2023-2024學年山西省忻州市岢嵐縣中學高三下學期第五次調研考試數學試題含解析

2023-2024學年山西省忻州市岢嵐縣中學高三下學期第五次調研考試數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數在定義城內可導，的圖象如圖所示，則導函數的圖象可能為（）A． B．C． D．2．已知函數（）的部分圖象如圖所示.則（）A． B．C． D．3．已知，復數，，且為實數，則（）A． B． C．3 D．-34．已知函數（，，），將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的部分圖象如圖所示，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．將函數圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再將圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則函數圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．6．設命題：，，則為A．， B．，C．， D．，7．已知是雙曲線的兩個焦點，過點且垂直于軸的直線與相交于兩點，若，則的內切圓半徑為（）A． B． C． D．8．已知函數（其中為自然對數的底數）有兩個零點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．9．關于圓周率，數學發(fā)展史上出現過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā)，某同學通過下面的隨機模擬方法來估計的值：先用計算機產生個數對，其中，都是區(qū)間上的均勻隨機數，再統計，能與構成銳角三角形三邊長的數對的個數﹔最后根據統計數來估計的值.若，則的估計值為（）A． B． C． D．10．設正項等差數列的前項和為，且滿足，則的最小值為A．8 B．16 C．24 D．3611．等比數列中，，則與的等比中項是（）A．±4 B．4 C． D．12．命題“”的否定是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知關于空間兩條不同直線m、n，兩個不同平面、，有下列四個命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若，且，則.其中正確命題的序號為______.14．已知向量與的夾角為，||＝||＝1，且⊥（λ），則實數_____.15．已知兩圓相交于兩點,，若兩圓圓心都在直線上，則的值是________________.16．函數的定義域是___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）以直角坐標系的原點為極坐標系的極點，軸的正半軸為極軸．已知曲線的極坐標方程為，是上一動點，，點的軌跡為．（1）求曲線的極坐標方程，并化為直角坐標方程；（2）若點，直線的參數方程（為參數），直線與曲線的交點為，當取最小值時，求直線的普通方程．18．（12分）已知拋物線的頂點為原點，其焦點關于直線的對稱點為，且.若點為的準線上的任意一點，過點作的兩條切線，其中為切點.（1）求拋物線的方程；（2）求證：直線恒過定點，并求面積的最小值.19．（12分）若函數為奇函數，且時有極小值.（1）求實數的值與實數的取值范圍；（2）若恒成立，求實數的取值范圍.20．（12分）已知函數，.（1）若時，解不等式；（2）若關于的不等式在上有解，求實數的取值范圍.21．（12分）已知在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求直線的直角坐標方程；（2）求曲線上的點到直線距離的最小值和最大值.22．（10分）金秋九月，丹桂飄香，某高校迎來了一大批優(yōu)秀的學生．新生接待其實也是和社會溝通的一個平臺．校團委、學生會從在校學生中隨機抽取了160名學生，對是否愿意投入到新生接待工作進行了問卷調查，統計數據如下：愿意不愿意男生6020女士4040（1）根據上表說明，能否有99%把握認為愿意參加新生接待工作與性別有關；（2）現從參與問卷調查且愿意參加新生接待工作的學生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取10人．若從這10人中隨機選取3人到火車站迎接新生，設選取的3人中女生人數為，寫出的分布列，并求．附：，其中．0.050.010.0013.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據的圖象可得的單調性，從而得到在相應范圍上的符號和極值點，據此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為增函數，且在上存在正數，使得在上為增函數，在為減函數，故在有兩個不同的零點，且在這兩個零點的附近，有變化，故排除A，B.由在上為增函數可得在上恒成立，故排除C.故選：D.【點睛】本題考查導函數圖象的識別，此類問題應根據原函數的單調性來考慮導函數的符號與零點情況，本題屬于基礎題.2、C【解析】

由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意，，即,解得；因為所以，當時，.故選:C.【點睛】本題主要考查了由三角函數的圖象求解析式和已知函數值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數化簡中的應用,難度一般.3、B【解析】

把和代入再由復數代數形式的乘法運算化簡，利用虛部為0求得m值．【詳解】因為為實數，所以，解得.【點睛】本題考查復數的概念，考查運算求解能力.4、B【解析】

先根據圖象求出函數的解析式,再由平移知識得到的解析式,然后分別找出和的等價條件,即可根據充分條件,必要條件的定義求出.【詳解】設,根據圖象可知,,再由,取,∴.將函數的圖象向右平移個單位長度,得到函數的圖象,∴.,,令,則,顯然,∴是的必要不充分條件.故選：B．【點睛】本題主要考查利用圖象求正(余)弦型函數的解析式,三角函數的圖形變換,二倍角公式的應用,充分條件,必要條件的定義的應用,意在考查學生的數學運算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.5、D【解析】

根據函數圖象的變換規(guī)律可得到解析式，然后將四個選項代入逐一判斷即可.【詳解】解：圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得到再將圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖象，故選：D【點睛】考查三角函數圖象的變換規(guī)律以及其有關性質，基礎題.6、D【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結果即可.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題：，，則為：，.故本題答案為D.【點睛】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關系，是基礎題.7、B【解析】

