高中數(shù)學(xué)函數(shù)的概念、基本初等函數(shù)及函數(shù)的應(yīng)用教案（理科）

___________________第二章

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第一節(jié)函數(shù)及其表示

1.函數(shù)的概念及其表示

(1)了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；

了解映射的概念.

(2)在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象

法、列表法、解析法)表示函數(shù).

2.分段函數(shù)及其應(yīng)用

了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

ZHISHIHUIGU................

抓主干?知識(shí)回顧＞穩(wěn)固根基

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)與映射的概念

函數(shù)映射

兩集合A,

設(shè)A、B是兩個(gè)非空的數(shù)集設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合

B

如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系/,使對(duì)如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系力使對(duì)

對(duì)應(yīng)關(guān)系

于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合

/：4fB

中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)

稱f：AfB為從集合A到集合B的一稱f：-f8為從集合A到集合B的一

名稱

個(gè)函數(shù)個(gè)映射

易誤提醒易混“函數(shù)”與“映射”的概念：函數(shù)是特殊的映射，映射不一定是函數(shù)，從

4到8的一個(gè)映射，4、8若不是數(shù)集，則這個(gè)映射便不是函數(shù).

［自測(cè)練習(xí)］

1.下列圖形可以表示函數(shù)y=/(x)圖象的是()

解析：本題考查函數(shù)的概念，根據(jù)函數(shù)的概念，定義域中一個(gè)X只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y,所以

排除A,B,C,故選D.

答案：D

知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的定義域、值域

(1)在函數(shù)y=/a),XGA中，自變量X的取值范圍(數(shù)集A)叫作函數(shù)的定義域;函數(shù)值的

集合"(x)lxCA｝叫作函數(shù)的值域.

(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù).

2.函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

3.分段函數(shù)

(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因圖遨系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，

這種函數(shù)稱為分段函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的無(wú)集，其值域等于各段函數(shù)的值域的在

集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).

易誤提醒(1)解決函數(shù)的一些問(wèn)題時(shí)，易忽視“定義域優(yōu)先”的原則.

(2)誤把分段函數(shù)理解為幾個(gè)函數(shù)組成.

必備方法求函數(shù)解析式的四種常用方法

(1)配湊法：由已知條件/(原x))=F(x),可將F(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替

代g(x),便得了(X)的表達(dá)式；

(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類(lèi)型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法；函數(shù)的實(shí)

際應(yīng)用問(wèn)題多用此法；

(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)兒?(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍;

(4)解方程組法：已知關(guān)于五x)與./Q)或/(一X)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外

一個(gè)等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出了(X).

［自測(cè)練習(xí)］

2.(2016?貴陽(yáng)期末)函數(shù)f(x)=log2(x+l)的定義域?yàn)?)

A.(0,+°°)B.［―1,+°0)

C.(-1,+8)D.(1,4-oo)

解析：由x+l>0知x>—1,故選C.

答案：C

3.7(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是()

A./(尢)=:/—1與g(x)=Nx-11

B./(犬)=工與g(x)=/7j7y

C.y=x與y=(/)2

D.f(x)=E與g(x)=H

解析：選項(xiàng)A,C中的函數(shù)定義域不同，選項(xiàng)D的函數(shù)解析式不同，只有選項(xiàng)B正確.

答案：B

V+1,xWO,

4.若函數(shù)f(x)=11八則用(2))=()

log-^r,x>0,

A.-1B.2

C.1D.0

解析：本題考查分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求值.由已知條件可知，/(2)=log?=-l,所

以W(2))=/(—l)=(-1尸+1=2,故選B.

答案：A

KAODIANYANJIU..........

?考點(diǎn)研究》強(qiáng)技提能

考點(diǎn)一四教的定義域問(wèn)題|勤。熊標(biāo)N希

函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量取值的集合，它是函數(shù)不可缺少的組成部分，歸

納起來(lái)常見(jiàn)的命題探究角度有：

1.求給定函數(shù)解析式的定義域；

2.已知/(x)的定義域，求Kg(x))的定義域;

3.已知定義域確定參數(shù)問(wèn)題.

