小學奧數(shù)5-7-1-位值原理

5-77.位值原理

削磔《歌學目掘

i.利用位值原理的定義進行拆分

2.巧用方程解位值原理的題

位值原理

當我們把物體同數(shù)相聯(lián)系的過程中，會碰到的數(shù)越來越大，如果這種聯(lián)系過程中，只用我們的手指頭，

那么到了“十''這個數(shù)，我們就無法數(shù)下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的瑪雅人把腳趾也用上，只不過能

數(shù)二十。我們顯然知道，數(shù)是可以無窮無盡地寫下去的，因此，我們必須把數(shù)的概念從實物的世界中解放出

來，抽象地研究如何表示它們，如何對它們進行運算。這就涉及到了記數(shù)，記數(shù)時，同一個數(shù)字由于所在位

置的不同，表示的數(shù)值也不同。既是說，一個數(shù)字除了本身的值以外，還有一個“位置值例如，用符號555

表示五百五十五時，這三個數(shù)字具有相同的數(shù)值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右邊的五

表示五個一，最左邊的五表示五個百，中間的五表示五個十。但是在奧數(shù)中位值問題就遠遠沒有這么簡單了，

現(xiàn)在就將解位值的三大法寶給同學們。希望同學們在做題中認真體會。

1.位值原理的定義：同一個數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)值也不同。也就是說，每一

個數(shù)字除了有自身的一個值外，還有一個“位置值”。例如“2”,寫在個位上，就表示2個一，寫在百位上，就表

示2個百，這種數(shù)字和數(shù)位結合起來表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原理。

2.位值原理的表達形式：以六位數(shù)為例：abcdef=ax100000+^x1OOOO+cx1OOO+Jx100+<?x10+fo

3.解位值一共有三大法寶：(1)最簡單的應用解數(shù)字謎的方法列豎式

(2)利用十進制的展開形式，列等式解答

(3)把整個數(shù)字整體的考慮設為x,列方程解答

模塊一、簡單的位值原理拆分

【例1】一個兩位數(shù)，加上它的個位數(shù)字的9倍，恰好等于100.這個兩位數(shù)的各位數(shù)字的和是.

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，4年級，初賽，7題，六年級，初賽，第8題，5分

【解析】這個兩位數(shù)，加上它的個位數(shù)字的9倍，恰好等于100,也就是說，十位數(shù)字的10倍加上個位數(shù)字

的10倍等于100,所以十位數(shù)字加個位數(shù)字等于10010=10。

【答案】10

【例2】學而思的李老師比張老師大18歲，有意思的是，如果把李老師的年齡顛倒過來正好是張老師的年

齡，求李老師和張老師的年齡和最少是?(注：老師年齡都在20歲以上)

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】學而思杯，4年級，第5題

【解析】解設張老師年齡為7,則李老師的年齡為歷，根據(jù)題意列式子為：歷-%=18,整理這個式子得

到：9（b—a）=18,所以b-a=2,符合條件的最小的值是a=l,b=3,但是13和31不符合題意，所

以，答案為。=2與b=4符合條件的為：24+42=666歲。

【答案】66歲

【例3］把一個數(shù)的數(shù)字順序顛倒過來得到的數(shù)稱為這個數(shù)的逆序數(shù)，比如89的逆序數(shù)為98.如果一個兩

位數(shù)等于其逆序數(shù)與1的平均數(shù)，這個兩位數(shù)是.

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】學而思杯，5年級，第3題

【解析】設為%,^\Oa+b=］Qb+a+］,整理得19a=昉+1,a=3,〃=7,兩位數(shù)為37

2

【答案】37

【例4］幾百年前，哥倫布發(fā)現(xiàn)美洲新大陸，那年的年份的四個數(shù)字各不相同，它們的和等于16,如果十

位數(shù)字加1,則十位數(shù)字恰等于個位數(shù)字的5倍，那么哥倫布發(fā)現(xiàn)美洲新大陸是在公元

年。

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，4年級，初賽，10題

【解析】肯定是Ixxx年，16-1=15,百位，十位與個位和是15,十位加1后，數(shù)字和是15+1=16,此時

十位和個位和是6的倍數(shù)，個位不是1,只能是2,十位原來是9,百位是4,所以是在1492年。

【答案】1492

［例5］小明今年的年齡是他出生那年的年份的數(shù)字之和.問：他今年多少歲？

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，初賽，第11題

【解析】設小明出生那年是^則1+9+“+人=95—10a一8

從而lla+26=85在介8時，11+2。＞85;在“W6時，1la+2區(qū)66+2x9=84,所以必有a=7,b

=4。小明今年是1+9+7+4=21（歲）.

