工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)(同濟(jì)大學(xué)第五版)課后習(xí)題答案

工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)(同濟(jì)大學(xué)第五版)課后習(xí)題答案目錄contents緒論與基本概念行列式計(jì)算與應(yīng)用矩陣及其運(yùn)算性質(zhì)向量組的線性關(guān)系方程組求解與特征值問題二次型與正定矩陣緒論與基本概念01CATALOGUE02030401線性代數(shù)的研究對(duì)象向量、向量空間、線性變換等基本概念和性質(zhì)行列式、矩陣等代數(shù)工具及其運(yùn)算規(guī)則線性方程組、特征值與特征向量等問題的求解方法二次型、正定矩陣等概念及其在工程和科學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用行列式定義及性質(zhì)行列式的定義及計(jì)算方法行列式按行（列）展開法則及應(yīng)用行列式的性質(zhì)及其證明克拉默法則及其在線性方程組求解中的應(yīng)用矩陣概念及運(yùn)算矩陣的逆、轉(zhuǎn)置、伴隨等概念及其性質(zhì)初等變換與初等矩陣的概念及其在矩陣求解中的應(yīng)用矩陣的定義及基本運(yùn)算規(guī)則矩陣的秩、行列式等概念及其在工程和科學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用向量的線性相關(guān)性、基與維數(shù)等概念及其在工程和科學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用向量空間的概念及性質(zhì)線性變換的概念及性質(zhì)線性變換的矩陣表示及其在求解線性方程組等問題中的應(yīng)用01020304向量空間與線性變換行列式計(jì)算與應(yīng)用02CATALOGUE二階、三階行列式計(jì)算二階行列式計(jì)算直接應(yīng)用二階行列式的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算，注意元素的位置和符號(hào)。三階行列式計(jì)算可以使用對(duì)角線法則或降階法進(jìn)行計(jì)算。使用對(duì)角線法則時(shí)，注意不同行不同列元素的乘積的符號(hào)；使用降階法時(shí)，可以將三階行列式轉(zhuǎn)化為二階行列式進(jìn)行計(jì)算。了解余子式和代數(shù)余子式的定義和性質(zhì)，能夠計(jì)算給定元素的余子式和代數(shù)余子式。余子式和代數(shù)余子式掌握n階行列式的展開定理，能夠應(yīng)用定理將n階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式進(jìn)行計(jì)算。注意定理中元素的位置和符號(hào)。展開定理n階行列式展開定理克萊姆法則理解克萊姆法則的內(nèi)容和意義，能夠應(yīng)用法則解決線性方程組的問題。注意法則中系數(shù)行列式和常數(shù)項(xiàng)行列式的構(gòu)造方法。應(yīng)用舉例通過具體例子了解克萊姆法則在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，如電路分析、力學(xué)問題等?？巳R姆法則及應(yīng)用向量的線性相關(guān)性理解向量的線性相關(guān)性和線性無關(guān)性的概念，能夠判斷給定向量組的線性相關(guān)性。注意向量組線性相關(guān)與行列式為零的關(guān)系。向量組的秩了解向量組的秩的概念和性質(zhì)，能夠計(jì)算給定向量組的秩。注意向量組秩與矩陣秩的關(guān)系。幾何應(yīng)用通過具體例子了解行列式在幾何中的應(yīng)用，如判斷點(diǎn)共線、共面問題，計(jì)算平面圖形的面積等。行列式在幾何中的應(yīng)用矩陣及其運(yùn)算性質(zhì)03CATALOGUE123只有同型矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算，將對(duì)應(yīng)元素相加即可。矩陣的加法數(shù)與矩陣相乘，將數(shù)與矩陣中的每一個(gè)元素相乘。矩陣的數(shù)乘只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘。乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律和分配律，但不滿足交換律。矩陣的乘法矩陣的加法、數(shù)乘和乘法VS把矩陣A的行和列互換，得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT。逆矩陣對(duì)于n階方陣A，如果存在一個(gè)n階方陣B，使得AB=BA=E（E為單位矩陣），則稱A是可逆的，B是A的逆矩陣，記作A-1。矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置與逆矩陣將一個(gè)大矩陣分割成一些小矩陣，每個(gè)小矩陣稱為原矩陣的子塊或子矩陣。