探究一求給定解析式的定義域

3x

1.(2015?江西重點(diǎn)中學(xué)一聯(lián))函數(shù)/度)=卜lg(3-x)的定義域是()

yJx—2

A.(3,+°°)B.(2,3)

C.⑵3)D.(2,+00)

X—2>0,

解析：本題考查函數(shù)的定義域.由題意得，解得2<x<3,故選B.

、3—x>0,

答案：B

探究二已知f(x)的定義域，求式g(x))的定義域

2.若函數(shù)y=/(x)的定義域是[0,3],則函數(shù)以力=型2的定義域是()

X—1

A.[0,1)B.[0,1]

C.[0,1)U(1,9]D.(0,1)

0W3xW3,

解析：依題意得彳即0<x<l,因此函數(shù)g(x)的定義域是[0,1),故選A.

/一iro,

答案：A

探究三已知定義域求參數(shù)范圍問(wèn)題

3.若函數(shù)/(》)=勺2爐+2。-a—1的定義域?yàn)镽,則a的取值范圍為.

解析：函數(shù)?r)的定義域?yàn)镽,所以2K+2ax-a—120對(duì)xWR恒成立，即2K+2ax

一￡+2以一恒成立，因此有[=(2。)2+44?0,解得一IWaWO.

答案：LLO]

》規(guī)律方法

函數(shù)定義域的三種類(lèi)型及求法

(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解.

(2)對(duì)實(shí)際問(wèn)題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解.

(3)若已知函數(shù)兀r)的定義域?yàn)閇。，切，則函數(shù)_/(g(x))的定義域由不等式a<g(力46求出.

考點(diǎn)二函數(shù)努析式的求法帛睛居

[典題悟法]

典例(1)已知/(I—cosx)=sin2x,求/(x)的解析式；

(2)已知/(x)是二次函數(shù)且式0)=2,/U+1)]/㈤=x—1,求/U)的解析式;

(3)已知/(x)+O=x(x70),求?x)的解析式.

[解](1)/(1—cosx)=sin2x=1—cos2x,

令/=1—cosx,則cosx=l—r,re[0,2],

???/(。=1一(1一。2=2/一匕石02],

即f(x)=2x—x2,xE[0,2].

(2)設(shè)由/(0)=2,得c=2,

22

f(x+l)-f(x)=a(x+l)+b(x+l)-ajc-bx=x-lf即2ax+a+b=x~l,

12a=1,[a=2,

〃+b=—1,3

lZ,=-2-

，/(x)=*-|x+2.

(3)V/(x)+=x,....0+2/U)=p

f/W+2/Q=x,

解方程組1

K3+2/(X)=:

2x

得f(x)=*_§(x#0).

》規(guī)律方法

函數(shù)解析式求法中的一個(gè)注意點(diǎn)

利用換元法求解析式后易忽視函數(shù)的定義域，即換元字母的范圍.

[演練沖關(guān)]

求下列函數(shù)的解析式：

(1)已知/0+l)=lgX,求了(X)；

(2)2Ax)-/(-x)=lg(x+1),求人尤).

22

解：(1)令/=;+1,貝可x==p

22

.V(r)=lg—,即f(x)=lgT(X>I).

t~1X—1

(2)V2/-(x)-/(-x)=lg(A-+l),

.??2/(-x)-/(x)=lg(l-x).

2KM-f(—x)=lg(x+1),

解方程組―得

次一方一/(力=電(1一無(wú))

21

fM=-lg(x+1)+-lg(l—x)(-1<X<1).

考A三分段由數(shù)|目z恚然J?

［題組訓(xùn)練］

2廠1—2,

；''且/(/=—3,則f(6—G

{一log2a十1),%>1,

=()

75

A.B.

44

3

C.D.

