=5；

2#

(2)y=(Cj+C2x)e\)|,a0=0,y|,a0=I；

(3))，=6：“(一?2),兒=,=1,>1=”=0.

解(?)由>l-o=5.將x=0.)=5代入函數(shù)關(guān)系中,得C=-25,即

x2-/=-25.

(2)由y=(C,+G])e2[得

>'=(C2+2G+2C2])e2,

將x=0.),=0及)J=1代人以上兩式，得

[0=g,

ll=G+2C|,

故C'I=0,C'2=?，>=x?2a-

(3)由)=C]sin(*-G)，得

y*-C,cos(x-C2).

將X=",1=1及y'=0代人以上兩式，得

fI=C|sin(IT-C2)=C1sinC2,①

lo=C|cos(ir-C2)=-C|cosC2.②

由①2+2/得C；=1,不妨取C,=I,由①式得g=2U+',故

244一、《高等數(shù)學(xué)》（第七版）上冊(cè)習(xí)題全解

y-sin(x-2kir--yj=-cosx.

注取a=-i,可得相同的結(jié)果.

25.寫出由下列條件確定的曲線所滿足的微分方程：

（1）曲線在點(diǎn)（X,））處的切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方；

（2）曲線上點(diǎn)P（x,））處的法線與X軸的交點(diǎn)為。,且線段PQ被）軸平分.

解（1）設(shè)曲線方程為）=>（x）.它在點(diǎn)（》.））處的切線斜率為）',依條件.有

此為曲線方程所滿足的微分方程.

（2）設(shè)曲線方程為》=>（“）’因它在點(diǎn)巴”,>）處的切線斜率為，'，故該點(diǎn)處法

線斜率為

y

由條件知〃。之中點(diǎn)位于）軸上，故點(diǎn)。的坐標(biāo)是（-x.0）.于是仃

—>：----0---=——1.

X-（-X）

即微分方程為y>'+2a=0.

叵6.用微分方程表示一物理命題：某種氣體的氣壓戶對(duì)于溫度T的變化率與氣壓成

正比?與溫度的平方成反比.

Ap

解因《與P成正比.與T2成反比，若比例系數(shù)為*.則有

（1/

dP=,P

"TT；卜

drT2

值7?一個(gè)半球體形狀的雪堆,其體積融化率。半球而面枳.1成正比.比例系數(shù)A>0.

假設(shè)在融化過程中雪堆始終保持半球體形狀.已知半徑為%的雪堆住開始融化的3

小時(shí)內(nèi),融化r式體積的v.問雪堆全部做化需要多少時(shí)間？

O

解設(shè)為堆在時(shí)刻，的體積為I側(cè)面積S=2”.由題設(shè)知

(1V_9(Jr,c.?

=2irr'—=-kb=-2irkr~,

(1/d/

于是

業(yè)=-A-.

(1/

積分得

r=-kt+C.

illrI=Q,得C=勺，/=Q-k?又『|■I'即］3Q'=

Irs3*i=0，

第七章微分方程245

12aI

-g~,反叫,得k=-r0?從而

I

r=ro-不d

因雪堆全部融化時(shí),r=0?故得"6.即雪堆全部融化需6小時(shí).

后國(guó)昆4可分離變量的微分方程

41.求卜列微分方程的通解：

(1)xy1-yiny=0；(2)3x2+5x-5/=0；

(3)/1-x2/=/1-/；(4)/-x/=a(y2+>')；

(5)sec2xtanydx+sec2)tanxdy=0；(6)4=10*'；

dx

(7)(e1*'-e*)dx+(e1*'+er)dy=0；(8)cos.rsinyd.v+sinxcosydy=0；

(9)(y+l):半+/=0；(10)ydi+(x2-4x)dy=0.

(lx

解(1)原方程為X半->lny=o.分離變顯得

dx

d)_d.r

yin/x'

兩端積分得

In|Iny|=In|x|+InCj=In|C)x|(6)>0),

即ln>=±C,*.故通解為Iny=(：x.即y=e’*。.

(2)原方程可寫成5y'=3/+5.r,積分得5>=/+]/+g,即通解為

-2+(=，)?

⑶原方程為/lF半=/l分離變1ft得

兩端積分得arcsin）=arcsinx+C.l!|l為原方程的通解.

