工程數(shù)學(xué)《復(fù)變函數(shù)》(第四版)課件1-1,2西安交大天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院趙璐

工程數(shù)學(xué)《復(fù)變函數(shù)》(第四版)課件1-1,2西安交大天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院趙璐目錄CONTENTS課程介紹與背景教學(xué)內(nèi)容與方法復(fù)數(shù)與復(fù)平面復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性解析函數(shù)與初等函數(shù)復(fù)變函數(shù)的積分01課程介紹與背景123通過學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)課程，使學(xué)生掌握復(fù)數(shù)域上函數(shù)的基本性質(zhì)、解析性、連續(xù)性、可微性等基本概念和理論。掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論通過復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析和解決問題的能力，為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)。培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力復(fù)變函數(shù)作為數(shù)學(xué)的一個重要分支，其理論和方法在多個領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，通過學(xué)習(xí)可以拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野和應(yīng)用能力。拓展數(shù)學(xué)視野復(fù)變函數(shù)課程的目的和意義123更加注重應(yīng)用內(nèi)容更加精煉更新了部分知識點(diǎn)第四版教材的特點(diǎn)與更新第四版教材在保持前三版優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，對內(nèi)容進(jìn)行了進(jìn)一步的精煉和壓縮，突出了復(fù)變函數(shù)課程的核心內(nèi)容和基本方法。新教材在介紹復(fù)變函數(shù)基本理論的同時，更加注重其在工程技術(shù)和自然科學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，增加了相關(guān)案例和實例分析。新教材根據(jù)當(dāng)前數(shù)學(xué)和工程領(lǐng)域的發(fā)展，對部分知識點(diǎn)進(jìn)行了更新和補(bǔ)充，如增加了分?jǐn)?shù)階微積分、小波分析等現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用。兩校數(shù)學(xué)學(xué)科的強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合01西安交大和天津工業(yè)大學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)科方面都有較強(qiáng)的師資力量和科研實力，兩校的合作可以充分發(fā)揮各自的優(yōu)勢，共同提高數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)和科研水平。推動工程數(shù)學(xué)教育的改革與發(fā)展02兩校的合作旨在推動工程數(shù)學(xué)教育的改革與發(fā)展，通過共同編寫教材、開展教學(xué)研究等方式，探索工程數(shù)學(xué)教育的新模式和新方法。培養(yǎng)高素質(zhì)工程技術(shù)人才03通過合作，兩?？梢怨餐囵B(yǎng)具有扎實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、掌握現(xiàn)代工程技術(shù)和創(chuàng)新能力的高素質(zhì)工程技術(shù)人才，為國家和社會的發(fā)展做出貢獻(xiàn)。西安交大與天津工業(yè)大學(xué)的合作背景02教學(xué)內(nèi)容與方法解析函數(shù)0102030405包括復(fù)數(shù)的定義、表示方法、四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)等。包括復(fù)變函數(shù)的定義、性質(zhì)、極限、連續(xù)性等。包括復(fù)積分的定義、性質(zhì)、計算方法等。包括解析函數(shù)的定義、性質(zhì)、可導(dǎo)性與可微性、柯西-黎曼方程等。包括復(fù)級數(shù)的基本概念、收斂性、留數(shù)的定義與計算等。教學(xué)內(nèi)容概述復(fù)變函數(shù)的基本概念復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算級數(shù)與留數(shù)復(fù)變函數(shù)的積分01020304講授法討論法案例分析法多媒體教學(xué)法教學(xué)方法與手段通過教師的系統(tǒng)講解，使學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)的基本概念和理論。鼓勵學(xué)生提出問題和意見，通過討論加深對知識點(diǎn)的理解。利用多媒體技術(shù)展示相關(guān)圖形和動畫，幫助學(xué)生更好地理解和記憶知識點(diǎn)。通過分析具體案例，使學(xué)生能夠?qū)⒗碚撝R應(yīng)用于實際問題中。課程重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算、復(fù)變函數(shù)的基本概念、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分。難點(diǎn)柯西-黎曼方程的理解與應(yīng)用、復(fù)級數(shù)的收斂性判斷與計算、留數(shù)的計算與應(yīng)用。03復(fù)數(shù)與復(fù)平面形如$z=a+bi$（$a,binmathbb{R}$）的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中$a$稱為實部，$b$稱為虛部，$i$是虛數(shù)單位，滿足$i^2=-1$。復(fù)數(shù)的定義包括復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法和除法。例如，兩個復(fù)數(shù)$z_1=a+bi$和$z_2=c+di$相加，結(jié)果為$(a+c)+(b+d)i$。復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算若$z=a+bi$，則它的共軛復(fù)數(shù)為$a-bi$，記作$overline{z}$。共軛復(fù)數(shù)在復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算中起到重要作用。共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算復(fù)平面復(fù)數(shù)$z=a+bi$的模定義為$sqrt{a^2+b^2}$，記作$|z|$。輻角定義為從正實軸到復(fù)數(shù)$z$所對應(yīng)的向量的夾角，記作$arg(z)$。復(fù)數(shù)的模與輻角復(fù)數(shù)的幾何表示在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)$z=a+bi$可以表示為從原點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)$(a,b)$的向量，其長度等于$|z|$，與正實軸的夾角等于$arg(z)$。以實軸和虛軸為坐標(biāo)軸組成的平面稱為復(fù)平面。在復(fù)平面上，每一個點(diǎn)都對應(yīng)一個復(fù)數(shù)，反之亦然。