(人教A版2019選擇性必修第一冊(cè))高二數(shù)學(xué)上冊(cè)數(shù)學(xué)同步精講 拓展三：圓錐曲線的方程（弦長(zhǎng)問(wèn)題）（精講）（原卷版+解析）

拓展三：圓錐曲線的方程（弦長(zhǎng)問(wèn)題）（精講）第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：求橢圓、雙曲線的弦長(zhǎng)重點(diǎn)題型二：根據(jù)橢圓、雙曲線的弦長(zhǎng)求參數(shù)重點(diǎn)題型三：拋物線的焦點(diǎn)弦重點(diǎn)題型四：拋物線的非焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：弦長(zhǎng)公式（最常用公式，使用頻率最高）知識(shí)點(diǎn)二：基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：求橢圓、雙曲線的弦長(zhǎng)典型例題例題1．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知橢圓：的離心率為，為過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的一條弦，且長(zhǎng)度的最小值為2．(1)求橢圓的方程．(2)若斜率為1的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線的斜率為，求線段的長(zhǎng)度．例題2．（2022·寧夏吳忠區(qū)青銅峽市教育局高二開(kāi)學(xué)考試（理））設(shè)橢圓的離心率，過(guò)點(diǎn)A.(1)求橢圓的方程；(2)求橢圓被直線截得的弦長(zhǎng).例題3．（2022·貴州黔西·高二期末（理））已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦距為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若斜率為2的直線與交于，兩點(diǎn)．且，求．例題4．（2022·四川省資中縣球溪高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線：與雙曲線交于，兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·四川省資中縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知橢圓:的離心率，且橢圓上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大距離為，點(diǎn)是軸上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若的面積是面積的兩倍，且直線與圓：相切于點(diǎn)，求的長(zhǎng).2．（2022·陜西寶雞·一模（文））橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成一個(gè)正方形．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，且，求．3．（2022·河北·衡水市第二中學(xué)高二期中）（1）已知A，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是.求點(diǎn)的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀：（2）已知過(guò)雙曲線上的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交雙曲線于A，兩點(diǎn)，求.4．（2022·廣東廣州·高二期末）已知曲線：.(1)若曲線是雙曲線，求的取值范圍；(2)設(shè)，已知過(guò)曲線的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交曲線于A，B兩點(diǎn)，求.重點(diǎn)題型二：根據(jù)橢圓、雙曲線的弦長(zhǎng)求參數(shù)典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓：的離心率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)1)，直線經(jīng)過(guò)且與橢圓相交于兩點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)求此時(shí)直線的方程；例題2．（2022·全國(guó)·高一）橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與圓相切，與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．例題3．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高二開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的對(duì)稱(chēng)軸都是坐標(biāo)軸，且過(guò)點(diǎn)，到雙曲線兩焦點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值等于2.(1)求雙曲線的方程；(2)如果雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，直線l經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.例題4．（2022·上海市七寶中學(xué)附屬鑫都實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）已知雙曲線，直線與交于、兩點(diǎn)．(1)若點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，求的漸近線方程；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率等于1，且，求雙曲線的離心率．同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·浙江省諸暨市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，且的最大值為3，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)動(dòng)點(diǎn)在拋物線：上，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線分別交直線于，兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).2．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室一模（理））在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)是曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，過(guò)，分別作直線的垂線與軸相交于，兩點(diǎn).若，求此時(shí)直線的斜率.3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求雙曲線的方程；（2）若斜率為2的直線交雙曲線交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.4．（2021·江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線：離心率為2，且過(guò)點(diǎn).(1)求的方程：(2)若斜率為的直線l與交于P，Q兩點(diǎn)，面積為，求直線方程.重點(diǎn)題型三：拋物線的焦點(diǎn)弦典型例題例題1．（2022·上?！とA東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高二期中）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且向量是直線的一個(gè)法向量．