⑷原方程可寫成（一…之…，分離變址得

I由，，曰I也是原方程In,。的斛，囚此方程的解加＞=士C.中，G可戰(zhàn)取作0.從而通

解為Iny/是任怠南效），即y=L以卜詣即通解中的店牧仃也仃類似情況，何不出說明.

246一、《高等數(shù)學(xué)》（第七版）上冊(cè)習(xí)題全解

兩端枳分得

——=-alnI1-x-aI-C,

y

即y=~~!~「:是原方程的通解?

(5)原方程分離變屬.得

2％一處也

tanytanx

兩端積分得

In|tany|=-In?tanx|+InC1,

可寫成In|Iany?tanx|=InC,,BPtany?tanx=土C]，故原方程的通解為

tany,tanx=C.

(6)原方程分離變fit,得io7dy=i(rdx,兩端積分得

107101/、

-hno=hHb+6'-

可寫成10'+107=C(C=-CJn10).

(7)原方程為e*(e，-l)dx+e，(e*+l)d>=0.分離變域得

兩端積分得

In|e"-I|=-ln(e*+1)+In%,

或?qū)懗蒷n|(T+l)(e，-1)|=lnC],即(e"+1)(4-I)=±G,故原方程的通解為

(e*+l)(e，-1)=C.

(8)原方程分離變Id,得手』d>=-=dx.兩端積分得

sinysinx

In|sin)|=-!n|sinx\4-InC),

即In|sinysinx|=InCx，或?qū)懗蓅inysinx=±C；,故原方程的通解為sin>>ini=

(9)原方程分離變革，得(y*l)2小=兩端積分得

：(y+l)3=+C|,

54

故原方程的通解為3/+4(y+l?=C(C=12C,).

(10)原方程分離變tt.得匕=二包。，兩端積分得

y4.r-xl

|小|=jrr^=+J(占+:)也

第七章微分方程247

=^-(In|x|-In|4-x|)+Ing=-^-lnI—I+InC,,

4-x

即Iniy4(4-x)|=h/4C|x|.或?qū)懗?4-x)=±4ax.故原方程的通斛為

/(4-x)=Cx.

22.求下列微分方程滿足所給初值條件的特解：

，21

(1)y=e-\y|1.o=O；

(2)cosxsinydy=cosysinxdx|xs0=--；

(3)y*sinx=yiny.y|t=e；

(4)cosvdx+(1+e)sinydy=0,>|=?;

xs04

(5)xdy+2ydx=0,y；,.2二1?

解(1)分離變址，得e'dj二一1k，兩端枳分得

由yl..o=0,得】=e。=ge。+C.故C=g-.即得e‘T(e"+1),于是所求特解

+IJ,+1

為>=In---?

(2)分離變量?得lan)d>=lanxdx,兩端枳分得

-In|cosy|=-In|cosx|-InC|,

即cosy=CeosX.代入初值條件:i=0,y=學(xué),得午=C,于是

^cosy-cosx

為所求特解.

(3)分離變也得普=占，兩端積分得

yinysinx

即Iny=Clan:代入初值條件：*=，,y=a,得1=C.于是

y=小小

為所求特解.

(4)分離變得上一＜k=-lan)山，兩端枳分得

e+I

ln(e1+I)=In|cosy|+Ing,

即e?1=C＜：O8＞.代入初值條件：4=o,y=/力2=C?亨，得C=2。，于是

248一、《高等數(shù)學(xué)》(第七版)上冊(cè)習(xí)題全解

ex+1=2Jlcosy,

HP(ex+l)secy=2々為所求特解.

(5)分離變最，得如二-2包，兩端積分得

y4

In|y|=-21n|xI+InC)=Inx-2+In,

即/y=C.代入初值條件：#=2.>=1,得C=4.故所求特解為=4.

值3.有一盛滿了水的留錐形漏斗，高為10cm,頂角為60,漏斗下面有面積為0.5(小

的孔,求水面高度變化的規(guī)律及流完所需的時(shí)間.

