線(xiàn)性規(guī)劃模型

線(xiàn)性規(guī)劃模型目錄線(xiàn)性規(guī)劃概述線(xiàn)性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型線(xiàn)性規(guī)劃的圖解法線(xiàn)性規(guī)劃的單純形法線(xiàn)性規(guī)劃的對(duì)偶理論與靈敏度分析線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用案例01線(xiàn)性規(guī)劃概述特點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為線(xiàn)性函數(shù)。最優(yōu)解一定在可行域的頂點(diǎn)上達(dá)到?？尚杏?yàn)橥苟噙呅位蛲苟嗝骟w。定義：線(xiàn)性規(guī)劃是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，用于優(yōu)化一組線(xiàn)性不等式或等式約束下的線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)。定義與特點(diǎn)生產(chǎn)計(jì)劃物流運(yùn)輸資源分配金融投資線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用領(lǐng)域01020304在有限資源下，如何安排生產(chǎn)計(jì)劃以最大化利潤(rùn)或最小化成本。如何合理規(guī)劃運(yùn)輸路線(xiàn)和運(yùn)輸量，以降低運(yùn)輸成本和提高運(yùn)輸效率。如何合理分配有限的資源，以滿(mǎn)足不同需求并實(shí)現(xiàn)整體最優(yōu)。如何組合不同的投資項(xiàng)目，以實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化和收益最大化。線(xiàn)性規(guī)劃起源于20世紀(jì)30年代，當(dāng)時(shí)主要用于解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。早期歷史20世紀(jì)40年代至60年代，線(xiàn)性規(guī)劃理論和方法得到不斷完善和發(fā)展，出現(xiàn)了許多有效的求解算法。發(fā)展階段隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，線(xiàn)性規(guī)劃在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，成為現(xiàn)代優(yōu)化技術(shù)的重要組成部分?，F(xiàn)代應(yīng)用線(xiàn)性規(guī)劃的歷史與發(fā)展02線(xiàn)性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型線(xiàn)性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)是決策者希望達(dá)到的目標(biāo)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，通常表示為Z=c1x1+c2x2+...+cnxn的形式，其中cj(j=1,2,...,n)稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)系數(shù)。目標(biāo)函數(shù)可以是最大化問(wèn)題或最小化問(wèn)題，分別對(duì)應(yīng)于求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。目標(biāo)函數(shù)線(xiàn)性規(guī)劃的約束條件是一組對(duì)決策變量xj(j=1,2,...,n)的限制條件，通常表示為Ax≤b或Ax=b的形式，其中A是m×n矩陣，b是m維列向量。約束條件可以分為等式約束和不等式約束兩種類(lèi)型，分別對(duì)應(yīng)于Ax=b和Ax≤b的形式。約束條件最優(yōu)解是指使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值（最大值或最小值）的決策變量的取值組合，通常表示為x*=(x1*,x2*,...,xn*)。最優(yōu)解可以在可行域的邊界上達(dá)到，也可以在可行域的內(nèi)部達(dá)到，這取決于目標(biāo)函數(shù)和約束條件的具體形式?？尚杏蚴侵笣M(mǎn)足所有約束條件的決策變量的取值范圍，通常表示為一個(gè)多面體或凸集?？尚杏蚺c最優(yōu)解03線(xiàn)性規(guī)劃的圖解法確定可行域根據(jù)約束條件確定可行域，即可行解所在的區(qū)域。尋找最優(yōu)解通過(guò)平移目標(biāo)函數(shù)直線(xiàn)，在可行域內(nèi)尋找使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)，即為最優(yōu)解。繪制目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)繪制目標(biāo)函數(shù)所表示的直線(xiàn)。繪制約束條件在坐標(biāo)平面上繪制出所有約束條件所表示的直線(xiàn)或線(xiàn)段。圖解法的步驟優(yōu)點(diǎn)直觀(guān)易懂，能夠清晰地展示問(wèn)題的幾何結(jié)構(gòu)和最優(yōu)解的位置。