(1)求直線的方程及拋物線準(zhǔn)線方程；(2)求線段的長(zhǎng)．例題2．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)是，斜率為的直線經(jīng)過(guò)且與拋物線相交于、兩點(diǎn)．(1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；(2)求線段的長(zhǎng)．同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·江蘇·高二）已知過(guò)拋物線方程的焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若，求弦長(zhǎng)．2．（2022·江蘇·高二）已知拋物線過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線的方程，并求其準(zhǔn)線方程；(2)過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)，作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線l交該拋物線于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍．4．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，且.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程.重點(diǎn)題型四：拋物線的非焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題典型例題例題1．（2022·四川·富順第二中學(xué)校高二階段練習(xí)（理））已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，開(kāi)口向右且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若過(guò)的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.例題2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線（為常數(shù)，）的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn).(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線的斜率為，求.例題3．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，圓心的軌跡為．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)已知直線交軌跡于兩點(diǎn)，，且中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的最大值為多少？同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·安徽·高二開(kāi)學(xué)考試）已知直線與拋物線.(1)若直線與拋物線相切，求實(shí)數(shù)的值；(2)若直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且，求直線的方程.2．（2022·吉林遼源·高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，第四象限的一點(diǎn)在C上，且.(1)求C的方程和m的值；(2)若直線l交C于A,B兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為，求直線l的方程及線段AB的長(zhǎng).3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求弦長(zhǎng)以及線段的中點(diǎn)坐標(biāo)；(2)判斷是否成立，并說(shuō)明理由．拓展三：圓錐曲線的方程（弦長(zhǎng)問(wèn)題）（精講）第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：求橢圓、雙曲線的弦長(zhǎng)重點(diǎn)題型二：根據(jù)橢圓、雙曲線的弦長(zhǎng)求參數(shù)重點(diǎn)題型三：拋物線的焦點(diǎn)弦重點(diǎn)題型四：拋物線的非焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：弦長(zhǎng)公式（最常用公式，使用頻率最高）知識(shí)點(diǎn)二：基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：求橢圓、雙曲線的弦長(zhǎng)典型例題例題1．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知橢圓：的離心率為，為過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的一條弦，且長(zhǎng)度的最小值為2．(1)求橢圓的方程．(2)若斜率為1的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線的斜率為，求線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)(1)因?yàn)闄E圓的離心率為，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)的最小值為，所以，，，所以橢圓的方程為．(2)設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程得，則，因?yàn)辄c(diǎn)，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，所以可得直線的方程為，即．聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去得，解得，，所以．例題2．（2022·寧夏吳忠區(qū)青銅峽市教育局高二開(kāi)學(xué)考試（理））設(shè)橢圓的離心率，過(guò)點(diǎn)A.(1)求橢圓的方程；(2)求橢圓被直線截得的弦長(zhǎng).【答案】(1)(2)(1)因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上，且離心率為，所以，解得，故橢圓方程為(2)記直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，將代入，得，整理得，則，由弦長(zhǎng)公式得例題3．（2022·貴州黔西·高二期末（理））已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦距為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若斜率為2的直線與交于，兩點(diǎn)．且，求．【答案】（1）