【答案】21歲

［例6］將一個數(shù)A的小數(shù)點向右移動兩位，得到數(shù)Bo那么B+A是B-A的倍。（結果寫成分

數(shù)形式）

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，六年級，初賽，第9題，5分

【角單析】將A的小數(shù)點向右移動兩位則A變成100倍，即B=100A,那么B+A=101A,B-A=99A,B+A是B

101

【答案】

［例7］一個十位數(shù)字是0的三位數(shù)，等于它的各位數(shù)字之和的67倍，交換這個三位數(shù)的個位數(shù)字和百位

數(shù)字，得到的新三位數(shù)是它的各位數(shù)字之和的倍。

【考點】簡單的位值原理拆【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，五年級，復賽，第4題，5分

【解析】令這個三位數(shù)為麗，則由題意可知，100a+6=67（a+?，可得a=2b,而調換個位和百位之后變

為：麗=1006+。=102。，而a+b=8,則得到的新三位數(shù)是它的各位數(shù)字之和的102b+3%=34倍。

【答案】34

［例8］一個三位數(shù)，個位和百位數(shù)字交換后還是一個三位數(shù)，它與原三位數(shù)的差的個位數(shù)字是7,試求它

們的差。

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，四年級，復賽，第18題，10分

【解析】abc-cba個位是1,明顯a大于c,所以10+c-a=7,a-c=3,所以他們的差為297

【答案】297

【例9】三位數(shù)a〃c比三位數(shù)cba小99,若a,",c彼此不同，貝!最大是

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，五年級，初賽，第7題，6分

【解析】由題意，abc+99=cba,有"=c+9,要abc最大，如果a=9,那么c=0,與cba為三位數(shù)矛盾；

如果a=8,那么c=9,剩下匕最大取7,所以嬴最大是879。

【答案】879

【例10】一個三位數(shù)而c與它的反序數(shù)礪的和等于888,這樣的三位數(shù)有個。

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，六年級，二試，第4題，5分

【解析】顯然a+c、〃+b都沒有發(fā)生進位，所以a+c=8、b+b=S,則b=4,a、c的情況有1+7、2+6、

3+5、4+4、5+3、6+2、7+1這7種。所以這樣的三位數(shù)有7種。

【答案】7個

【例11】將2,3,4,5,6,7,8,9這八個數(shù)分別填入下面的八個方格內(不能重復)，可以組成許多不同

的減法算式，要使計算結果最小，并且是自然數(shù)，則這個計算結果是.

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，六年級，初賽，第5題，6分

【解析】設原式=，活0/-嚨Z?=lOOO(a-e)+lOO(人一/)+10(c-g)+(4-/2),其中a,b,c,d,e,f,g,

/?從2~9中選擇。顯然，-7&a-e,b-f,c-g,d-h<~!,要讓這個差最小，則應使a-e=l,

b—f=-1,c-g=-5,d-h=-3,即a=6,e=5,b=2,f=9,c=3,g=8,d=4,h=1,

.?.這個計算結果是1000-700-50-3=247

【答案】247

【鞏固】用1,2,3,4,5,7,8,9組成兩個四位數(shù)，這兩個四位數(shù)的差最小是,

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，四年級，復賽，第5題，5分

【解析】千位數(shù)差1,后三位，大數(shù)的盡量取小，小者盡量取大，最大的可以取987,小的可以取123,所以

這兩個四位數(shù)應該是4987和5123,差為136.

【答案】136

【例12】在下面的等式中，相同的字母表示同一數(shù)字，若笳-疝=口997,那么口中應

填.

【考點】填橫式數(shù)字謎之復雜的橫式數(shù)字謎【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，五年級，決賽，第3題，10分

【解析】由題意知，色&由差的個位為7可知，被減數(shù)個位上的d要向十位上的c借一位，則10+d-a=7,即a

一d=3.又因為差的十位及百位均為9,由分析可知gc,故被減數(shù)的十位要向百位借一位，百位要向

千位借一位，即(a-l)—d=2,因此口內應填入2。

【答案】2

【例13】某三位數(shù)嬴和它的反序數(shù)而的差被99除，商等于與的差；

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，五年級，初賽，第6題，4分

【解析】本題屬于基礎型題型。我們不妨設“>b>c。

(abc-cba)+99=[(100a+106+c)-(100c+10b+a)H99=(99a-99c)+99=a-c;