分塊矩陣的加法、數(shù)乘和乘法運(yùn)算與普通矩陣的相應(yīng)運(yùn)算類似，只是要注意子塊與子塊之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。分塊矩陣分塊矩陣的運(yùn)算分塊矩陣及其運(yùn)算矩陣A中不等于0的子式的最大階數(shù)稱為A的秩，記作r(A)。矩陣的秩如果矩陣B可以由A經(jīng)過有限次初等行變換得到，則稱A與B行等價(jià)；如果B可以由A經(jīng)過有限次初等列變換得到，則稱A與B列等價(jià)；如果B既可以由A經(jīng)過有限次初等行變換得到，也可以由A經(jīng)過有限次初等列變換得到，則稱A與B等價(jià)，記作A~B。等價(jià)關(guān)系矩陣的秩與等價(jià)關(guān)系向量組的線性關(guān)系04CATALOGUE向量組的線性組合與表示010203向量組線性表示的唯一性定理向量組的等價(jià)與向量組的秩向量組可以由其他向量線性表示的條件向量組線性相關(guān)的定義與性質(zhì)向量組線性相關(guān)的性質(zhì)與推論向量組線性相關(guān)的判定定理向量組的線性相關(guān)性向量組的秩與極大無關(guān)組01向量組的秩的定義與性質(zhì)02極大無關(guān)組的定義與性質(zhì)向量組的秩與極大無關(guān)組的關(guān)系03010203向量空間的定義與性質(zhì)向量空間的基與維數(shù)的定義向量空間的基變換與坐標(biāo)變換向量空間及其基與維數(shù)方程組求解與特征值問題05CATALOGUE寫出系數(shù)矩陣，并將其化為行最簡形式。根據(jù)行最簡形式，得出方程組的通解。若方程組有唯一解，則通解即為該解；若方程組無解或有無窮多解，則通解中應(yīng)包含相應(yīng)的參數(shù)。010203齊次線性方程組求解非齊次線性方程組求解寫出增廣矩陣，并將其化為行最簡形式。根據(jù)行最簡形式，判斷方程組是否有解。若有解，則繼續(xù)求解；若無解，則停止計(jì)算。若方程組有唯一解，則直接得出該解；若方程組有無窮多解，則通過參數(shù)表示通解。特征值設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)λ和非零n維列向量x，使得Ax=λx成立，則稱λ是A的特征值，x是A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。要點(diǎn)一要點(diǎn)二特征向量對(duì)應(yīng)于某個(gè)特征值的非零向量稱為該特征值的特征向量。特征值與特征向量概念將每個(gè)特征值分別代入(A-λE)x=0，求解齊次線性方程組，得到對(duì)應(yīng)的特征向量x。若得到的特征向量不滿足要求，則需要通過施密特正交化等方法將其正交化或單位化。寫出特征多項(xiàng)式f(λ)=|A-λE|，并令其為0，解得特征值λ。特征值與特征向量求解方法二次型與正定矩陣06CATALOGUE二次型的定義二次型是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式，其一般形式為$f(x_1,x_2,ldots,x_n)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$是系數(shù)，$x_i$和$x_j$是變量。二次型的標(biāo)準(zhǔn)形通過變量替換，二次型可以化為只含有平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形$f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+ldots+k_ny_n^2$，其中$k_i$是常數(shù)。二次型的矩陣表示二次型可以表示為矩陣形式$f=X^TAX$，其中$A$是對(duì)稱矩陣，$X$是列向量。二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形正交變換正交變換是一種特殊的線性變換，它保持向量的長度和夾角不變。在二次型中，正交變換可以將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，同時(shí)保持變量的幾何意義不變。配方法配方法是一種通過完成平方的方式將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。其基本步驟是先將二次型中的交叉項(xiàng)通過平方差公式化為平方項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的和，然后再通過變量替換將平方項(xiàng)化為標(biāo)準(zhǔn)形中的平方項(xiàng)。正交變換與配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形正定二次型和正定矩陣概念及判定方法如果對(duì)于任意非零向量$X$，都有$X^TAX>0$，則稱二次型$f=X^TAX$為正定二次型。正定二次型的幾何意義是其圖像是一個(gè)開口向上的拋物面。正定二次型如果對(duì)于任意非零向量$X$，都有$X^TAX>0$，則稱對(duì)稱矩陣$A$為正定矩陣。正定矩陣的判定方法包括順序主子式法、特征值法和合同變換法。正定矩陣合同變