復(fù)平面與復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示任何一個非零的復(fù)數(shù)$z$都可以表示為$r(costheta+isintheta)$的形式，其中$r=|z|$是復(fù)數(shù)的模，$theta=arg(z)$是復(fù)數(shù)的輻角。這種表示方法稱為復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示。復(fù)數(shù)的指數(shù)形式根據(jù)歐拉公式$e^{itheta}=costheta+isintheta$，復(fù)數(shù)$z=r(costheta+isintheta)$可以表示為$re^{itheta}$的形式，這種表示方法稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。指數(shù)形式在復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算中非常方便。指數(shù)形式的運(yùn)算性質(zhì)在復(fù)數(shù)的指數(shù)形式下，乘法和除法運(yùn)算變得非常簡單。例如，兩個復(fù)數(shù)$z_1=r_1e^{itheta_1}$和$z_2=r_2e^{itheta_2}$相乘，結(jié)果為$r_1r_2e^{i(theta_1+theta_2)}$。復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)與指數(shù)形式04復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性設(shè)$z=x+iy$為復(fù)數(shù)，$w=u+iv$為復(fù)變函數(shù)的值，若存在規(guī)則$f$使得對于$z$平面內(nèi)的每一點(diǎn)，都有唯一的$w$與之對應(yīng)，則稱$w$為$z$的函數(shù)，記作$w=f(z)$。復(fù)變函數(shù)的定義包括有界性、周期性、奇偶性等。復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)復(fù)變函數(shù)的定義與性質(zhì)復(fù)變函數(shù)極限的定義設(shè)函數(shù)$w=f(z)$在點(diǎn)$z_0$的某個去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對于任意給定的正數(shù)$epsilon$，總存在正數(shù)$delta$，使得當(dāng)$0<|z-z_0|<delta$時，有$|f(z)-A|<epsilon$，則稱常數(shù)$A$為函數(shù)$f(z)$當(dāng)$ztoz_0$時的極限，記作$lim_{ztoz_0}f(z)=A$。復(fù)變函數(shù)極限的性質(zhì)包括唯一性、局部有界性、保號性等。復(fù)變函數(shù)極限的運(yùn)算法則包括極限的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則等。復(fù)變函數(shù)的極限復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性包括觀察函數(shù)表達(dá)式、利用已知連續(xù)函數(shù)等。復(fù)變函數(shù)連續(xù)的判斷方法如果函數(shù)$w=f(z)$在點(diǎn)$z_0$處極限值等于函數(shù)值，即$lim_{ztoz_0}f(z)=f(z_0)$，則稱函數(shù)$f(z)$在點(diǎn)$z_0$處連續(xù)。復(fù)變函數(shù)連續(xù)的定義包括局部有界性、介值性、反函數(shù)的連續(xù)性等。復(fù)變函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)05解析函數(shù)與初等函數(shù)解析函數(shù)的定義在復(fù)平面上處處可微的函數(shù)稱為解析函數(shù)。解析函數(shù)的充要條件函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微的充要條件是它在該區(qū)域內(nèi)解析。解析函數(shù)的性質(zhì)解析函數(shù)具有連續(xù)性、可微性、可積性等良好性質(zhì)。解析函數(shù)的概念及性質(zhì)初等函數(shù)及其性質(zhì)由常數(shù)、變量、四則運(yùn)算、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)等基本運(yùn)算組合而成的函數(shù)稱為初等函數(shù)。初等函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)在其定義域內(nèi)具有連續(xù)性、可微性、可積性等性質(zhì)。初等函數(shù)的分類根據(jù)組成初等函數(shù)的基本運(yùn)算和函數(shù)的類型，可以將初等函數(shù)分為有理函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等幾類。初等函數(shù)的定義解析函數(shù)的四則運(yùn)算解析函數(shù)可以進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算，且運(yùn)算結(jié)果仍為解析函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的運(yùn)算解析函數(shù)之間可以進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算，即一個解析函數(shù)的值域作為另一個解析函數(shù)的定義域，構(gòu)成新的解析函數(shù)。初等函數(shù)的應(yīng)用初等函數(shù)在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如三角函數(shù)在振動和波動問題中的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在金融和經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用等。解析函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的應(yīng)用06復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分概念及性質(zhì)復(fù)變函數(shù)的積分定義設(shè)函數(shù)$f(z)$在簡單閉曲線$C$上連續(xù)，則$f(z)$沿$C$的積分為$oint_{C}f(z)dz=int_{a}^f[varphi(t)]varphi'(t)dt$，其中$varphi(t)$為$C$的參數(shù)方程。復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)與實函數(shù)的積分類似，復(fù)變函數(shù)的積分具有線性性、可加性、保號性、絕對可積性等性質(zhì)。積分與路徑無關(guān)的條件如果函數(shù)$f(z)$在單連通區(qū)域$D$內(nèi)解析，則$f(z)$在$D$內(nèi)的積分與路徑無關(guān)?？挛鞣e分公式解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)柯西積分公式與解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)$f(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)解析，則$f(z)$在$D$內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且各階導(dǎo)數(shù)均在$D$內(nèi)解析。此外，柯西積分公式可用于計算解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。設(shè)函數(shù)$f(z)$在簡單閉曲線$C$及其內(nèi)部解析，且在$C$上連續(xù)，則對于$C$內(nèi)部的任意一點(diǎn)$z_0$，有$f(z_0)=frac{1}{2pii}oint_{C}frac{f(z)}{z-z_0}dz$。解析函數(shù)的實部和虛部均為調(diào)和函數(shù)如果函數(shù)$f(z)=u(x,y)+