解水從孔口流出的流顯Q是單位時(shí)間內(nèi)流出孔【」的水的體積.即Q=學(xué).又從

at

力學(xué)知道，Q=0.62S&不.其中0.62為流仙?系數(shù).S為孔口截面積.g為重力加速

度/為水面到孔口的高度.于是有

羋=0.62S/Igh.

lit

即

dV=0.62S(1)

設(shè)在時(shí)刻,,水面高度為/?二〃(，).從圖7-1中可見,x=?an30<=亭.「是在

時(shí)間間隔［，,，+出］內(nèi)漏斗流出的水的體積,即水體積的改變量

dV=-Trx2i\h=-2dh.(2)

M7-I

由(1),(2)式得微分方程

0.624Sy2flhih=—y-A2(l//.

并有初值條件川”0=10.

由微分方程分離變AL得

(1/---------------h?(IA,

3x0.62.S/2g

250一、《高等數(shù)學(xué)》(第七版)上冊(cè)習(xí)題全解

解設(shè)曲線方程為y=y(*),切點(diǎn)為(x,y).依條件.切線在x軸與y軸上的截距

分別為為與2〉.于是切線的斜率

/=_y_

J0-2xX

分離變量得

dvdx

yx

積分得InIy|=-In|x|+InG,即q=C.代入初值條件x=2,>=3,得C=6,故曲線

方程為xy=6.

第7.小船從河邊點(diǎn)。處出發(fā)駛向?qū)Π?兩岸為平行f1線).設(shè)船速為〃,船行方向始終

與河岸垂直,又設(shè)河寬為R河中任一點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離的乘積成正

比(比例系數(shù)為A).求小船的航行路線.

解設(shè)小船的航行路線為

7=/=工y(⑺/).,

則在時(shí)刻，，小船的實(shí)際航行速度為。。)=("(),>()),其中<(“)=3(6-1)為

水的流速j'a)=?為小船的主動(dòng)速度.

由于小船航行路線的切線方向就是小船的實(shí)際速度方向(圖7-2).故仃

Ay=>'(/_a

dx=/⑺=ky(h->)*

分離變盤，得dx=上>(/—>)d>,積分得

a

x=-J(hy-y2)dy

JU，

由于小船始發(fā)于點(diǎn)(0.0).代人.?■=0,y=0,得C=0,故小船航行的路線的方程為

第七章微分方程251

齷國(guó)齊次方程

Eal.求下列齊次方程的通解：

(I)--y-，產(chǎn)-『=0；(2)x^=ylnZ;

(3)(x2+y2)dx-xydy=0；(4)(x3+y3)dx-3xy2d>=0；

(5)(2.vsin上+3vcos上卜b-3xcos—dy=0；

(6)(I+2e7)dx+2G[I-土卜1>=0.

解(1)當(dāng)x>0時(shí)，可將原方程寫成y=十+7仔^7,令U=q■，即y=xu,

有/=〃+X履',則原方程成為U+xu*=n+y?2-1,分離變M；,得

dudx

萬G"1，

積分得

IniM+J--]|=In|x|+InC),

即

U+y/u2-1=Cx(C=±C|).

將u=上代人上式并整理.得方程在(0.+8)內(nèi)的通解

X

>+y/y2-X2=Cx2.

當(dāng)”時(shí),原方程可寫作y'=5--1,令u=5,可變形為

<ludx

不〒丁

枳分得

In|u+'/u2-\|=lnC|-In|x|?

即“+\fu^-I=C=±C.)

x

將"十代人上式并整理?得方程在(一8，。)內(nèi)的通解y-J7=c.

252一、《高等數(shù)學(xué)》（第七版）上冊(cè)習(xí)題全解

(2)原方程可表示成半=1n±,令u=2.即y=%有￥=u+x半,則原方

QXxxxdxdx

程成為M+X=uln”,分離變&t.得

dx

dudx

w(Inu-I)x

積分得

In|Inu-I|=In|x|+Ing,

即

Inu-i=±C|X.

將u=Z代人上式，得

X

In--=±C.x+1.

x

故通解為

In'=Cx+I.

x

(3)原方程可表示為(j+十卜'X一d)=0.令”=十.即、―{}dy=udx+

Md%則原方程成為

(—+ajdx-(M<IX+xdu)=0.

即“八=包.積分得

X

y=ln|^l+G?

將〃=上代人上式并整理，得通解

x

2

r=x(2ln|x|+C).

(4)原方程可寫成/(.+：)(h-小=0.令”=5.即)=XU，有小=udx+

xdu.則原方.程成為1+〃,.《-(u<h+xi\u)=0.分離變ht,得

積分得

-In|1-2”3|=In|x|+Ing.