【答案】a與c的差

【鞏固】他與加的差被9除，商等于與的差；

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空

【解析】(％-應)+9=[(10a+份-(10〃+a)H9=(9a-助)+9=。/；

【答案】。與5的差

【鞏固】％與瓦;的和被11除，商等于與的和。

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空

【解析】(ab+bct')71=[(104+/7)+(106+“)]+11=(114+116)+11="+6。

【答案】a與b的和

【例14】xy,zw各表示一個兩位數(shù)，若孫+zw=139,則x+y+z+w=。

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，五年級，初賽，第5題，4分

【解析】和的個位為9,不會發(fā)生進位，y+w=9,十位明顯進位x+z=13,所以x+y+z+w=22

【答案】22

【例15】把一個兩位數(shù)的十位與個位上的數(shù)字加以交換，得到一個新的兩位數(shù).如果原來的兩位數(shù)和交換

后的新的兩位數(shù)的差是45,試求這樣的兩位數(shù)中最大的是多少？

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】2星【題型】解答

【關鍵詞】美國，小學數(shù)學奧林匹克

【解析】設原來的兩位數(shù)為瓦，交換后的新的兩位數(shù)為正，根據(jù)題意，

ab-ba=(10a+b)-(10b-a)=9(a-b)=45,a-b=5,原兩位數(shù)最大時，十位數(shù)字至多為9,即a=9,

b=4,原來的兩位數(shù)中最大的是94.

【答案】94

【例16】一個兩位數(shù)的中間加上一個0,得到的三位數(shù)比原來兩位數(shù)的8倍小1,原來的兩位數(shù)是。

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，六年級，初賽，第13題，6分

【解析】設這個兩位數(shù)是％,則100a+b=8(10a+b)-l,化為20a+l=7b,方程的數(shù)字解只有a=l,b=3,原來的

兩位數(shù)是13。

【答案】13

【例17】已知一個四位數(shù)加上它的各位數(shù)字之和后等于2008,則所有這樣的四位數(shù)之和為多少.

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答

【關鍵詞】清華附中

【解析】設這樣的四位數(shù)為前療，?\abcci+a+b+c+d=200S,即1001。+1016+1lc+2d=2008,

則a=1或2.

(1)若a=2,則101b+llc+2d=6,得b=c=0,d=3,^^=2003;

⑵若a=l,則c2i■”版，由于Ilc+2d411x9+2x9=117,所以10仍21007-117=890,

所以。>8,故人為9,llc+2J=1007-909=98,則c為偶數(shù)，JL11c>98-2x9=80,故c>7,由

c為偶數(shù)知c=8,d=5,abed=1985;

所以，這樣的四位數(shù)有2003和1985兩個，其和為：2003+1985=3988.

【答案】3988

【鞏固】abed+abc+ab+a=\370,^.abed.

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答

【解析】原式：lllla+lllZ>+llc+i/=1370,

所以a=l,則lll%+Uc+d=1370-llll=259,11坨+llc+d=259

推知。=2;則222+llc+d=259,\\c+d=31

進而推知c=3,d=4所以abed=1234。

【答案】1234

［例18］abed,abc,ah,a依次表示四位數(shù)、三位數(shù)、兩位數(shù)及一位數(shù)，且滿足—abc—ab—?=1787,

則這四位數(shù)abc"=___或___o

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，4年級，初賽，16題

【解析】原式可表示成：889〃+89萬+9。+4=1787,則知〃只能取：1或2,當”=1時，5無法取，故此值舍

去。當。=2時，b=0,c=0或1,d相應的取9或0.所以這個四位數(shù)是：2009或2010。

【答案】2009或2010

【例19】將一個四位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過來，得到一個新的四位數(shù)(這個數(shù)也叫原數(shù)的反序數(shù))，新數(shù)比原數(shù)

大8802.求原來的四位數(shù).

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答

【解析】設原數(shù)為嬴7，則新數(shù)為AM,

一=(100(W+100c+10Z?+a)—(1000a+100。+10c+d)=999(d—a)+90(c—份.

根據(jù)題意，<999(6/-a)+90(c-h)=8802,11lx(J-a)+10x(c-ft)=978=888+90.

推知4-a=8,c-b=9,得到4=9,a=l,c=9,b=0,原數(shù)為1099.

【答案】1099

【鞏固】將四位數(shù)的數(shù)字順序重新排列后，可以得到一些新的四位數(shù).現(xiàn)有一個四位數(shù)碼互不相同，且沒有

0的四位數(shù)/，它比新數(shù)中最大的小3834,比新數(shù)中最小的大4338.求這個四位數(shù).