44

2*r—2,xWl,a>\,

解析:因?yàn)?(x)=/(?)=一3,所以或

—10g2(A+l),X>1Iog2(a+1)=—3,

2a-|-2=-3,

7

解得a=7,所以/（6—4）=4-1）=2-山一2=一］選A

答案：A

2.（2015?高考全國(guó)卷II）如圖，長(zhǎng)方形ABCZ）的邊48=2,BC=1,

。是A8的中點(diǎn).點(diǎn)P沿著邊8C,8與94運(yùn)動(dòng)，記NBOP=x.將動(dòng)

點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f（x）,則y=/*）的圖象大致

為（）

解析：由于人0）=2,（：）=1+3,般）=2也勺佇），故排除選項(xiàng)C、D;當(dāng)點(diǎn)P在BC

上時(shí)，/x）=BP+AP=tanx+、4+tan2x（0WxW：）,不難發(fā)現(xiàn)犬X）的圖象是非線性的，排除選

項(xiàng)A.故選B.

答案：B

＞〉規(guī)律方法

分段函數(shù)“兩種”題型的求解策略

(1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值

首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.

(2)已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍

應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段

的自變量的取值范圍.

V易錯(cuò)防范系列|

1ICUOFANGFANXILIEI3.分段函數(shù)的定義理解不清致誤

2x+a,x＜l,

【典例】已知實(shí)數(shù)函數(shù)兀r)={、若五1一”)=y(1+4)，則a的

—x—2a,

值為.

［解析］當(dāng)。＞0時(shí)，1—由/(I—a)中1+。)可得2—2a+a=—1—。一2a,

3—

解得〃=一/不合題意；當(dāng)。＜0時(shí)，1—由/(I可得一1+。一2〃

3

=2+2〃+。，解得。=—

［答案一］q3

［易誤點(diǎn)評(píng)］本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤主要有兩個(gè)方面：

(1)誤以為1一。沒(méi)有對(duì)〃進(jìn)行討論直接代入求解.

(2)求解過(guò)程中忘記檢驗(yàn)所求結(jié)果是否符合要求而致誤.

［防范措施］(1)對(duì)于分段函數(shù)的求值問(wèn)題，若自變量的取值范圍不確定，應(yīng)分情況求解.

(2)檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合題意

求解過(guò)程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合要求.

［跟蹤練習(xí)］設(shè)函數(shù)/(%)=，,—若/3)+負(fù)-1)=2,則〃=()

Q—x,x＜0?

A.-3B.±3

C.-1D.±1

解析：因?yàn)樗?(?)=1,當(dāng)時(shí)，“1=1,所以。=1；當(dāng)

4Vo時(shí)，y［—a=l,所以Q=-1.故4=±1.

答案：D

GENZONGJIANCE

時(shí)跟蹤檢測(cè),查漏補(bǔ)缺

A組考點(diǎn)能力演練

1.(206高考陜西卷)設(shè)f(x)=『一五'x?°'則以-2)]=()

[2‘，x<0,

11

B-C-

A.42D1

解析：由/(—2)=2-2=；,

答案：C

2.(2015?北京朝陽(yáng)模擬)函數(shù)/(x)==+g的定義域?yàn)?)

A.[0,+8)B.(1,+8)

C.IO,I)U(1,+oo)D.10,1)

解析：本題考查函數(shù)的定義域.根據(jù)函數(shù)有意義的條件建立不等式組.要使函數(shù)人x)有

\x-I#0,

意義，則解得x20且xWl,即函數(shù)定義域是[O,1)U(1,+8),故選c.

答案：C

/sinx,GO.

3.已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?-8,+oo),如果/(x+2014)=,那么

lg(—x),x<0

/(2014+覬―7986)=()

A.2014B.4

解析：/(2014+W=Ssin：=l,/(-7986)

=/(2014-10000)=lg10000=4,

則j\2014+：)/(—7986)=4.

答案：B

4.(2016?岳陽(yáng)質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)段)=忸魯，則.怎)+娘的定義域?yàn)?)

