概率課件第5講

§2-4

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布例1一個靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶。以X表示彈著點與圓心的距離，試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)1）由題意知當(dāng)x<0時（2）當(dāng)時如何求k=?又由條件知射擊都能中靶，圓盤靶子的半徑為2故所以當(dāng)時（3）當(dāng)x>2時故隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為易知F(x)為連續(xù)函數(shù)，對分布函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得且容易看出有下式成立在這種情況我們稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，下面給出一般定義即F(x)恰是非負(fù)連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間上的積分一.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

1.定義2.2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),如果存在一個非負(fù)可積函數(shù)f(x),使對任意的實數(shù)x，均有則稱X是連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x)是X的概率密度或密度函數(shù)，簡稱密度。連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)和密度函數(shù)f(x)統(tǒng)稱為X的概率分布，簡稱X的分布。2.概率密度函數(shù)的性質(zhì)（1）（2）這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)f(x)是否為某r.v.X的概率密度函數(shù)的充要條件.

f(x)xo面積為1(3)P(a<X

b)=F(b)

F(a)

證明：兩邊取極限，有(4)在f(x)的連續(xù)點

處，有(5)設(shè)x為f(x)的連續(xù)點，當(dāng)

x>0且較小時,則有

P(x<X

x+

x)=F(x+

x)-F(x)=密度函數(shù)f(x)在某點x處

的值，反映了X在x附近單位區(qū)間內(nèi)取值的概率的大小。反映了概率在x點的密集程度。f(x)較大，說明了X在x點的概率密集程度較大，隨機(jī)變量在x點的附近取值的概率較大；反之，若f(x)較小，說明X在x點的密集程度較低，隨機(jī)變量在x點附近取值的概率較小。(6)P(X=x0)=F(x0)

F(x0

0)=0對連續(xù)型r.vX,有進(jìn)一步有如注意：是一個概率為0的事件，而不一定是不可能事件例2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求(1)常數(shù)k；（2）X的分布函數(shù)；（3）P(1<X<7/2).解：（1）由密度函數(shù)的性質(zhì)（2）當(dāng)x<0時，當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)x>4時，故隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為（3）例3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求（1）常數(shù)C值；（2）X取值于（0.3，0.7）內(nèi)的概率；（3）X的密度函數(shù)的表達(dá)式。解：（1）由連續(xù)性知：即C=1（2）（3）由分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系知二幾種常見的分布

(1)若隨機(jī)變量X的概率密度為

1.均勻分布（Uniform）則稱X在[a,b]上服從均勻分布，記為X～U[a,b]

（3）對于a

c<d

b（2）分布函數(shù)為（3)表明，若X~U[a,b],則X取值與[a,b]上的任意小區(qū)間上的概率，與小區(qū)間的長度成正比，而與小區(qū)間的位置無關(guān).

一般地，設(shè)D是數(shù)軸上一些不相交的區(qū)間之和，若X的概率密度為

則稱X在D上服從均勻分布。

2指數(shù)分布若隨機(jī)變量X的概率密度為其中常數(shù)

>0，則稱X服從參數(shù)為

的指數(shù)分布，相應(yīng)的分布函數(shù)為

指數(shù)分布的一個最常見的應(yīng)用是使用它來做各種壽命分布的近似。例如：電子元件的壽命，動物的壽命都可以近似的用指數(shù)分布來描述。服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量X有下面的性質(zhì)對任意的s,t這個性質(zhì)稱為指數(shù)分布的“永遠(yuǎn)年青性”或“無記憶性”比如說；某元件的壽命服從指數(shù)分布，那么已知它使用了s小時無損壞的條件下，在使用t小時以上的概率，和從一開始使用時算起，它能使用t小時以上的概率是一樣的。指數(shù)分布描述了無老化時的壽命分布。但“無老化”是不可能的，因而只是一種近似，對于一些壽命長的元件，在初期階段老化現(xiàn)象很小，這一階段指數(shù)分布比較確切地描述了其壽命分布情況。比如人的壽命，一般，在50歲以前，由于生理的老化而死亡的因素是次要的。若排除意外因素的影響，人的壽命在這個階段接近指數(shù)分布若考慮老化，則X服從威布爾分布

3.正態(tài)分布的定義若r.v

X的概率密度為記作其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.X的分布函數(shù)為

a.正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于

對稱的鐘形曲線.特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”.f(μ+c)=f(μ-c)4.正態(tài)分布密度函數(shù)圖形的特點b.決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.稱為位置參數(shù)稱為形狀參數(shù)c.在x=μ處達(dá)到最大值:d.這說明曲線f(x)向左右伸展時，越來越貼近x軸。即f(x)以x軸為漸近線。