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答

【解析】設組成這個四位數(shù)的四個數(shù)碼為a,b,c,d(9>a>b>c>d>\),

則有嬴萬一%詬=3834+4338=8172,

可得999(a-4)+90xS-c)=8172=7992+180,

則a-d=8,b-c=2,a=9,d=1,M=kM+4338,且M的四位數(shù)字分別為1、c、b、9,由

于8+9=17的個位數(shù)字為7,所以b,c中有一個為7,但。-c=2,所以c不能為7,故b=7,c=5,

M=1579+4338=5917.

【答案】5917

【例20］如果一個自然數(shù)的各個數(shù)碼之積加上各個數(shù)碼之和，正好等于這個自然數(shù)，我們就稱這個自然數(shù)

為“巧數(shù)例如，99就是一個巧數(shù)，因為9x9+(9+9)=99?？梢宰C明，所有的巧數(shù)都是兩位數(shù)。

請你寫出所有的巧數(shù)。

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答

【解析】設這個巧數(shù)為則有帥+a+6=10a+仇a(b+\)=\0a,所以b+l=10,6=9。

滿足條件的巧數(shù)有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。

【答案】巧數(shù)有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。

【例21】聰聰和明明做猜數(shù)游戲，聰聰讓明明任意寫出一個四位數(shù)，明明就寫了明年的年號2008,聰聰讓

明明用這個四位數(shù)減去它各個數(shù)位上的數(shù)的和，明明得到2008-(2+0+0+8)=1998,聰聰又讓明

明將所得的數(shù)隨便圈掉一個數(shù)，將剩下的數(shù)說出來，明明圈掉了8,告訴聰聰剩下的三個數(shù)是1,

9,9.聰聰一下就猜出圈掉的是8,明明感到莫名其妙，于是又做了一遍這個游戲，最后剩下的三

個數(shù)是6,3,7,這次明明圈掉的數(shù)是多少，聰明你猜出來了么？

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答

【解析】設任意一個四位數(shù)為兩依題意中的計算方法可得

^^-(a+b+c+d)=999a+99%+9c=9(llk7+116+c)即任意一個四位數(shù)減去其各個數(shù)位數(shù)字之子口

后的結果是9的倍數(shù)，根據(jù)被9整除的數(shù)字特點：各位數(shù)字之和應是9的倍數(shù)，而6+3+7=16,

16不是9的倍數(shù)，所以圈掉的數(shù)字是2。

【答案】2

【例22］設八位數(shù)A=%q%具有如下性質：%是A中數(shù)碼()的個數(shù)，4是A中數(shù)碼1的個數(shù)，……，%

是A中數(shù)碼7的個數(shù)，則/+6+%+%=o%+%+%=，該八位數(shù)

A=o

【考點】簡單的位值原理拆分【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】學而思杯，6年級

【解析】⑴由于4是A中數(shù)碼0的個數(shù)，％是A中數(shù)碼1的個數(shù)，……，為是A中數(shù)碼7的個數(shù)，那么

%+/+%+…+%表示A中所有數(shù)碼的個數(shù)；而實際上A中共有8個數(shù)碼，所以

%+。|+4+???+%=8o

⑵略

(3)%+%+%=0，說明。5、“6、的都是°，這就表明A的末三位都是0,另外還表明A的各位

數(shù)碼中都沒有出現(xiàn)5、6、7,所以A的數(shù)碼中最大的最多為4,所以3<的44。如果他=3,也就

是A的首位為3,末位都為0,中間的四位中還有一位為0,另外的三個數(shù)之和為4,只能是2個1和

1個2。由于1出現(xiàn)了兩次，所以q=l,由于2和4各出現(xiàn)了1次，所以的和。4都是1，這樣可得A為

42101000.

【答案】為+，4+a2H--FO7=8,。5+%+07=0，42101000

模塊二、復雜的位值原理拆分

【例23】有3個不同的數(shù)字，用它們組成6個不同的三位數(shù)，如果這6個三位數(shù)的和是1554,那么這3個

數(shù)字分別是多少？

【考點】復雜的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答

【關鍵詞】希望杯，培訓試題

【解析】設這六個不同的三位數(shù)為abc,acb,bac,bca,cab,cba,

因為猛=100a+10/?+c,力=100“+10c+b,....,它們的和是：222x(a+b+c)=1554,所以

“+b+c=1554+222=7,由于這三個數(shù)字互不相同且均不為0,所以這三個數(shù)中較小的兩個數(shù)至少

為1,2,而7-(1+2)=4,所以最大的數(shù)最大為4;又1+2+3=6<7,所以最大的數(shù)大于3,所以

最大的數(shù)為4,其他兩數(shù)分別是1,2.