A.(-9,0)U(0,9)B.(-9,-1)U(1,9)

C.(-3,-1)U(1,3)D.(-9,-3)U(3,9)

3+x

解析：利用函數(shù)f(x)的定義域建立不等式組求解.要使函數(shù)/(X)有意義，則；一>0,解

3-x

得一3a<3.所以要使右)+4；)有意義,—9<x<9,

則3解得所以定義域

/<一1或x>l

為(-9,-1)U(1,9),故選B.

答案：B

5.若函數(shù)/(岸=正+二+1的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-2,2)

B.(一8,-2)U(2,+8)

C.(-8,-2]U[2,+°°)

D.[-2,2]

解析：函數(shù)的定義域?yàn)镽等價(jià)于對(duì)VxCR,j?+ar+l20,令/(x)=;v2+ax+1,結(jié)合二

次函數(shù)的圖象(圖略)，只需/=〃-4<0即可，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2,2],故選D.

答案：D

lgx,x>0

6.(2015?陜西二模)若函數(shù)f(x)=I,則用(-99))=________.

,1—X,xWO

解析：/(-99)=1+99=100,所以-99))=/(100)=1g100=2.

答案：2

7.函數(shù))，=/(第的定義域?yàn)閇-2,4],則函數(shù)g(x)=/U)+八一x)的定義域?yàn)?

—2

解析：由題意知'解得一2WxW2.

「2W—xW4,

答案：[-2,2]

8.具有性質(zhì)：/g)=—f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù).下列函數(shù):

x,0<x<l,

'1,

—Lx>l.

{X

其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是.

解析：對(duì)于①，/(X)=X—/Q)=；—x=—/(x),滿足題意；對(duì)于②，O=；+；=f(x)W

X

-/(X),不滿足題意：對(duì)于③,

r1i

一，0<-<1,

XX[1]

一,X>1,

卜X

對(duì)=<0,1,即/

I0,x=l,

I-x,0<x<1.

故/Q)=-f(X),滿足題意.

答案：①@

|x—1,x>0,

9.已知g(x)=q_.

[LX,?

⑴求/(g⑵)和g(A2))的值；

(2)求/(g(x))的解析式.

解:(1)由已知,g(2)=l,f(2)=3,

,VU(2))=/(l)=0,gJ2))=g(3)=2.

(2)當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=x-l,

故f(g(x))=(x-1)2-]=X!—2x;

當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=2—x,

故/(g(x))=(2—x)2—1=x2—4x+3:

x2—2x,x>0,

??次g(x))=

y-4x+3,x<0.

10.動(dòng)點(diǎn)尸從單位正方形ABC。的頂點(diǎn)A出發(fā)，順次經(jīng)過(guò)8,C,。繞邊界一周，當(dāng)x

表示點(diǎn)尸的行程，y表示力的長(zhǎng)時(shí);求y關(guān)于x的解析式，并求的值.

解：當(dāng)P點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y=x(0<xWl);

當(dāng)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

y=yl12+(x-l)2=yJx1-2x+2(1aW2);

當(dāng)P點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，)，=：12+(3-勸2=+—6x+10(2aW3);

當(dāng)尸點(diǎn)在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y=4-x(3<xW4);

綜上可知，

X,OWxW1,

Nx2—2x+2,]<xW2,

y=fM=<--------------

4/-6%+10,2<xW3,

-4—x,3<xW4.

??娟可

B組高考題型專練

1.(2014?高考山東卷)函數(shù)/(x)=廠」——的定義域?yàn)?)

\10g2X—1

A.@2)B.(0,2]

C.(2,+8)D.[2,+8)

[10g2X—1>0,

解析：:/U)有意義，，

lr>0.

：.x>2,????￥)的定義域?yàn)?2,+8).

答案：C

2.(2015?高考湖北卷)函數(shù)/(力=后石+電■匚音心的定義域?yàn)?)

A.(2,3)B.(2,4]

C.(2,3)U(3,4]D.(-1,3)U(3,6]

14一|川》0

解析：依題意知，<％2—5x+6，

-------T->0

1x~3

(一4?4

即,

lx>2JLx^3

即函數(shù)的定義域?yàn)?2,3)U(3,4].