即

第七條微分方程253

I-2uy=±

中

將〃=上代人上式并整理,得通解

x

--2y3=Cx.

(5)原方,程可寫成;Tan'+'-['=0.令〃=-L.即)=X"，仃?.二〃+x半，

3xxdxxdx<ix

則原方程成為;Ian=0.分離變得

3\axj

3du_d.r

2tanux'

積分得

3

31nsint/|=In|x|+lnC(,

即

sin'u-±C|X.

將"=上代入上式,得通解sin，Z=C/.

Xx

(6)原方程可"；成'(1+2”)+2e~(1-1)=0.令"='，即x=yii,彳j，二

dyyydy

〃+)半,則原方程成為

(”+/華)"+2*")+2eu(l-u)=0.

整理并分離變盤，得

u

d--(--M---+---2--v---)+...i.\.y.-y

u+2e°y

枳分得

In|w+2e**|+In|y|=In(\,

即

y(u+2eM)=±C).

將)代入卜式，得通解

y

x+2y?*1=C.

日2,求卜列齊次方程滿足所給初值條件的特條:

254一、《高等數(shù)學(xué)》(第七版)上冊(cè)習(xí)題全解

22

(1)(y-3x)dy+2xydx=O,y|x=o=l；

(2)y'=—+—,yl>=2；

yxIS

2222

(3)(x+2xy-y)dx+(y+2xy-x)dy=0|,=)=1.

解⑴原方程可寫成1-3與+2三半=0.令"二,即有半=〃+

『yd>yd>

4,則原方程成為

I-3u2+2++泮卜

分離變量，得

孚-九=立.

u2-1y

積分得

ln|u2-1|=ln|y|+lnCj.

即

u2-1=C>.

代人〃==并整理,得通解?一/二分.由初值條件,得。=-1.于是所

y

求特解為

y3=尸_"2

(2)令〃二上?,有則原方程成為〃+m'=1+〃.分離變量.得

XU

udu=—.積分得

x

=In|x|+C.

將〃二二代人上式并整理，得通解

x

2

>2=2x(ln|x|+C).

代人初值條件x=1,y=2.解得C=2.于是所求特蒯為

『=2/(Inx+2).

(3)將原方程寫成

令"=上.E半="+*乎,則原方程成為

xaxdx

第七章微分方程255

duI+2u-M2

〃+X,+-2--------=t

d*〃-+2〃-1

整理并分離變耳，得

I-2u-u',d*

—z-------------du=——

w+M*+?+1%

積分得

TW;j=1

d"=](u/1J+J|du

/M34-M*+U+1JLU'

=In---=InIxI+InC,

u2+i

故

u+1

—z----=LX.

u24-I

代人”=工并整理，得通解［r=C.以初值條件X=1,y=1定出C=1.故所求特

x+X~

斛為

3.設(shè)育連結(jié)點(diǎn)0(0.0)和A(1J)的一段向上凸的曲線弧蘇,對(duì)于加上任一點(diǎn)

〃(3>),曲線弧石，。f［線段而所闈圖形的面積為求曲線弧蘇的方程.

解設(shè)曲線弧的方程為>=>(1).依題意,有

J)y(%)<b--xy{x)-x-.

上式兩端對(duì)x求導(dǎo).

y(“)-9y(*)_=21,

即得微分方程

y*=----4.

x

令“=>,〃?="+X半，則微分方程成為

X(JXtlx

dfi_4

dxx

枳分得

=-4lnx+C,

因u=±，故有

256一、《高等數(shù)學(xué)》（第七版）上冊(cè)習(xí)題全解

、=4(-4ln.r+C).

又因曲線過點(diǎn)4(1,1),故1=C.于是得曲線弧的方程

y=x(1-4lnx).

%"4.化下列方程為齊次方程，并求出通解:

(1)(2*-5)+3)ck-(2x+4y-6)dv=0；

(2)(.r-y-1)d.r+(4y+X-1)d)=0；

(3)(3y-7x+7)dx(7)-3x+3)dy=0；

(4)(x+y)dx+(3x+3)-4)<1v=0.

解(1)令X=X+八￥=>'+A,則dv=(IX,dj=",且原方程成為

(2X-5y+2/|-Sk+3)dK-(2V+4>+2h+4A-6)<H=0.