【答案】1,2,4

【鞏固】有三個數(shù)字能組成6個不同的三位數(shù)，這6個三位數(shù)的和是2886,求所有這樣的6個三位數(shù)中最小

的三位數(shù)的最小值.

【考點】復雜的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答

【關鍵詞】迎春杯，決賽

【解析】設三個數(shù)字分別為“、b、c,那么6個不同的三位數(shù)的和為：

abc+acb+bac+bca+cab+cba=2(a+h+c')xl00+2(a+h+c)x\0+2(a+b+c')=222x(a+b+c')

所以a+b+c=2886+222=13,最小的三位數(shù)的百位數(shù)應為1,十位數(shù)應盡可能地小，由于十位

數(shù)與個位數(shù)之和一定，故個位數(shù)應盡可能地大，最大為9,此時十位數(shù)為13-1-9=3,所以所

有這樣的6個三位數(shù)中最小的三位數(shù)為139.

【答案】139

【例24】從1?9九個數(shù)字中取出三個，用這三個數(shù)可組成六個不同的三位數(shù)。若這六個三位數(shù)之和是3330,

則這六個三位數(shù)中最小的可能是幾？最大的可能是幾？

【考點】復雜的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答

【解析】設這三個數(shù)字分別為b,Co由于每個數(shù)字都分別有兩次作百位、十位、個位，所以六個不同的三

位數(shù)之和為222x(a+b+c)=3330,推知“+b+c=15。所以，當“、b、c取1、5、9時，它們組

成的三位數(shù)最小為159,最大為951。

【答案】最小為159,最大為951

【例25】用1,9,7三張數(shù)字卡片可以組成若干個不同的三位數(shù)，所有這些三位數(shù)的平均值是多少？

【考點】復雜的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答

【解析】卡片“9”倒過來看是“6”。作為卡片“9”，由第3題的結果可知，1,9,7可組成的六個不同的三位數(shù)

之和是(1+9+7)x222;同理，作為卡片“6”，1,6,7可組成的六個數(shù)之和是(1+6+7)x222。

這12個數(shù)的平均值是：［(1+9+7)+(1+6+7)］x222+12=573.5。

【答案】573.5

［例26］a,b,c分別是09中不同的數(shù)碼，用a,b,c共可組成六個三位數(shù)，如果其中五個三位數(shù)之和

是2234,那么另一個三位數(shù)是幾？

【考點】復雜的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答

【解析】由a,b,c組成的六個數(shù)的和是222x(a+b+c).因為2234>222x10,所以“+/7+0IO.

若a+b+c=11,貝”所求數(shù)為222x11-2234=208,但2+0+8=10/11,不合題意.

若a+h+c=12,則所求數(shù)為222xl2-2234=430,434+3+0=7^12,不合題意.

若a+b+c=13,則所求數(shù)為222x13-2234=652,6+5+2=13,符合題意.

若a+b+c=14,則所求數(shù)為222x14-2234=874,4旦8+7+4=19*14,不合題意.

若“+b+c415,則所求數(shù)2222x15-2234=1096,但所求數(shù)為三位數(shù)，不合題意.

所以，只有a+b+c=13時符合題意，所求的三位數(shù)為652.

【答案】652

【例27】在兩位自然數(shù)的十位與個位中間插入0?9中的一個數(shù)碼，這個兩位數(shù)就變成了三位數(shù)，有些兩位

數(shù)中間插入某個數(shù)碼后變成的三位數(shù)，恰好是原來兩位數(shù)的9倍。求出所有這樣的三位數(shù)。

【考點】復雜的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答

【解析】因為原兩位數(shù)與得到的三位數(shù)之和是原兩位數(shù)的10倍，所以原兩位數(shù)的個位數(shù)只能是0或5。如果

個位數(shù)是0,那么無論插入什么數(shù)，得到的三位數(shù)至少是原兩位數(shù)的10倍，所以個位數(shù)是5。設原

兩位數(shù)是7,貝"6=5,變成的三位數(shù)為赤，由題意有100。+108+5=(IOa+5)x9,化簡得a+b

=4o變成的三位數(shù)只能是405,315,225,135。

【答案】三位數(shù)只能是405,315,225,135

【例28】一輛汽車進入高速公路時，入口處里程碑上是一個兩位數(shù)，汽車勻速行使，一小時后看到里程碑

上的數(shù)是原來兩位數(shù)字交換后的數(shù)。又經(jīng)一小時后看到里程碑上的數(shù)是入口處兩個數(shù)字中間多一

個0的三位數(shù)，請問：再行多少小時，可看到里程碑上的數(shù)是前面這個三位數(shù)首末兩個數(shù)字交換

所得的三位數(shù)。

【考點】復雜的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答

【解析】設第一個2位數(shù)為lOa+方；第二個為10什“；第三個為100a+b;由題意：(100“+份-(10b+a)=(

(1Qa+b):化簡可以推得b=6a,0<a,b<9,得a=l,b=6;即每小時走61-16=45;(601-106)-5-45=11;

