經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分微積分基本公式

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分微積分基本公式匯報(bào)人：AA2024-01-252023-2026ONEKEEPVIEWREPORTINGAAAAAAAAAAAA目錄CATALOGUE微積分基本概念與性質(zhì)微分法及其應(yīng)用積分法及其應(yīng)用微分方程及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用無(wú)窮級(jí)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型中微積分應(yīng)用案例分析微積分基本概念與性質(zhì)PART01微分學(xué)的主要內(nèi)容包括極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。積分學(xué)的主要內(nèi)容包括定積分、不定積分等。微積分定義及意義導(dǎo)數(shù)是函數(shù)值隨自變量變化而變化的快慢程度，而微分則是函數(shù)值隨自變量變化而變化的微量。導(dǎo)數(shù)是微分的商，即函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率；微分是導(dǎo)數(shù)與自變量的乘積，即函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線縱坐標(biāo)增量。導(dǎo)數(shù)和微分都是描述函數(shù)局部性質(zhì)的概念，它們之間存在密切的聯(lián)系。微分與導(dǎo)數(shù)關(guān)系積分概念及性質(zhì)積分是微積分學(xué)中的另一個(gè)重要概念，主要研究函數(shù)在一定區(qū)間上的面積、體積等總量問(wèn)題。定積分是求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的面積，其結(jié)果是一個(gè)確定的數(shù)值；不定積分則是求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)，其結(jié)果是一個(gè)函數(shù)族。積分具有線性性、可加性、保號(hào)性、絕對(duì)可積性等基本性質(zhì)。微分與積分關(guān)系微分和積分是互為逆運(yùn)算的兩個(gè)過(guò)程。微分是從函數(shù)到其導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，而積分則是從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)到原函數(shù)的運(yùn)算。02微分定理（如羅爾定理、拉格朗日中值定理等）建立了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系；而積分定理（如牛頓-萊布尼茨公式等）則建立了函數(shù)與其原函數(shù)之間的聯(lián)系。03在實(shí)際應(yīng)用中，微分和積分常常需要配合使用，例如求解最優(yōu)化問(wèn)題、求解微分方程等。01微分法及其應(yīng)用PART02基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的基本導(dǎo)數(shù)公式。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則理解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，掌握鏈?zhǔn)椒▌t。四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)法則掌握加法、減法、乘法、除法的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則。導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則逐次求導(dǎo)法通過(guò)連續(xù)多次求導(dǎo)得到高階導(dǎo)數(shù)。萊布尼茲公式適用于乘積形式的高階導(dǎo)數(shù)求解，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。高階導(dǎo)數(shù)求解方法隱函數(shù)求導(dǎo)技巧直接求導(dǎo)法將隱函數(shù)兩邊同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo)，解出導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。對(duì)數(shù)求導(dǎo)法通過(guò)對(duì)隱函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)，將乘法、除法轉(zhuǎn)化為加法、減法，再求導(dǎo)以簡(jiǎn)化計(jì)算。邊際分析利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量之間的邊際關(guān)系，如邊際成本、邊際收益等。彈性分析通過(guò)導(dǎo)數(shù)計(jì)算需求彈性、供給彈性等，分析市場(chǎng)供求關(guān)系。最優(yōu)化問(wèn)題運(yùn)用微分法求解經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最優(yōu)化問(wèn)題，如最大利潤(rùn)、最小成本等。微分法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用積分法及其應(yīng)用PART03通過(guò)將被積函數(shù)與微分因子相乘，從而將其轉(zhuǎn)化為易于積分的形式。湊微分法通過(guò)變量代換簡(jiǎn)化被積函數(shù)，從而更容易找到原函數(shù)。換元法將不定積分轉(zhuǎn)化為兩個(gè)易于計(jì)算的函數(shù)的乘積的積分，通過(guò)分步計(jì)算得到結(jié)果。分部積分法不定積分計(jì)算技巧定積分定義定積分是求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的圖像與x軸所圍成的面積。微積分基本定理建立了不定積分與定積分之間的聯(lián)系，使得定積分的計(jì)算變得簡(jiǎn)單。定積分性質(zhì)包括可加性、保號(hào)性、絕對(duì)值不等式、估值定理等。定積分定義及性質(zhì)由邊際函數(shù)求原函數(shù)定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用通過(guò)定積分可以求出總收益、總成本等經(jīng)濟(jì)量的函數(shù)表達(dá)式。由邊際函數(shù)求最值通過(guò)求解邊際函數(shù)的零點(diǎn)，可以確定經(jīng)濟(jì)量的最大值或最小值。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，速度往往表示某種經(jīng)濟(jì)量的變化率，通過(guò)定積分可以求出該經(jīng)濟(jì)量的累積變化量。由速度求路程廣義積分的定義廣義積分是指積分區(qū)間為無(wú)限區(qū)間或被積函數(shù)在有限區(qū)間內(nèi)存在無(wú)界點(diǎn)的定積分。廣義積分的計(jì)算對(duì)于不同類型的廣義積分，需要采用不同的計(jì)算方法，如換元法、分部積分法等。廣義積分的收斂性廣義積分的收斂性與其被積函數(shù)的性質(zhì)密切相關(guān)，需要判斷其是否滿足收斂條件。