令

(2h-5A-+3=0.

[2h+4A-6=0.

解此方程組得6=LA=L故在變換x=++1下原方程化為(2\-5))d\

-(2X+4Y)dy=0,即

2-5—

i\Y_2A-51_~\

<LV=2A+4)=~~~~Y'

2+4天

乂令"=<.有黑="+X旦則原方程成為

XdAcl4

加|+2尸(4“-I)|=-ln|A'I+1”(：2((：2=C：).

即

第七章微分方程257

(u+2)2(4〃-I)X3=士Q,

因，，=1.故上式成為

2

(21+y)(4K-X)=±c2.

代人'.=x-1.y=，-1.得原方程的通解

(2x+)-3)2(4)7-3)=C.

(2)將原方程寫成

dy_-jr+y+Iy-(x-1)

dx4y+x-14y+(x-1),

令K=X-I,Y=,,則d>=dy.d*=dx,且原方程化為

d>Y-X_Y/X-1

dA=4F+^=4J7A+I'

乂令”=。.有1=u+X?I則原方程成為

A<1Ad.\

4u+1.I]

—；----<iu+—(IA=0.

4u2+IX

枳分

4M匕)d"+償

4u2+14〃

=；ln(4〃2+1)+；arctan(2u)+In|A|=g,

即In|九2(4〃-+1)]+arrtan(2u)=C(C=2C1).將〃二七代人上式，得原方

程的通解

ln|4y2+(x-1產(chǎn)】+arctan~彳=C.

(3)令*=X+/,」=y+A,則<卜=dx.dy=",且原方程成為

(3K-7X+3A-lh+7)<JJ+(1Y-3X+7k-3h+3)dY=0.

令

f3^-7/i+7=0,

[7^-36+3=0.

解此方程組，得〃=l,A=0.故在變換4=X+1,y=丫卜，原方程化為(3Y-7X)JY+

(7r-3X)dV=0.即

<1)7\-3)_7-3Y/X

<1\7>-3\=7)/7-3

乂令U=，存黑="+xM則原方程成為

\(JA<14

258一、《高等數(shù)學(xué)》（第七版）上冊(cè)習(xí)題全解

Y業(yè)—7-3〃

dX=H不

積分

=7

/(^T+7TT)du~/T

得

2In|u-1I+5lnju+I|=-7ln|A|+InC1.

即X'(u-1)2("+1)’=±C).將u=4=3?代人上式，得原方程的通解

AX—1

(y-x+l)2(y+x-I)5=C.

(4)將原方程寫成學(xué)=”、(該方程園于半=/(,“+8+c)類型.解此

dx4-3(x+y)\dr

類方程，一般可令u=ax+by+cj.令"=*+>.則半=半-1.且原方程成為

dxdx

duu

d；-1

即

亞=2dx.

u-2

積分得3u+2ln|“-2|=2#+C.將〃=x+)代人上式?得原方程的通解

x+3V+2)n|.r+y-2|=C.

一階線性微分方程

圖1.求下列微分方程的通解:

(1)半+>“7；

(2).1)，+、=v2+3x+2；

ax

(3)y'+ycosx=e-*,n*；(4)y*+ytanx=sin2x；

(5)(x2-I)y*+2xy-cosx=0；(6)半+3p=2；

de

(7)'I'+2x)=4x;

(8)vln)d.i+(.、-hii)d>=0；

ax

(9)(工-2)步=>+2(*-2)\(io)(/-6x)?+2>=o.

第七章微分方程259

dx

解(1)》=e-拄[卜?”?e/<k+(：]=e-'(k7-e*ck+C)

=e'1(x+C).

i9

(2)將方程改寫成>'+工？='+3+上，則

xx

y=e-/7<,,jX+3+—je/7dxdx+cj=j(#+3+—jxdx+cj

=y[J(x2+3x+2)dx+4=:('+Tx2+2x+0)

x23xcC

32x

ro><d,

(3)y=e-/(卜一.Jp*d、dx+C)=e-(1e-.n,.e..n?dx+

=e-Mn,(x+C).

(4)y=e-/,"nld，(Jsin2xehnxdMx+C)

=cos無(|*+c)=cosJlsinxdx+C)

=CeosX-2cos2%.

(5)將原方程寫成>'+弟■>=等￡,則

>=<?-信*(J詈