高考復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種求法及高考真題

數(shù)列通項(xiàng)公式的求法1.觀察法：已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，要求寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，主要從以下幾個(gè)方面來考慮，一是對數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行分拆以后，尋找分拆項(xiàng)之間的規(guī)律；二是如果數(shù)列中出現(xiàn)正負(fù)項(xiàng)相間的話，則需用或來調(diào)節(jié)；三是和等差與等比數(shù)列相聯(lián)系，利用特殊數(shù)列求解。例1、求下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。①②1，0，1，0③3，33，333，3333④11，103，1005，100072．前n項(xiàng)和法（知求）1、若數(shù)列的前n項(xiàng)和，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。2、若數(shù)列的前n項(xiàng)和，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。3、已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。3.形如型（累加法）（1）若f(n)為常數(shù),即：,此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列，則=.（2）若f(n)為n的函數(shù)時(shí)，用累加法.例1.已知數(shù)列｛an｝滿足,證明例2.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.例3.已知數(shù)列滿足，，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.注意：形如型（1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列{}為“等和數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，通過累加來求出通項(xiàng);或用逐差法(兩式相減)得，，分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng).例1.數(shù)列{}滿足,,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.4.形如型（累乘法）（1）當(dāng)f(n)為常數(shù)，即：（其中q是不為0的常數(shù)），此數(shù)列為等比且=.（2）當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時(shí),用累乘法.例1、在數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)、在數(shù)列中，求。5.形如型（取倒數(shù)法）例1.已知數(shù)列中，，，求通項(xiàng)公式例2．若數(shù)列中，，，求通項(xiàng)公式.6．形如,其中)型（構(gòu)造新的等比數(shù)列）（1）若c=1時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列;（2）若d=0時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列;（3）若時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.方法如下：設(shè),利用待定系數(shù)法求出A例1．已知數(shù)列中，求通項(xiàng).練習(xí).若數(shù)列中，,,求通項(xiàng)公式。7.形如型（構(gòu)造新的等比數(shù)列）(1)若(其中q是常數(shù)，且n0,1)=1\*GB3①若p=1時(shí)，即：，累加即可=2\*GB3②若時(shí)，即：，后面的待定系數(shù)法也用指數(shù)形式。兩邊同除以.即：,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型6來解，1、已知，，求。2、已知數(shù)列中，，，求通項(xiàng)公式。8.形如(其中p,q為常數(shù))型（1）當(dāng)p+q=1時(shí)用轉(zhuǎn)化法例1.數(shù)列中，若,且滿足,求.（2）當(dāng)時(shí)用待定系數(shù)法.例2.已知數(shù)列滿足，且,且滿足,求.9.形如(其中p,r為常數(shù))型（1）p>0，用對數(shù)法.（2）p<0時(shí)用迭代法.例1.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，（n≥2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例2已知數(shù)列，（1）證明（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.練習(xí)：1.（2014全國大綱卷.文17）數(shù)列滿足，，.（Ⅰ）設(shè)，證明是等差數(shù)列；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式；2．（全國II）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，3．（全國卷I）已知為等比數(shù)列，，求的通項(xiàng)式。4．（安徽卷）在等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和滿足條件，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；5．（遼寧卷）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為求q的值；6．（全國卷I）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，求首項(xiàng)與通項(xiàng)；7.（福建卷）已知數(shù)列｛a｝滿足a=1,a=2a+1(n∈N)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；8．（福建卷）已知數(shù)列滿足 （I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；9．（江西卷）已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；10．（山東卷）已知數(shù)列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3….(Ⅰ)令(Ⅱ)求數(shù)列數(shù)列通項(xiàng)公式的求法1.觀察法：已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，要求寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，主要從以下幾個(gè)方面來考慮，一是對數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行分拆以后，尋找分拆項(xiàng)之間的規(guī)律；二是如果數(shù)列中出現(xiàn)正負(fù)項(xiàng)相間的話，則需用或來調(diào)節(jié)；三是和等差與等比數(shù)列相聯(lián)系，利用特殊數(shù)列求解。例1、求下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。①②1，0，1，0③3，33，333，3333④11，103，1005，10007解：①此數(shù)列可拆為三部分，第一部分為通項(xiàng)是，第二部分分子部分為，通項(xiàng)是，第三部分分母部分為通項(xiàng)是，再由來調(diào)節(jié)正負(fù)號即可，故；②此數(shù)列是由兩個(gè)基本數(shù)列和求得，故；③在此數(shù)列中，，，從而可得④此數(shù)列是由兩個(gè)基本數(shù)列與對應(yīng)項(xiàng)求和而得，故通項(xiàng)公式為2．前n項(xiàng)和法（知求）1、若數(shù)列的前n項(xiàng)和，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。答案：2、若數(shù)列的前n項(xiàng)和，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。答案：3、例5、已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：∵當(dāng)時(shí)有，，∴，∴，則是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列。 ∴∴∵，∴又，故為所求的通項(xiàng)公式。3.形如型（累加法）（1）若f(n)為常數(shù),即：,此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列，則=.（2）若f(n)為n的函數(shù)時(shí)，用累加法.例1.已知數(shù)列｛an｝滿足,證明證明：由已知得：=.例2.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案：例3.已知數(shù)列滿足，，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案：評注：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng).=1\*GB3①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;②若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;③若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。注意：形如型（1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列{}為“等和數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，通過累加來求出通項(xiàng);或用逐差法(兩式相減)得，，分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng).例1.數(shù)列{}滿足,,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.分析1：構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型解法1：令則.時(shí),各式相加:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.此時(shí)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，此時(shí),所以.故解法2：時(shí)，，兩式相減得：.構(gòu)成以,為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列;構(gòu)成以,為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列.評注：結(jié)果要還原成n的表達(dá)式.4.形如型（累乘法）（1）當(dāng)f(n)為常數(shù)，即：（其中q是不為0的常數(shù)），此數(shù)列為等比且=.（2）當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時(shí),用累乘法.例1、在數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。答案：練習(xí)、在數(shù)列中，求。答案：5.形如型（取倒數(shù)法）例1.已知數(shù)列中，，，求通項(xiàng)公式解：取倒數(shù)：例2．若數(shù)列中，，，求通項(xiàng)公式.答案：6．形如,其中)型（構(gòu)造新的等比數(shù)列）（1）若c=1時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列;（2）若d=0時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列;（3）若時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.方法如下：設(shè),利用待定系數(shù)法求出A例1．已知數(shù)列中，求通項(xiàng).分析：待定系數(shù)法構(gòu)造構(gòu)造新的等比數(shù)列。解：由設(shè),解出A=-1,則所以數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列所以,即.練習(xí).若數(shù)列中，,,求通項(xiàng)公式。答案：7.形如型（構(gòu)造新的等比數(shù)列）(1)若(其中q是常數(shù)，且n0,1)=1\*GB3①若p=1時(shí)，即：，累加即可=2\*GB3②若時(shí)，即：，后面的待定系數(shù)法也用指數(shù)形式。兩邊同除以.即：,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型6來解，1、已知，，求。2、已知數(shù)列中，，，求通項(xiàng)公式。答案：評注：本題的關(guān)鍵是兩邊同除以，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為類型5，構(gòu)造出新的等比數(shù)列，從而將求一般數(shù)列的通項(xiàng)問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項(xiàng)問題.8.形如(其中p,q為常數(shù))型（1）當(dāng)p+q=1時(shí)用轉(zhuǎn)化法例1.數(shù)列中，若,且滿足,求.解：把變形為.則數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則利用類型3的方法可得.（2）當(dāng)時(shí)用待定系數(shù)法.例2.已知數(shù)列滿足，且,且滿足,求.解：令,即,與已知比較，則有,故或由來運(yùn)算，即有,則數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故,即①由來運(yùn)算，即有,則數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故,即②由①②可得.評注：形如的遞推數(shù)列,我們通常采用兩次類型(5)的方法來求解,但這種方法比較復(fù)雜,我們采用特征根的方法:設(shè)方程的二根為,設(shè),再利用的值求得p,q的值即可.9.形如(其中p,r為常數(shù))型（1）p>0，用對數(shù)法.（2）p<0時(shí)用迭代法.例1.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，（n≥2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：兩邊取對數(shù)得：，，設(shè)，則是以2為公比的等比數(shù)列，，，，∴練習(xí)數(shù)列中，，（n≥2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案：例2（江西2005）已知數(shù)列，（1）證明（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：（1）略（2）所以又bn=－1，所以.方法2：本題用歸納-猜想-證明，也很簡捷，請?jiān)囈辉?解法3：設(shè)c，則c,轉(zhuǎn)化為上面類型（1）來解.練習(xí)：1.（2014全國大綱卷.文17）數(shù)列滿足，，.（Ⅰ）設(shè)，證明是等差數(shù)列；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式；2．（全國II）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，解：設(shè)的公比為q，由，所以得…=1\*GB3①……=2\*GB3②由=1\*GB3①、=2\*GB3②式得整理得解得所以q＝2或q＝－2將q＝2代入=1\*GB3①式得，所以將q＝－2代入=1\*GB3①式得，所以3．（全國卷I）已知為等比數(shù)列，，求的通項(xiàng)式。解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q≠0,a2=eq\f(a3,q)=eq\f(2,q),a4=a3q=2q所以eq\f(2,q)+2q=eq\f(20,3),解得q1=eq\f(1,3),q2=3,當(dāng)q1=eq\f(1,3),a1=18.所以an=18×(eq\f(1,3))n－1=eq\f(18,3n－1)=2×33－n.當(dāng)q=3時(shí),a1=eq\f(2,9),所以an=eq\f(2,9)×3n－1=2×3n－3.4．（安徽卷）在等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和滿足條件，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：設(shè)等差數(shù)列的公差為,由得：，所以，即，又＝，所以。5．（遼寧卷）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為求q的值；解法一：當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí),.是等差數(shù)列,,············4分解法二：當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),..又,所以,得··4分6．（全國卷I）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，求首項(xiàng)與通項(xiàng)；解:由Sn=eq\f(4,3)an－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3),n=1,2,3，…,①得a1=S1=eq\f(4,3)a1－eq\f(1,3)×4+eq\f(2,3)所以a1=2.再由①有Sn－1=eq\f(4,3)an－1－eq\f(1,3)×2n+eq\f(2,3),n=2,3，4,…將①和②相減得:an=Sn－Sn－1=eq\f(4,3)(an－an－1)－eq\f(1,3)×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而數(shù)列{an+2n}是首項(xiàng)為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列,即:an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,7.（福建卷）已知數(shù)列｛a｝滿足a=1,a=2a+1(n∈N)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；解析：本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力。解：是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。即8．（福建卷）已知數(shù)列滿足 （I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（I）證明：是以為首項(xiàng)，2為公比的等