廣義積分簡(jiǎn)介微分方程及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用PART0401$y'+p(x)y=q(x)$一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式02通過(guò)積分因子法，將方程轉(zhuǎn)化為可積分的形式，進(jìn)而求解得到通解。求解方法03若給出初始條件$y(x_0)=y_0$，則可通過(guò)通解求得特解。初始條件一階線性微分方程解法可分離變量微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式$frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$求解方法將方程兩邊同時(shí)積分，得到$G(y)=intf(x)dx+C$，其中$C$為常數(shù)。初始條件若給出初始條件$y(x_0)=y_0$，則可通過(guò)$G(y)$求得特解。可分離變量微分方程解法030201二階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式$y''+py'+qy=0$求解方法通過(guò)特征方程法，求得特征根，進(jìn)而得到通解。若特征根為復(fù)數(shù)，則通解為三角函數(shù)形式；若特征根為實(shí)數(shù)，則通解為指數(shù)函數(shù)形式。初始條件若給出初始條件$y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y'_0$，則可通過(guò)通解求得特解。二階常系數(shù)線性微分方程解法投資決策模型利用微分方程刻畫投資項(xiàng)目的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，如最優(yōu)控制理論在投資決策中的應(yīng)用。金融衍生品定價(jià)模型利用微分方程刻畫金融衍生品的價(jià)值變化過(guò)程，如Black-Scholes模型等。市場(chǎng)均衡模型通過(guò)微分方程描述市場(chǎng)供求關(guān)系的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，如Cournot模型、Stackelberg模型等。經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型通過(guò)微分方程描述經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，如Solow模型等。微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用舉例無(wú)窮級(jí)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用PART05通過(guò)比較級(jí)數(shù)的通項(xiàng)與已知收斂或發(fā)散級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，來(lái)判斷原級(jí)數(shù)的收斂性。比較判別法利用級(jí)數(shù)相鄰兩項(xiàng)之比的極限值來(lái)判斷級(jí)數(shù)的收斂性。比值判別法通過(guò)求級(jí)數(shù)通項(xiàng)的n次方根的極限值來(lái)判斷級(jí)數(shù)的收斂性。根值判別法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法將函數(shù)在指定點(diǎn)進(jìn)行泰勒展開，得到冪級(jí)數(shù)表達(dá)式。通過(guò)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間，結(jié)合端點(diǎn)處的斂散性，確定冪級(jí)數(shù)的收斂域。冪級(jí)數(shù)展開與收斂域判斷收斂域判斷冪級(jí)數(shù)展開通過(guò)判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和序列是否滿足柯西準(zhǔn)則，來(lái)判斷級(jí)數(shù)的一致收斂性?？挛鳒?zhǔn)則利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)在區(qū)間上的上界和下界的性質(zhì)，來(lái)判斷級(jí)數(shù)的一致收斂性。維爾斯特拉斯判別法函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別法無(wú)窮級(jí)數(shù)在復(fù)利計(jì)算中用于表示未來(lái)現(xiàn)金流的折現(xiàn)值，通過(guò)求和得到總收益。復(fù)利計(jì)算在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，無(wú)窮級(jí)數(shù)可用于表示需求或供給函數(shù)的變化率，即彈性，從而分析市場(chǎng)均衡。彈性分析在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，無(wú)窮級(jí)數(shù)可用于表示動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，求解最優(yōu)策略。動(dòng)態(tài)規(guī)劃010203無(wú)窮級(jí)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用舉例經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型中微積分應(yīng)用案例分析PART06彈性分析利用微積分中的彈性概念，分析投入要素價(jià)格變化對(duì)產(chǎn)量的影響程度，為生產(chǎn)者提供決策依據(jù)。最優(yōu)投入量確定通過(guò)求解生產(chǎn)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，確定使得產(chǎn)量最大化或成本最小化的最優(yōu)投入量。邊際產(chǎn)量計(jì)算通過(guò)求導(dǎo)計(jì)算生產(chǎn)函數(shù)在某一點(diǎn)的斜率，即邊際產(chǎn)量，表示增加一單位投入要素所帶來(lái)的產(chǎn)出變化。生產(chǎn)函數(shù)模型中微積分應(yīng)用123運(yùn)用微積分計(jì)算消費(fèi)者在不同消費(fèi)量下的邊際效用，揭示消費(fèi)者在滿足程度上的變化。邊際效用分析通過(guò)求解消費(fèi)者效用最大化問(wèn)題的一階條件，得到消費(fèi)者均衡時(shí)各種商品的消費(fèi)量。消費(fèi)者均衡條件基于消費(fèi)者均衡條件，推導(dǎo)出消費(fèi)者對(duì)各種商品的需求函數(shù)，為市場(chǎng)分析提供依據(jù)。需求函數(shù)推導(dǎo)消費(fèi)者行為模型中微積分應(yīng)用03市場(chǎng)失靈分析通過(guò)微積分方法分析市場(chǎng)失靈現(xiàn)象，如壟斷、外部性等對(duì)市場(chǎng)均衡的干擾及后果。01市場(chǎng)供求平衡利用微積分描述市場(chǎng)供求關(guān)系，通過(guò)求解市場(chǎng)供求平衡時(shí)的價(jià)格和數(shù)量，分析市場(chǎng)運(yùn)行狀況。02價(jià)格彈性計(jì)算根據(jù)市場(chǎng)需求或供給函數(shù)，運(yùn)用微積分計(jì)算價(jià)格彈性，衡量?jī)r(jià)格變動(dòng)對(duì)市場(chǎng)均衡的影響。市場(chǎng)均衡模型中微積分應(yīng)用索洛增長(zhǎng)模型運(yùn)用微積分描述資本積累、技術(shù)進(jìn)步等因素對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)，揭示經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的內(nèi)在機(jī)制。最優(yōu)增長(zhǎng)路徑通過(guò)求解