新教材2023版高中數(shù)學第六章導數(shù)及其應用6.2利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)6.2.1導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性第2課時導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的應用課件新人教B版選擇性必修第三冊

第2課時導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的應用新知初探·自主學習課堂探究·素養(yǎng)提升新知初探·自主學習基

礎

自

測

1．已知函數(shù)f(x)，g(x)對任意實數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且當x>0時，有f′(x)>0，g′(x)>0，則當x<0時，有(

)A.f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0解析：由已知，得f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)．∵當x>0時，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上均單調(diào)遞增，∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，∴當x<0時，f′(x)>0，g′(x)<0.答案：B

答案：B

解析：f′(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝[x－(a＋1)](x－a)，令f′(x)<0，得a<x<a＋1，故f(x)的減區(qū)間是(a，a＋1).答案：(a，a＋1)

課堂探究·素養(yǎng)提升

方法歸納1．研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論．2．劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論，還要確定導數(shù)為0的點和函數(shù)的間斷點

已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍【思考探究】1．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1為單調(diào)遞增函數(shù)，如何求實數(shù)a的取值范圍．[提示]由已知得f′(x)＝3x2－a，因為f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f′(x)＝3x2－a＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a＜3x2對x∈R恒成立，因為3x2≥0，所以只需a＜0.又因為a＝0時，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，所以a≤0.

例2

已知關(guān)于x的函數(shù)y＝x3－ax＋b.(1)若函數(shù)y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，求a的取值范圍；【解析】

y′＝3x2－a.(1)若函數(shù)y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)．則y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)時恒成立，即a≤3x2在x∈(1，＋∞)時恒成立，則a≤(3x2)min.因為x>1，所以3x2>3.所以a≤3，即a的取值范圍是(－∞，3].(2)若函數(shù)y＝x3－ax＋b的一個單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，求a的值．

狀元隨筆(1)函數(shù)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，則必有y′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a的取值范圍．(2)函數(shù)y的一個單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，即函數(shù)單調(diào)區(qū)間的端點值為1，由此可解得a的值．

方法歸納1．已知f(x)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍的方法(1)利用集合的包含關(guān)系處理f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)的問題，則區(qū)間(a，b)是相應單調(diào)區(qū)間的子集；(2)利用不等式的恒成立處理．可導函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)的充要條件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應注意參數(shù)的取值是f′(x)不恒等于0的參數(shù)的范圍，然后檢驗參數(shù)取“＝”時是否滿足題意．2．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上不單調(diào)，則轉(zhuǎn)化為f′(x)＝0在(a，b)上有解(需驗證解的兩側(cè)導數(shù)是否異號)．

答案：

D(2)若函數(shù)y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上不單調(diào)，求a的取值范圍．

利用導數(shù)證明不等式例3

證明ex≥x＋1≥sinx＋1(x≥0)．【證明】令f(x)＝ex－x－1(x≥0)，則f′(x)＝ex－1≥0，∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴對任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，∴f(x)≥0，即ex≥x＋1，令g(x)＝x－sinx(x≥0)，g′(x)＝1－cosx≥0，∴g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴g(x)≥g(0)，即x－sinx≥0，∴x＋1≥sinx＋1(x≥0).綜上，ex≥x＋1≥sinx＋1(x≥1).方法歸納用導數(shù)證明不等式f(x)>g(x)的一般步驟(1)構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b].(2)證明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.(3)依(2)知函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是單調(diào)增函數(shù)，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．這是因為F(x)≥F(a)>0，即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.跟蹤訓練3

證明不等式lnx≤x－1.

教材反思1．牢記利用導數(shù)法解決取值范圍問題的2個基本思路(1)將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，再利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗參數(shù)取“＝”時是否滿足題意；(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗證參數(shù)取“＝”時f(x)是否滿足題意．2．掌握恒成立問題的重要思路利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取