；（2）．（1）由已知，設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，又，解得，故雙曲線的方程為：；（2）設(shè)直線，與雙曲線的方程聯(lián)立可得：設(shè)，則，，，，，解得，因此．例題4．（2022·四川省資中縣球溪高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線：與雙曲線交于，兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．【答案】(1)y2＝1(2)2(1)由已知得a，c＝2，再由c2＝a2+b2，得b2＝1，所以雙曲線C的方程為y2＝1．(2)由直線與雙曲線聯(lián)立得2x2+12x+15＝0，解得x＝﹣3±,,∴|AB|2．同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·四川省資中縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知橢圓:的離心率，且橢圓上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大距離為，點(diǎn)是軸上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若的面積是面積的兩倍，且直線與圓：相切于點(diǎn)，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)(1)由題意知解得:，，所以橢圓的方程為.(2)設(shè)，直線：，，，因?yàn)榈?，有，由，由韋達(dá)定理得，，由，，則，，化簡(jiǎn).原點(diǎn)到直線的距離，又直線與圓：相切，所以，即，，即，解得，此時(shí)，滿(mǎn)足，此時(shí)，在中，，所以的長(zhǎng)為2．（2022·陜西寶雞·一模（文））橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成一個(gè)正方形．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，且，求．【答案】(1)(2)(1)兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成一個(gè)正方形，，橢圓過(guò)點(diǎn)，，又，解得：，橢圓的方程為：；(2)，設(shè)，聯(lián)立方程得：，，，，，，，；3．（2022·河北·衡水市第二中學(xué)高二期中）（1）已知A，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是.求點(diǎn)的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀：（2）已知過(guò)雙曲線上的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交雙曲線于A，兩點(diǎn)，求.【答案】（1）軌跡方程為，軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，不含左右頂點(diǎn)；（2）.（1）設(shè)，因?yàn)?，，所以，整理得，故點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，不含左右頂點(diǎn).（2）由得，，，所以,即，所以右焦點(diǎn)，因?yàn)橹本€的傾斜角是，且直線經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，所以直線的方程為,由可得：，所以，，所以.4．（2022·廣東廣州·高二期末）已知曲線：.(1)若曲線是雙曲線，求的取值范圍；(2)設(shè)，已知過(guò)曲線的右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交曲線于A，B兩點(diǎn)，求.【答案】(1)(2)(1)要使曲線：為雙曲線，只需，解得：，即的取值范圍.(2)當(dāng)m=0時(shí),曲線C的方程為,可得，所以右焦點(diǎn)，由題意可得直線l的方程為:.設(shè),聯(lián)立整理可得：,可得：所以弦長(zhǎng)，所以重點(diǎn)題型二：根據(jù)橢圓、雙曲線的弦長(zhǎng)求參數(shù)典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓：的離心率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)1)，直線經(jīng)過(guò)且與橢圓相交于兩點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)求此時(shí)直線的方程；【答案】(1)；(2)或?yàn)?(1)，，即，，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)1)，，解得，所以橢圓方程為.(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即直線的方程，此時(shí)，直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組可得消可得，其判別式，，，整理可得，解得即此時(shí)直線方程為或?yàn)?例題2．（2022·全國(guó)·高一）橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與圓相切，與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【答案】(1)(2)或(1)由橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，離心率為，可得半焦距且，解得，又由，所以橢圓方程為.(2)由（1）得，圓的方程為，設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立方程組，可得，所以，，所以，解得或，所以直線或.例題3．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高二開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的對(duì)稱(chēng)軸都是坐標(biāo)軸，且過(guò)點(diǎn)，到雙曲線兩焦點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值等于2.(1)求雙曲線的方程；(2)如果雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，直線l經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】(1)或(2)或或(1)因?yàn)殡p曲線C的對(duì)稱(chēng)軸都是坐標(biāo)軸，則C的對(duì)稱(chēng)中心是坐標(biāo)原點(diǎn).所以C的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程.因?yàn)镃過(guò)點(diǎn)，P到C兩焦點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值等于2，①若C的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)，所以解得所以雙曲線C的方程為.②若C的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)，所以解得所以雙曲線C的方程為.故C的方程為或(2)由（1）知C的方程為.所以C的右焦點(diǎn)為.①若直線l的斜率不存在，則其方程為，代入C方程得l與C交點(diǎn)坐標(biāo)為，，則弦長(zhǎng)為6，符合題意.②若直線l的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立消去y得.所以①，②，設(shè)，，則，，所以.解得，滿(mǎn)足①②.所以直線l的方程為，或.綜上：直線l的方程為，或，或.例題4．（2022·上海市七寶中學(xué)附屬鑫都實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）已知雙曲線，直線與交于、兩點(diǎn)．(1)若點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，求的漸近線方程；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率等于1，且，求雙曲線的離心率．【答案】(1)(2)或(1)∵點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，∴，又∵且，解得，∴雙曲線方程為，∴的漸近線方程為：；(2)設(shè)直線的方程為，且，，聯(lián)立，可得，則，∴，即，∴，解得或，即由可得或，故雙曲線的離心率或.