缺點(diǎn)只適用于兩個(gè)決策變量的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，對(duì)于多個(gè)決策變量的問(wèn)題難以應(yīng)用；對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，手工繪制圖形較為困難，需要使用專(zhuān)業(yè)的繪圖工具。圖解法的優(yōu)缺點(diǎn)圖解法示例示例1某工廠(chǎng)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都需要經(jīng)過(guò)兩道工序加工。已知每道工序的加工時(shí)間和產(chǎn)品的利潤(rùn)，求該工廠(chǎng)應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使得在有限的時(shí)間內(nèi)獲得最大的利潤(rùn)。示例2某公司計(jì)劃生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，已知每種產(chǎn)品的成本、售價(jià)和市場(chǎng)需求量。該公司希望通過(guò)合理安排生產(chǎn)，使得總利潤(rùn)最大。04線(xiàn)性規(guī)劃的單純形法從一個(gè)基本可行解出發(fā)，通過(guò)迭代轉(zhuǎn)換到另一個(gè)基本可行解，并使目標(biāo)函數(shù)值不斷改善，直到找到最優(yōu)解或判定問(wèn)題無(wú)解。在迭代過(guò)程中，保持問(wèn)題的可行性，即始終在可行域內(nèi)尋找最優(yōu)解。利用線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)型和松弛變量的引入，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的典式，便于應(yīng)用單純形法求解。單純形法的基本思想0104050603021.將線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)型，并構(gòu)造初始單純形表。2.檢查當(dāng)前解是否是最優(yōu)解。如果是，則停止迭代；否則，進(jìn)入下一步。3.選擇一個(gè)非基變量作為進(jìn)基變量，使其從非基變量變?yōu)榛兞?。選擇進(jìn)基變量的原則是使目標(biāo)函數(shù)值得到最大改善。4.選擇一個(gè)基變量作為出基變量，使其從基變量變?yōu)榉腔兞?。選擇出基變量的原則是保持問(wèn)題的可行性。5.利用進(jìn)基變量和出基變量進(jìn)行迭代，更新單純形表。6.重復(fù)步驟2至步驟5，直到找到最優(yōu)解或判定問(wèn)題無(wú)解。單純形法的步驟假設(shè)有以下線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題$$begin{align*}maxz=3x_1+4x_2單純形法示例\text{s.t.}\quad2x_1+x_2\leq10\單純形法示例03end{align*}$$1.將問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)型，并構(gòu)造初始單純形表01x_1+x_2leq802x_1,x_2geq0單純形法示例010203|基變量|$x_1$|$x_2$|$s_1$|$s_2$|$z$||---|---|---|---|---|---||$c_j$|3|4|0|0|-|單純形法示例單純形法示例|$C_B$|0|0|1|0|0||$b$|10|8|-|-|-||$x_B$|$s_1$|$s_2$|$x_1$|$x_2$|-||$\sigma_j$|-3|-4|0|0|-|2.檢查當(dāng)前解是否是最優(yōu)解。由于$sigma_j<0$，當(dāng)前解不是最優(yōu)解。選擇$x_2$作為進(jìn)基變量。3.選擇出基變量。由于$x_2$在第一行和第二行的系數(shù)分別為4和1，且第一行的系數(shù)更大，因此選擇$s_1$作為出基變量。單純形法示例1234.進(jìn)行迭代，更新單純形表|基變量|$x_1$|$x_2$|$s_1$|$s_2$|$z$||---|---|---|---|---|---|單純形法示例單純形法示例010203|$C_B$|3/2|0|-1/2|0|15||$b$|3|8|-|-|-||$c_j$|-1/2|4|3/2|0|-||$x_B$|$x_2$|$s_2$|$s_1'$|$x_1'$|-||$\sigma_j$|5/2|0|-3/2|0|-|5.繼續(xù)檢查當(dāng)前解是否是最優(yōu)解。由于$sigma_jgeq0$，當(dāng)前解是最優(yōu)解。最優(yōu)解為$(x_1',x_2',s_1',s_2')=(3,8,0,0)$，目標(biāo)函數(shù)最大值為$z=15$。單純形法示例05線(xiàn)性規(guī)劃的對(duì)偶理論與靈敏度分析對(duì)于一個(gè)給定的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，我們可以構(gòu)造另一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，稱(chēng)為對(duì)偶問(wèn)題。