再行11小時，可看到里程碑上的數(shù)是前面這個三位數(shù)首末兩個數(shù)字交換所得的三位數(shù)。

【答案】11小時

【例29】有一個兩位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的前面，則可得到一個三位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的

后面，則可得到一個三位數(shù)，如果在它前后各加寫一個數(shù)碼3,則可得到一個四位數(shù).將這兩個三

位數(shù)和一個四位數(shù)相加等于360().求原來的兩位數(shù).

【考點】復雜的位值原理拆分【難度】3星【題型】解答

【解析】設原來的兩位數(shù)是7,則得到的兩個三位數(shù)分別為麗和五石，四位數(shù)為菽，由題知

ab3+3ab+3ab3=3600,?1710xaZ?+3+300+a6+3003+10xab=3600,21xa/?=294,古攵ab=14.

【答案】14

【例30］將4個不同的數(shù)字排在一起，可以組成24個不同的四位數(shù)(4x3x2x1=24).將這24個四位數(shù)按

從小到大的順序排列的話，第二個是5的倍數(shù)；按從大到小排列的話，第二個是不能被4整除的

偶數(shù)；按從小到大排列的第五個與第二十個的差在3000?4000之間.求這24個四位數(shù)中最大的那

個.

【考點】復雜的位值原理拆分【難度】4星【題型】解答

【解析】從題中可以看出，這4個數(shù)都不為0.設這4個不同的數(shù)從小到大依次為a力,c,d,它們組成的24個

四位教中，第二小的是"de,是5的倍數(shù)，又c不為0,所以c=5.

它們組成的24個四位數(shù)中，第二大的是dcab,是2的倍數(shù)但不是4的倍數(shù)，所以A是偶數(shù)，而必不

是4的倍數(shù).由。是偶數(shù)且〃<c=5知6為4或2.若為2,那么a=l,但此時％=12是4的倍數(shù)，

矛盾，所以，又如不是4的倍數(shù)，所以a為1或3.

它們組成的24個四位數(shù)中，第五小的為adbc（最小的5個依次為abed,abdc,aebd,aedh,adbc）,

第五大（第二十4、）的為dacb（最大的5個依次為，dcab,dbea,dbac,dacb）,所以dacb-adbc

得到的四位數(shù)的千位為3.由于所以瓦石<詼，那么減法算式中百位要向千位借位，所以

d-a=3,古攵d=a+4.又d>c=5,所以丹卜么a=3,d=1,

它們組成的24個四位數(shù)中最大的為deba,即7543.

【答案】7543

【例31】記四位數(shù)漏為X,由它的四個數(shù)字a,瓦c,d組成的最小的四位數(shù)記為X*,如果X-X*=999,

那么這樣的四位數(shù)X共有個.

【考點】復雜的位值原理拆分【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯，高年級，復賽，8題

【解析】X-X*=999得到X=999+X*=X*+1000-l,所以如果a、b、c、d組成的四位數(shù)X*末位數(shù)字

不是0,那么X等于將X*的千位數(shù)字加1,個位數(shù)字減1,反過來X*等于X的千位數(shù)字減1,個位

數(shù)字加1,所以X*為（a-l）bc（d+l）,與X比較，〃和c位置沒有換，交換的是a和d,X*表示為

dbea,可以得到等式a-l=d,即a=”+l.所以a和〃的取值組合，只有2和1,3和2.9

和8,共8種情況.

對于其中任意一種組合，由于痂是由四個數(shù)字a、b、c、”組成的最小的四位數(shù)，分別考慮6、c?中

有0的情況（可能兩個都為0;若只有一個0,則〃=0,d<c<a）\以及。、c都不為0的情況（此時

d<b<c<a）,可知兩種情況下各有3種可能，共6種可能：dOOa,dOda,dOaa,ddda,dda^i,

五兀.比如以a=4,d=3為例，歷％可能的取值有3004,3034,3044,3334,3344,34444這6

個數(shù).根據(jù)乘法原理，滿足條件的四位數(shù)一共有8x6=48種.