答案:C

3.(2015?高考山東卷)設(shè)函數(shù)/*)=]；：'若_/(XD)=4,則8=()

解析:磴)=/(3*2)=尼-“

53

當(dāng)丁XI,即吟時(shí),

3x(|一)一人=4,解得T(舍).

當(dāng)|一⑶,即慶|時(shí)，2|—=4,

解得b=g.故選D.

答案：D

4.(206高考浙江卷)存在函數(shù)?r)滿足：對(duì)于任意xCR都有()

A./(sin2x)=sinx

B./(sin2x)=x1+x

C.f(f+l)=k+l|

D./(x2+2x)=|x+1|

解析：本題主要考查函數(shù)的概念，即對(duì)于任一變量x有唯一的y與之相對(duì)應(yīng).對(duì)于A,

當(dāng)x=N或當(dāng)寸，sin2%均為1,而sinx與f+x此時(shí)均有兩個(gè)值，故A、B錯(cuò)誤；對(duì)于C,

44

當(dāng)x=l或一1時(shí)，f+l=2,而|九+1|有兩個(gè)值，故C錯(cuò)誤，故選D.

答案：D

5.(2014.高考四川卷)設(shè)/(力是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)不￡[-1,1)時(shí)，/(%)=

—4f+2,-則冏=-

無(wú)，OWxV1,

解析：.."㈤的周期為2,

AXD=/1_2)=X-￡)-

又：當(dāng)xG[—1,0)時(shí)，/(x)=-4f+2,

??-X-￡)=-4X(-￡)2+2=1.

答案：1

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

1.函數(shù)的單調(diào)性

理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義.

2.函數(shù)的最值

理解函數(shù)的最大值、最小值及其幾何意義.

ZHISHIHUIGU................

抓主干?知識(shí)回顧＞穩(wěn)固根基

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性

1.單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)八幻的定義域?yàn)?.如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間A上的任意兩個(gè)

自變量的值Xl，X2

定義

當(dāng)XI<￥2時(shí)，都有/(笛)<?2)，那么當(dāng)X|<X2時(shí)，都有『3)>12)，那么就說(shuō)函數(shù)

就說(shuō)函數(shù)?x)在區(qū)間A上是增加的/a)在區(qū)間A上是減少的

上

---;

圖象描述

0“?2X

自左向右看作T象是逐漸上升的自左向右看圖象是逐漸下降的

2.單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間A上是增加的或是減少的,那么稱A為單調(diào)區(qū)間.

易誤提醒求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩個(gè)注意點(diǎn)：

(1)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，故求單調(diào)區(qū)間應(yīng)樹(shù)立“定義域優(yōu)先”的原則.

(2)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫(xiě)，

不能用并集符號(hào)“U”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié).

必記結(jié)論

1.單調(diào)函數(shù)的定義有以下若干等價(jià)形式：

設(shè)xi,X2^［a,b］,那么

①/'(為)―/(下)>00在口,切上是增函數(shù)；

Xl—X2

/5)-/口2)<0在口,切上是減函數(shù).

X|—X2

②(XI—X2)/(X1)一f(X2)］>0Q/a)在［a,b］上是增函數(shù)；

(XI—X2)［f(Xi)-f(X2)］<0W(x)在［。，b］上是減函數(shù).

2.復(fù)合函數(shù)y=/Ig(x)］的單調(diào)性規(guī)律是“同則增，異則減"，即>=/'(“)與”=g(x)若具

有相同的單調(diào)性，則y=/Ig(x)］為增函數(shù)，若具有不同的單調(diào)性，則丫=%(刈必為減函數(shù).

［自測(cè)練習(xí)］

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減的是()

A./(x)=：B./(x)=(x-l)2

c./(x)=evD./(x)=ln(x+l)

解析：根據(jù)函數(shù)的圖象知，函數(shù)/(x)=：在(0,+8)上單調(diào)遞減，故選A.

答案：A

2.函數(shù)/(x)=log5(2x+l)的單調(diào)增區(qū)間是.

