不定積分解題方法與技巧總結

./不定積分解題方法總結摘要：在微分學中,不定積分是定積分、二重積分等的基礎,學好不定積分十分重要.然而在學習過程中發(fā)現(xiàn)不定積分不像微分那樣直觀和"有章可循".本文論述了筆者在學習過程中對不定積分解題方法的歸納和總結.關鍵詞：不定積分；總結；解題方法不定積分看似形式多樣,變幻莫測,但并不是毫無解題規(guī)律可言.本文所總結的是一般規(guī)律,并非所有相似題型都適用,具體情況仍需要具體分析.利用基本公式.〔這就不多說了~第一類換元法.〔湊微分設f<μ>具有原函數(shù)F<μ>.則其中可微.用湊微分法求解不定積分時,首先要認真觀察被積函數(shù),尋找導數(shù)項內容,同時為下一步積分做準備.當實在看不清楚被積函數(shù)特點時,不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導、嘗試,或許從中可以得到某種啟迪.如例1、例2：例1：[解]例2：[解]第二類換元法：設是單調、可導的函數(shù),并且具有原函數(shù),則有換元公式第二類換元法主要是針對多種形式的無理根式.常見的變換形式需要熟記會用.主要有以下幾種：〔7當根號內出現(xiàn)單項式或多項式時一般用代去根號.但當根號內出現(xiàn)高次冪時可能保留根號,〔7當根號內出現(xiàn)單項式或多項式時一般用代去根號.但當根號內出現(xiàn)高次冪時可能保留根號,分部積分法.公式：分部積分法采用迂回的技巧,規(guī)避難點,挑容易積分的部分先做,最終完成不定積分.具體選取時,通?；谝韵聝牲c考慮：降低多項式部分的系數(shù)簡化被積函數(shù)的類型舉兩個例子吧~！例3：[解]觀察被積函數(shù),選取變換,則例4：[解]上面的例3,降低了多項式系數(shù)；例4,簡化了被積函數(shù)的類型.有時,分部積分會產(chǎn)生循環(huán),最終也可求得不定積分.在中,的選取有下面簡單的規(guī)律：將以上規(guī)律化成一個圖就是：〔a^xarcsinx〔lnxPm<x>sinx>νμ〔a^xarcsinx〔lnxPm<x>sinx>νμ但是,當時,是無法求解的.對于〔3情況,有兩個通用公式：〔分部積分法用處多多~在本冊雜志的《涉及l(fā)nx的不定積分》中,常可以看到分部積分5不定積分中三角函數(shù)的處理1.分子分母上下同時加、減、乘、除某三角函數(shù).被積函數(shù)上下同乘變形為令,則為2.只有三角函數(shù)時盡量尋找三角函數(shù)之間的關系,注意的使用.三角函數(shù)之間都存在著轉換關系.被積函數(shù)的形式越簡單可能題目會越難,適當?shù)氖褂萌呛瘮?shù)之間的轉換可以使解題的思路變得清晰.3.函數(shù)的降次①形如積分〔m,n為非負整數(shù)當m為奇數(shù)時,可令,于是,轉化為多項式的積分當n為奇數(shù)時,可令,于是,同樣轉化為多項式的積分.當m,n均為偶數(shù)時,可反復利用下列三角公式：不斷降低被積函數(shù)的冪次,直至化為前兩種情形之一為止.②形如和的積分〔n為正整數(shù)令,則,,從而已轉化成有理函數(shù)的積分.類似地,可通過代換轉為成有理函數(shù)的積分.③形如和的積分〔n為正整數(shù)當n為偶數(shù)時,若令,則,于是已轉化成多項式的積分.類似地,可通過代換轉化成有理函數(shù)的積分.當n為奇數(shù)時,利用分部積分法來求即可.4.當有x與三角函數(shù)相乘或除時一般使用分部積分法.幾種特殊類型函數(shù)的積分.有理函數(shù)的積分有理函數(shù)先化為多項式和真分式之和,再把分解為若干個部分分式之和.〔對各部分分式的處理可能會比較復雜.出現(xiàn)時,記得用遞推公式：1.有理真分式化為部分分式之和求解①簡單的有理真分式的拆分②注意分子和分母在形式上的聯(lián)系此類題目一般還有另外一種題型：2.注意分母〔分子有理化的使用例5：[解]故不定積分求得.〔2三角函數(shù)有理式的積分萬能公式：的積分,但由于計算較煩,應盡量避免.對于只含有tanx〔或cotx的分式,必化成.再用待定系數(shù)來做.〔注：沒舉例題并不代表不重要~簡單無理函數(shù)的積分一般用第二類換元法中的那些變換形式.像一些簡單的,應靈活運用.如：同時出現(xiàn)時,可令；同時出現(xiàn)時,可令；同時出現(xiàn)時,可令x=sint；同時出現(xiàn)時,可令x=cost等等.〔4善于利用,因為其求導后不變.這道題目中首先會注意到,因為其形式比較復雜.但是可以發(fā)現(xiàn)其求導后為與分母差,另外因為求導后不變,所以容易想到分子分母同乘以.〔5某些題正的不行倒著來這道題換元的思路比較奇特,一般我們會直接使用,然而這樣的換元方法是解不出本題的.我概括此類題的方法為"正的不行倒著來",當這類一般的換元法行不通時嘗試下.這種思路類似于證明題中的反證法.〔6注意復雜部分求導后的導數(shù)注意到:本題把被積函數(shù)拆為三部分：,的分子為分母的導數(shù),的值為1,的分子為分母因式分解后的一部分.此類題目出現(xiàn)的次數(shù)不多,一般在競賽中出現(xiàn).〔