如果a、b、c、d組成的最小的四位數(shù)X*末位數(shù)字是0,顯然X*的百位、十位都是0,此時a、b、

c、d無法組成其它的四位數(shù)，不合題意.

由于每一個X*對應一個X,所以滿足條件的四位數(shù)X共有48個.

【答案】48

[例32]9000名同學參加一次數(shù)學競賽，他們的考號分別是1000,1001,1002,…9999.小明發(fā)現(xiàn)他的考號是

8210,而他的朋友小強的考號是2180.他們兩人的考號由相同的數(shù)字組成（順序不一樣），差為2010

的倍數(shù).那么，這樣的考號（由相同的數(shù)字組成并且差為2010的倍數(shù)）共有對.

【考點】復雜的位值原理拆分【難度】5星【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯，高年級，復試，14題

【解析】設痂與麗由相同的數(shù)字組成（順序不一樣），并且201。|旃-兩.由于嬴^與麗的數(shù)字

和相同，它們除以9的余數(shù)相同，即9\abcd-efgh,從而603Q^abcd-efgh.考慮到

0<abcd-ef0,于是abed-典〃=6030,abed-6030-efgh.從末位數(shù)字可不口d=/?,

abc-603=efg.若c±3,abc-603=（a-6）b（c-3）,但（a-6）+/?+（c-3）=a+%+c-9wa+人+c,

（a-6）b（c-節(jié)手efg,abc-603=（a-6）b（c-3）不成立.若cV2,b=0,

五-603=冠」603=（。-7）9（。+7）,同上知這種情況也不成立.因此，c<2,b>\.

abc-603=（a-6）（b-l）（c+7）.c+7在這里可能等于?；蛘呷绻鸻=c+7,則/，=c+l,此時

（a力,c）可以等于（7,1,0）、（8,2,1）以及（9,3,2）；如果，=c+7,則。=c+6,此時（a,b,c）可以等于

（7,8,1）和（8,9,2）.（a,4c）確定之后，再考慮"，"可以等于0,1,2,…9中的任何一個數(shù)字.這樣，可

以得到50個不同的詼繼而可得到相應的麗.于是，一共有50對這樣的考號，由相同的數(shù)字

組成，并且差為2010的倍數(shù).

【答案】50

【例33】有一類三位數(shù)，它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是12,各個數(shù)位上的數(shù)字之積是30,所有這樣的三位