解析：要使y=log5(2x+l)有意義，則2x+l>0,即x>—3，而y=k)g5〃為(0,+°°)-t.

的增函數(shù)，當(dāng)x>—g時(shí)，〃=2x+1也為R上的增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(一支+8).

答案:(-+8)

-X2—ox-5,xWl,

a在R上為增函數(shù)，則a的取值范圍是()

一,x>\

{x

A.[-3,0)B.[-3,-2]

C.(-8,-2]D.(-8,o)

解析：要使函數(shù)在R上是增函數(shù)，

―%]

2，

則有《"

a<0,

a—5Wa,

解得一2,即a的取值范圍是[—3,—2].

答案：B

知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

對(duì)于任意都有/對(duì)于任意xG/,都有

條件

存在xoG/,使得/?(項(xiàng))=M存在x°G/,使得外沏)=M

結(jié)論M為最大值M為最小值

易誤提醒在求函數(shù)的值域或最值時(shí)，易忽視定義域的限制性.

必備方法求函數(shù)最值的五個(gè)常用方法

(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.

(3)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.

(4)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不

等式求出最值.

(5)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.

［自測(cè)練習(xí)］

4.函數(shù)/(x)=^j^j(xeR)的值域是()

A.(0,1)B.(0,1]

C.[0,1)D.[0,1]

解析：因?yàn)?+9>1,0<^2匕?1,所以函數(shù)值域是(0,1],選B.

答案：B

5.已知函數(shù)/(x)=f+2r(-2Wx<l且xGZ),則/(x)的值域是()

A.[0,3]B.[-1,3]

C.{0,1,3}D.{-1,0,3}

解析：依題意，/(-2)=/(0)=0,/(—1)=-1,貝1)=3,因此火x)的值域是{-1,0,3},選

答案：D

研|考|向

考點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷■I目Z恚然)第

［題組訓(xùn)練］

1.下列四個(gè)函數(shù)中，在(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A.f(x)=3—xB.f(x)=x1—3x

c./(犬)=一去D./(x)=-W

解析：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=3-x為減函數(shù)；

當(dāng)xG(0,D時(shí)，f(x)=x2-3x為減函數(shù)，

當(dāng)xe(1,+8)時(shí)，y(x)=x2—3x為增函數(shù)；

當(dāng)仲。，+叼時(shí)，/(加-為增函數(shù);

當(dāng)xG(0,+8)時(shí)，#x)=一|x］為減函數(shù).故選C.

答案：C

2.判斷函數(shù)g(x)=T彳在(1,十8)上的單調(diào)性.

解：法一：定義法

任取Xl,X2(1,+°°),且為<X2,

—2x\—2X2_2(九]—X2)

則雙方)一8(及)

xi—1X2-l(汨-1)(X2-1)’

因?yàn)?<X\<X29

所以尤1-X2<0,(X1—1)(X2—1)>0,

因此g(Xl)—g(X2)<0,即g(Xl)<g(X2).

故g(X)在(1,+8)上是增函數(shù).

法二：導(dǎo)數(shù)法

.-2(x—l)+2x2

3=K=E°

??遭(%)在(1,+8)上是增函數(shù).

〉〉規(guī)律方法

給出解析式函數(shù)單調(diào)性的兩種判定方法

1.定義法(基本步驟為取值、作差或作商'變形、判斷).

2.導(dǎo)數(shù)法(基本步驟為求定義域、求導(dǎo)、變形、判斷).

考點(diǎn)二舀數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求決|HEZUO配器

［典題悟法］

典您求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:

(1)產(chǎn)T+2IX+1；

(2)y=log；(f—3x+2).

［解］⑴由于

-/+2%+1,工20,

y^='

'—x1-2x+\,x<0,

(x—1)2+2,

即y=，

［—(x+1)2+2,x<0.

畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示，

單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,-1］和［0,1］,

單調(diào)遞減區(qū)間為［-1,0］和［1,+8).