對(duì)偶問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)與原問(wèn)題相反，約束條件則通過(guò)原問(wèn)題的變量和約束構(gòu)造出來(lái)。對(duì)偶問(wèn)題的定義對(duì)偶問(wèn)題的任意可行解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值都不大于原問(wèn)題的任意可行解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。弱對(duì)偶性當(dāng)原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題都存在可行解時(shí)，它們的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值相等。強(qiáng)對(duì)偶性即如果對(duì)偶問(wèn)題再求一次對(duì)偶，將得到原問(wèn)題。對(duì)偶問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題是原問(wèn)題對(duì)偶問(wèn)題的定義與性質(zhì)單純形法是一種求解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的通用方法，也可以用于求解對(duì)偶問(wèn)題。通過(guò)迭代的方式，單純形法可以找到對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解。單純形法內(nèi)點(diǎn)法是一種求解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)值方法，也可以用于求解對(duì)偶問(wèn)題。內(nèi)點(diǎn)法通過(guò)在可行域內(nèi)部進(jìn)行搜索，逐步逼近最優(yōu)解。內(nèi)點(diǎn)法除了單純形法和內(nèi)點(diǎn)法外，還有一些其他的方法可以用于求解對(duì)偶問(wèn)題，如橢球法、割平面法等。其他方法對(duì)偶問(wèn)題的求解方法靈敏度分析的概念靈敏度分析是研究線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題中參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解影響的一種方法。通過(guò)靈敏度分析，我們可以了解參數(shù)變化時(shí)最優(yōu)解的變化情況，以及參數(shù)變化到一定程度時(shí)最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生改變。影子價(jià)格分析影子價(jià)格是反映資源稀缺程度的一種指標(biāo)，通過(guò)計(jì)算影子價(jià)格可以了解資源的變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響。范圍分析范圍分析是研究參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化時(shí)最優(yōu)解的變化情況。通過(guò)范圍分析，我們可以確定參數(shù)的取值范圍以及最優(yōu)解的穩(wěn)定區(qū)域。臨界點(diǎn)分析臨界點(diǎn)分析是研究參數(shù)變化到某個(gè)臨界點(diǎn)時(shí)最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生改變的一種方法。通過(guò)臨界點(diǎn)分析，我們可以確定參數(shù)的臨界值以及最優(yōu)解的跳躍情況。01020304靈敏度分析的概念與方法06線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用案例通過(guò)調(diào)整生產(chǎn)線(xiàn)的產(chǎn)量，使得總收益減去總成本達(dá)到最大。最大化利潤(rùn)資源限制產(chǎn)品組合在有限的資源（如原材料、勞動(dòng)力、資金等）下，如何安排生產(chǎn)以獲得最大利潤(rùn)。確定生產(chǎn)不同產(chǎn)品的最優(yōu)組合，以滿(mǎn)足市場(chǎng)需求并實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化。030201生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題在滿(mǎn)足供需平衡的條件下，如何安排運(yùn)輸路線(xiàn)和運(yùn)輸量，使得總運(yùn)輸成本最小。最小成本處理多個(gè)供應(yīng)點(diǎn)和多個(gè)需求點(diǎn)之間的運(yùn)輸問(wèn)題，確定最佳的運(yùn)輸方案。多起點(diǎn)多終點(diǎn)在考慮時(shí)間因素的運(yùn)輸問(wèn)題中，如何合理安排運(yùn)輸計(jì)劃以最小化總成本和時(shí)間。時(shí)間限制運(yùn)輸問(wèn)題資源最優(yōu)配置在有限的資源下，如何分配給不同的項(xiàng)目或活動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)整體效益最大化。優(yōu)先級(jí)排序根據(jù)項(xiàng)目的優(yōu)先級(jí)和所需資源，進(jìn)行合理的資源分配和調(diào)度。多目標(biāo)優(yōu)化在