同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·浙江省諸暨市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，且的最大值為3，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)動(dòng)點(diǎn)在拋物線：上，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線分別交直線于，兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)；(2).(1)設(shè)橢圓半焦距為c，依題意有，解得，，，所以橢圓方程為；(2)設(shè)，，，過(guò)點(diǎn)的橢圓切線斜率為k，此切線方程為，由，得，由得到，可得，切線MA，MB的斜率分別為k1，k2，所以，，顯然，，則，而，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.2．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室一模（理））在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)是曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，過(guò)，分別作直線的垂線與軸相交于，兩點(diǎn).若，求此時(shí)直線的斜率.【答案】（1）；（2）.（1）設(shè)，則，所以可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為（2）可得，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立可得所以因?yàn)檫^(guò)A，B分別作直線l的垂線與x軸相交于M，N兩點(diǎn)所以所以直線的方程為，令可得，同理可得所以所以解得，所以3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求雙曲線的方程；（2）若斜率為2的直線交雙曲線交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.（1）由，得，又，∴，∴雙曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，由，得，∴，得，∴弦長(zhǎng)，解得，∴直線的方程為或.4．（2021·江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線：離心率為2，且過(guò)點(diǎn).(1)求的方程：(2)若斜率為的直線l與交于P，Q兩點(diǎn)，面積為，求直線方程.【答案】(1)；(2)或.(1)解：因?yàn)殡p曲線離心率為2，則，所以①，又點(diǎn)在上，則②，由①②可得，，，所以雙曲線的方程為.(2)解：設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，所以，因?yàn)?，點(diǎn)到直線的距離，所以.所以直線的方程為或.重點(diǎn)題型三：拋物線的焦點(diǎn)弦典型例題例題1．（2022·上?！とA東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高二期中）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且向量是直線的一個(gè)法向量．(1)求直線的方程及拋物線準(zhǔn)線方程；(2)求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)準(zhǔn)線方程為，直線方程為；(2)5．(1)拋物線方程為，即，，因此焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)橄蛄渴侵本€l的一個(gè)法向量，所以直線方程為，即；(2)設(shè)．由得，則，所以．例題2．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)是，斜率為的直線經(jīng)過(guò)且與拋物線相交于、兩點(diǎn)．(1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；(2)求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為，(2)(1)解：由焦點(diǎn)，得，解得．所以拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為，(2)解：設(shè)，，，．直線的方程為．與拋物線方程聯(lián)立，得，消去，整理得，由拋物線的定義可知，．所以線段的長(zhǎng)為．同類(lèi)題型歸類(lèi)練1．（2022·江蘇·高二）已知過(guò)拋物線方程的焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若，求弦長(zhǎng)．【答案】8設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則，過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，由拋物線的定義知：.2．（2022·江蘇·高二）已知拋物線過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線的方程，并求其準(zhǔn)線方程；(2)過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)，作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)拋物線，準(zhǔn)線：.(2)(1)過(guò)點(diǎn)，，解得：，拋物線，準(zhǔn)線方程為：(2)由（1）知：拋物線焦點(diǎn)為，設(shè)直線，，，由得：，，.3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線l交該拋物線于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】.由題可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，令得：，所以，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，聯(lián)立得：，設(shè)，則，，綜上，的取值范圍為.4．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，且.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程.【答案】(1)(2)或(1)根據(jù)拋物線的定義得，解得：，所以拋物線方程是(2)拋物線的焦點(diǎn)，直線的斜率不可能為0，設(shè)直線：，與拋物線方程聯(lián)立得，設(shè)，則，，解得：，所以直線的方程是或.重點(diǎn)題型四：拋物線的非焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題典型例題例題1．（2022·四川·富順第二中學(xué)校高二階段練習(xí)（理））已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，開(kāi)口向右且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若過(guò)的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)或(1)設(shè)拋物線，拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；(2)由（1）得：，設(shè)直線，，，由得：，則，，解得：，直線方程為：或，即或.例題2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線（為常數(shù)，）的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn).(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線的斜率為，求.【