⑵令〃=f—3元+2,則原函數(shù)可以看作y=log^w與W=A2—3x+2的復(fù)合函數(shù).

令u=x1—3x+2>0,則x<］或x>2.

/.函數(shù)產(chǎn)唾/%2—3x+2)的定義域?yàn)?-8,1)0(2,+°°).

3

又〃=/—3x+2的對(duì)稱軸x=j,且開(kāi)口向上.

...“二X2—3x+2在(-8,1)上是單調(diào)減函數(shù)，在(2,+8)上是單調(diào)增函數(shù).

在(0,+8)上是單調(diào)減函數(shù),

??.yulogT*2—3x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+°°),單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,1),

>>規(guī)律方法

函數(shù)單調(diào)區(qū)間的四種求法

(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間.

(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義.

(3)圖象法：如果大x)是以圖象形式給出的，或者/(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性

寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間.

(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

［演練沖關(guān)］

函數(shù)y=|R(l—x)在區(qū)間A上是增函數(shù)，那么區(qū)間4是()

A.(—8,0)B.0,g

C.[0,+0°)

解析：y=|x|(l-x)

X1-x)(x20),f—x2+《》0),

.-M1—x)(x<0)(x2—x(x<。)

一(x-

92Tx<o).

畫(huà)出函數(shù)的草圖，如圖.

由圖易知原函數(shù)在10,9上單調(diào)遞增.

答案：B

考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用|含。需器

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用比較廣泛，是每年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容.歸納起來(lái)，常見(jiàn)的命題探

究角度有:

1.求函數(shù)的值域或最值.

2.比較兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大小.

3.解函數(shù)不等式.

4.求參數(shù)的取值范圍或值.

探究一求函數(shù)的值域或最值

x+匕一3,X，],

1.(2015?高考浙江卷)已知函數(shù)式x)=fx’則歡—3))=，火x)

.lg(f+l),x<l,

的最小值是.

解析：由題知，f(-3)=1,/(1)=0,即膽一3))=0.又/(力在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)

上單調(diào)遞增，在(1,也)上單調(diào)遞減，在(g,+8)上單調(diào)遞增，所以/(外皿產(chǎn)min{f(0)，7(S)}

=26—3.

答案：02s—3

探究二比較兩個(gè)函數(shù)值或兩自變量的大小

2.己知函數(shù)/(x)=1og2x+T「，若為右(1,2),X2《(2,+°°).則()

1—X

A./(x))<0,/(X2)<OB./(xi)<0,/(%2)>0

C./(X1)>0,/(X2)<0D./(X!)>0,,/(X2)>0

解析：?.?函數(shù)/(X)=k?g2x+'j■^在(1,+8)上為增函數(shù)，且/(2)=0,

/.當(dāng)?e(l,2)時(shí),/(XI)勺(2)=0,

當(dāng)及6(2,+8)時(shí)，/(及)/2)=0,

即/(Xl)<0,犬X2)>0.

答案：B

探究三解函數(shù)不等式

3.(2015?西安一模)已知函數(shù)段)={'['若貝2—犬)/x),則實(shí)數(shù)x的取值

」n(x+l),x>0,

范圍是()

A.(—8,—1)u(2,+°°)

B.(-8,-2)U(1,+8)

C.(-1,2)

D.(-2,1)

解析：?..當(dāng)x=0時(shí)，兩個(gè)表達(dá)式對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都為零，，函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲

線.：當(dāng)xWO時(shí)，函數(shù)/(%)=^為增函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ln(x+l)也是增函數(shù)，且當(dāng)%)<0,

芯>0時(shí)，./Ui)勺&2),...函數(shù)Kr)是定義在R上的增函數(shù).因此，不等式/(2—x2)次x)等價(jià)于

2—K>x,即f+x—2<0,解得一2<x<l,故選D.