數(shù)的和是多少？

【考點】復雜的位值原理拆分【難度】4星【題型】解答

【解析】設這個三位數(shù)是正，則根據(jù)題意可得：\a+b+c=i2,由ax%xc=30找突破口，將30分解成3

[axbxc=30

個因數(shù)相乘，符合a+8+c=12的即為所求，組成三位數(shù)的三個數(shù)碼只有1,5,6符合要求，即三位

數(shù)有：156,165,516,561,615,651。其和為：156+165+516+561+615+651=222x(1+5+6)=2664

【答案】2664

【例34】一個三位數(shù)除以11所得的商等于這個三位數(shù)各位數(shù)碼之和，求這個三位數(shù)是多少？

【考點】復雜的位值原理拆分【難度】4星【題型】解答

-----/7-4-1Of

【解析】設這個三位數(shù)是abc,則根據(jù)題意有：100a+10，+c=(a+〃+c)xll,化簡得a=:因為a,b,

89

c都是位值，即為一位數(shù)，所以”=1力=9,c=8。

【答案】198

模塊三'巧用方程解位值原理

【例351有一個兩位數(shù)，如果把數(shù)碼1加寫在它的前面，那么可以得到一個三位數(shù)，如果把1寫在它的后

面，那么也可以得到一個三位數(shù)，而且這兩個三位數(shù)相差414,求原來的兩位數(shù)。

【考點】巧用方程解位值原理【難度】3星【題型】解答

【解析】本題可以有三種分析方法：

方法一：可以用大家喜歡的數(shù)字謎的方法來解。列豎式如下：

ab1

-lab

414

分析豎式知1減b不夠減，肯定要向前借1位，即：10+1-8=4,整理得：h=l,〃借1給個位十

位，此時6—〃=1,整理得：。=5,經(jīng)百位計算臉證，結果正確。

方法二：設原兩位數(shù)為瓦，則數(shù)碼1加寫在它的前面為前，數(shù)碼1

寫在它的后面為abl,分析比較知道“61>lab,

所以可以得至“：而一商=414,(100a+106+1)-(100+10。+6)=414,90a+9/7-99=414,

90a+96=513,10a+b=57,即：ab=57

方法三：設兩位數(shù)為x,則有(lOx+1)-(100+x)=414,解得：x=57。

【答案】57

【鞏固】有一個三位數(shù)，如果把數(shù)碼6加寫在它的前面，則可得到一個四位數(shù)，如果把6加寫在它的后面,

則也可以得到一個四位數(shù)，且這兩個四位數(shù)之和是9999,求原來的三位數(shù)。

【考點】巧用方程解位值原理【難度】3星【題型】解答

【解析】本題可以有兩種分析方法：

方法一：可以用大家喜歡的數(shù)字謎的方法來解。列豎式如下：

6abc

+abc6

9999

分析可得c=3,b=6,<7=3o

方法二：設三位數(shù)為x,則有(6000+x)+(10x+6)=9999,解得：x=363.

【答案】363

【例36］如果a/?x7=a06,那么必等于幾？

【考點】巧用方程解位值原理【難度】3星【題型】解答

【解析】本題可以有兩種分析方法：

方法一：可以用大家喜歡的數(shù)字謎的方法來解。列豎式如下：

ab

X7

a0b

通過分析人x7=〃知道〃=5,同時向前進3,同時4x7+3=〃。，知道。=1,所以7=15.

方法二：將誣><7=顯,展開整理得：(tzx10+/?)x7=67x100+0+/?

70。+7b=100。+b

30a=6b

5a=b

由于位值的性質，每個數(shù)位上的數(shù)值在0?9之間，得出。=1,b=5o

【答案】15

【例37】已知1+2+3++n(n>2)的和的個位數(shù)為3,十位數(shù)為0,則〃的最小值是

【考點】巧用方程解位值原理【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，決賽，第8題，10分

【解析】根據(jù)題意，前〃項和等于(1+〃)x〃+2,而現(xiàn)在的個位為3,十位上是0,則(〃+1)X"的末兩位是

06,易知末位是6的連續(xù)的兩個自然數(shù)的成積的末位只能為2x3或者7x8,經(jīng)試驗，最小的〃取37

時，37x38=1406符合條件，所以〃的最小值為37。

【答案】37

【例38］把7位數(shù)2A8C￡)EF變成7位數(shù)48COEF2,已知新7位數(shù)比原7位數(shù)大3591333,聰明的寶貝來

求求：(1)原7位數(shù)是幾，(？如譬漢語拼音字母順序編為1?26號，且以所求得原7位數(shù)的前

四個數(shù)字組成的兩個兩位數(shù)不和前所對應的拼音字母拼成一個漢字，再以后三個數(shù)字。，E,F

分別對應的拼音字母拼成另一個漢字，請寫出由這兩個漢字組成的詞。

【考點】巧用方程解位值原理【難度】4星【題型】解答

【關鍵詞】2005年，祖沖之杯

【解析】(1)設ABCDEF=x,根據(jù)題意得，(1Ox+2)-(2000000+x)=3591333,解得，x=621259,原

7位數(shù)是2621259。

(2)按順序寫出26個字母，從左到右給每個字母從1?26編號，結合萬=26,元=21,D=2,

￡=5,尸=9,按對應關系有：26對應Z,21對應U,2對應B,5對應E,9對應/,ZU拼成“祖”，

BE1拼成“杯”

【答案】(1)2621259,(2)祖杯

【鞏固】把5寫在某個四位數(shù)的左端得到一個五位數(shù)，把5寫在這個四位數(shù)的右端也得到一個五位數(shù)，已知

這兩個五位數(shù)的差是22122,求這個四位數(shù)。

【考點】巧用方程解位值原理【難度】3星【題型】解答

【解析】設這個四位數(shù)為x,則有：(50000+x)-(10x+5)=22122或(10x+5)一(50000+x)=22122,

得，x=3097或x=8013.

【答案】x=3097或x=8013

【例39］如果把數(shù)碼5加寫在某自然數(shù)的右端，則該數(shù)增加A111I,這里A表示一個看不清的數(shù)碼，求這

個數(shù)和4。

【考點】巧用方程解位值原理【難度】3星【題型】解答

【解析】設這個數(shù)為x,則10x+5-x=Al111,化簡得9x=Al106,等號右邊是9的倍數(shù)，試臉可得A=l,x

=1234。

【答案】4=1,x=1234

【鞏固】如果把數(shù)碼3加寫在某自然數(shù)的右端，則該數(shù)增加了123