當(dāng)x→

∞時，f(x)→0,e.為f(x)的兩個拐點的橫坐標(biāo)。x=μ

σ

年降雨量、同齡人身高、在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)——如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力、農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高、測量誤差、射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差、信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布.設(shè)X~,X的分布函數(shù)是5.正態(tài)分布的分布函數(shù)6.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：注意：Φ(0)=0.5Φ(

x)=1

Φ(x)

若X～N(0,1)7.正態(tài)分布的計算

對任意的實數(shù)x1，

x2(x1<x2)，有例4設(shè)X~N(

,

2),求P(|X-

|<k

)的值,k=1,2,3解：查表得即為“3

”原則質(zhì)量控制中的3

原則。設(shè)在正常生產(chǎn)的情況下，某零件的尺寸X服從正態(tài)分布N(

,

2),為了在生產(chǎn)過程中隨時檢查有無系統(tǒng)性誤差出現(xiàn)，人們畫了一個質(zhì)量控制圖。每隔一定時間，對產(chǎn)品尺寸進(jìn)行檢查，測量的產(chǎn)品的尺寸應(yīng)落在上、下控制線之內(nèi)。如果點超出控制線，則很有可能是生產(chǎn)出現(xiàn)了異常情況，應(yīng)該暫停生產(chǎn)進(jìn)行檢查。當(dāng)然也可能虛報，但虛報的可能性比較小。

例5某市高校高等數(shù)學(xué)統(tǒng)考,假定考生成績X~N(

,

2).現(xiàn)已知80分以上者占總?cè)藬?shù)的33%,40分以下者占總?cè)藬?shù)的8%,求考生的及格率.解：由題意知：又因為查表得解得及格率為一橋長60m,以橋的中點為原點,沿著橋的方向引入坐標(biāo)軸.一架飛機(jī)沿著坐標(biāo)軸俯沖投彈轟炸此橋,假定彈著點的坐標(biāo)X~N(0,100

2).(1)求投擲一枚炸彈,命中此橋的概率;(2)問獨立投擲多少枚炸彈,才能使至少有一枚彈命中此橋的概率大于0.99.例6解：（1）由題意得（2）設(shè)投n枚炮彈才能滿足要求每枚炮彈只有兩個可能的結(jié)果，即命中與不命中且命中率為p=0.2358故n發(fā)炮彈命中橋的次數(shù)Y~B(n,p)

解得n>8.562,故n=9問題的提出§2-5隨機(jī)變量函數(shù)的分布在實際問題中，我們常常對某些隨機(jī)變量的函數(shù)感興趣。例如，在一些試驗中，所關(guān)心的隨機(jī)變量不能由直接測量得到，而它卻是某個能夠直接測量的隨機(jī)變量的函數(shù)。如，考察一批圓軸的截面面積Y，我們能夠直接測量的是直徑X，且當(dāng)直徑X取x值時，截面面積Y的取值為

一般地，設(shè)X,Y是兩個隨機(jī)變量，y=g(x)是一個已知函數(shù)，如果當(dāng)X取值x時，Y取值為g(x)，則稱Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)。記為Y=g(X)

問題是：如何由已知的隨機(jī)變量X的概率分布去求得它的函數(shù)Y=g(X)的概率分布一離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例7設(shè)X求Y=(X–1)2的分布律.～解：Y所有可能的取值為：0，1，4故Y的分布律為把(2)和(4)合并得P(Y=1)=0.7一般地，若X的分布列為

Xx1x2……xk……Pp1p2……pk……則Y=g(X)的分布列為

Yg(x1)g(x2)……g(xk)……Pp1p2……pk……如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項（即概率相加）即可.二連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例8設(shè)X~求Y=2X+8的概率密度.解：設(shè)X，Y的分布函數(shù)為FY(y)，F(xiàn)X(x)FY(y)=P{Yy}=P(2X+8y)=P{X}=FX()于是Y的密度函數(shù)故當(dāng)8<y<16時，

當(dāng)y

8或y

16時，

1.當(dāng)y=g(x)是單調(diào)函數(shù)

定理

若連續(xù)型隨機(jī)變量X只在(a,b)上取值，它的概率密度為fX(x)，又y=

(x)是嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，則Y=

(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為其中x=

(y)是y=

(x)的反函數(shù)，(

，

)是y=

(x),a<x<b的值域。

假設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1/2的指數(shù)分布，試求Y=1-e-2X的分布。

例9解：當(dāng)x>0時，對于有為x的單調(diào)增函數(shù)且所以即Y~U(0,1)2.當(dāng)y=g(x)是非單調(diào)函數(shù)法一：用基本方法（從分布函數(shù)出發(fā)）法二：變成幾個單調(diào)區(qū)間，在每個單調(diào)區(qū)間上用公式結(jié)果在求和假設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fX(x)，-<x<+,求Y=X2的概率密度。

例10當(dāng)y>0時,

注意到Y(jié)