答案：D

探究四利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

(2—a)x+1(x<1),

4.(2015?江西新余期末質(zhì)檢)已知f(x)=<、滿足對(duì)任意即WX2,都有

a

如二辿>0成立，那么a的取值范圍是()

Xl—X2

入［|，2)B.(l.|_

C.(1,2)D.(1,+8)

2—。>0,

解析：依題意，/(力是在R上的增函數(shù)，于是有<?>1,解得|<a<2,故

.(2-a)Xl+lW3

選A.

答案：A

>〉規(guī)律方法

函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問(wèn)題的四種類(lèi)型及解題策略

(1)比較大小.比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函

數(shù)的單調(diào)性解決.

(2)解不等式.在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將爐'符號(hào)

脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.

(3)利用單調(diào)性求參數(shù).

①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)

區(qū)間比較求參數(shù)；

②需注意若函數(shù)在區(qū)間［。，b］上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.

(4)利用單調(diào)性求最值.應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求出最值.

答題模板系列?

nL/ATIMUBANXILIEI1.確定抽象函數(shù)的單調(diào)性以及解含，廣的不等式

【典例】(12分)函數(shù)/")對(duì)任意a,h&R,都有/(a+協(xié)=/?(“)+/(打-1,且當(dāng)”>0時(shí)，

有

(1)求證：/(x)是R上的增函數(shù)；

(2)若/(4)=5,解不等式121-1)一用+。<2.

［思路點(diǎn)撥］(1)用單調(diào)性的定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性；(2)結(jié)合題意，將含y’的不等

式大2/—1)一/(1+，)<2轉(zhuǎn)化為人”。勺⑺的形式，再依據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式求解.

［規(guī)范解答］(1)證明：設(shè)Xl,X2ER且則X2—Xl>0,

%1)>1.(2分)

根據(jù)條件等式有

/(X2)—<(X1)=/(X2-Xl+即)-/U1)=八及-Xl)+/Ul)—1—/X1)=/(X2—JC1)—1>0,

???/(M)勺'(?),，/㈤是R上的增函數(shù).(6分)

(2)由/(。+力=式")+/^)—1,得犬〃+加一犬")=/(b-I,

：.f(2t-1)-/(1+2)-1,(8分)

.-./(2r-l)-/(1+/)<2,即左-2)—1<2,

又/(2+2)=/(2)+九2)—1=5,

?V(2)=3,

???/?-2)<3=/(2).(10分)

：/(x)是R上的增函數(shù)，

.,./-2<2,故不等式的解集為(-8,4).(12分)

［模板形成］

A組考點(diǎn)能力演練

1.（2015?吉林二模）下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是（）

A.y=e-xB.y—x

C.>=lnxD.y=|.r|

解析：因?yàn)槎x域是R,排除C,又是增函數(shù)，排除A、D,所以選B.

答案：B

2.（2015?河南信陽(yáng)期末調(diào)研）下列四個(gè)函數(shù)：

①y=3-x；②y=4p

—x（xWO）,

③,二/十級(jí)一10；④y=<1

―;（x>0）.

其中值域?yàn)镽的函數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

—xawo),

解析:依題意，注意到y(tǒng)=3—x與函數(shù)1(〉o)的值域均是R,函數(shù)y=Spy

、x

的值域是(0,1],函數(shù)yuf+Zx-lOna+lA—11的值域是[-11,4-00),因此選B.

答案：B

3.若函數(shù)/(x)=—￡+2ax與函數(shù)g(x)=M在區(qū)間口,2]上都是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍為()

A.(O,1)U(O,1)B.(O,1)U(O,1]

C.(0,1)D.(0,1J

解析：注意到f(x)=一(九一〃>+層；依題意得彳即0<aWl,故選D.

/z>0,

答案：D

/-4工+3,x<0,

,；.''則不等式式/—4)>穴30的解集為()

{—X--2x+3,x>0,

A.(2,6)B.(-1,4)

C.(1,4)D.(-3,5)

解析：作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，則函數(shù)/(x)在R上是單調(diào)遞減\T

的.由/(〃一4)/3a),可得"一4<3。，整理得標(biāo)一3“一4<0,即(〃+1)(“-4)<0,K

解得一l<a<4,所以不等式的解集為(-1,4).