首先由求得雙曲線的方程，進而求得三角形的面積，再由三角形的面積等于周長乘以內切圓的半徑即可求解.【詳解】由題意將代入雙曲線的方程,得則,由,得的周長為,設的內切圓的半徑為,則,故選：B【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查三角形的內心的概念，考查了轉化的思想，屬于中檔題.8、B【解析】

求出導函數，確定函數的單調性，確定函數的最值，根據零點存在定理可確定參數范圍．【詳解】，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，∴在上只有一個極大值也是最大值，顯然時，，時，，因此要使函數有兩個零點，則，∴．故選：B．【點睛】本題考查函數的零點，考查用導數研究函數的最值，根據零點存在定理確定參數范圍．9、B【解析】

先利用幾何概型的概率計算公式算出，能與構成銳角三角形三邊長的概率，然后再利用隨機模擬方法得到，能與構成銳角三角形三邊長的概率，二者概率相等即可估計出.【詳解】因為，都是區(qū)間上的均勻隨機數，所以有，，若，能與構成銳角三角形三邊長，則，由幾何概型的概率計算公式知，所以.故選：B.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算公式及運用隨機數模擬法估計概率，考查學生的基本計算能力，是一個中檔題.10、B【解析】

方法一：由題意得，根據等差數列的性質，得成等差數列，設，則，，則，當且僅當時等號成立，從而的最小值為16，故選B．方法二：設正項等差數列的公差為d，由等差數列的前項和公式及，化簡可得，即，則，當且僅當，即時等號成立，從而的最小值為16，故選B．11、A【解析】

利用等比數列的性質可得，即可得出．【詳解】設與的等比中項是．

由等比數列的性質可得，．

∴與的等比中項

故選A．【點睛】本題考查了等比中項的求法，屬于基礎題．12、D【解析】

根據全稱命題的否定是特稱命題,對命題進行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“,”的否定是：，．故選D．【點睛】本題考查全稱命題的否定,難度容易.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、③④【解析】

由直線與直線的位置關系，直線與平面的位置關系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷．【詳解】①若且，的位置關系是平行、相交或異面，①錯；②若且，則或者，②錯；③若，設過的平面與交于直線，則，又，則，∴，③正確；④若，且，由線面垂直的定義知，④正確．故答案為：③④．【點睛】本題考查直線與直線的位置關系，直線與平面的位置關系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義，考查空間線面間的位置關系，掌握空間線線、線面、面面位置關系是解題基礎．14、1【解析】

根據條件即可得出，由即可得出，進行數量積的運算即可求出λ．【詳解】∵向量與的夾角為，||＝||＝1，且；∴；∴λ＝1．故答案為：1．【點睛】考查向量數量積的運算及計算公式，以及向量垂直的充要條件．15、【解析】

根據題意，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得與直線垂直，且的中點在這條直線上，列出方程解得即可得到結論.【詳解】由,，設的中點為，根據題意，可得,且，解得，,，故.故答案為：.【點睛】本題考查相交弦的性質，解題的關鍵在于利用相交弦的性質，即兩圓的連心線垂直平分相交弦，屬于基礎題.16、【解析】

由于偶次根式中被開方數非負，對數的真數要大于零，然后解不等式組可得答案.【詳解】解：由題意得，，解得，所以，故答案為：【點睛】此題考查函數定義域的求法，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）設點極坐標分別為,，由可得,整理即可得到極坐標方程,進而求得直角坐標方程；（2）設點對應的參數分別為，則，，將直線的參數方程代入的直角坐標方程中,再利用韋達定理可得，，則，求得取最小值時符合的條件,進而求得直線的普通方程.【詳解】（1）設點極坐標分別為，，因為,則，所以曲線的極坐標方程為，兩邊同乘,得，所以的直角坐標方程為,即.（2）設點對應的參數分別為，則,，將直線的參數方程（參數），代入的直角坐標方程中，整理得.由韋達定理得，，所以，當且僅當時，等號成立，則，所以當取得最小值時，直線的普通方程為.【點睛】本題考查極坐標與直角坐標方程的轉化,考查利用直線的參數方程研究直線與圓的位置關系．18、（1）（2）見解析，最小值為4【解析】

（1）根據焦點到直線的距離列方程，求得的值，由此求得拋物線的方程.（2）設出的坐標，利用導數求得切線的方程，由此判斷出直線恒過拋物線焦點.求得三角形面積的表達式，進而求得面積的最小值.【詳解】（1）依題意，解得（負根舍去）∴拋物線的方程為（2）設點，由，即，得∴拋物線在點處的切線的方程為，即∵，∴∵點在切線上，①，同理，②綜合①、②得，點的坐標都滿足方程.即直線恒過拋物線焦點當時，此時，可知：當，此時直線直線的斜率為，得于是，而把直線代入中消去得，即：當時，最小，且最小值為4【點睛】本小題主要考查點到直線的距離公式，考查拋物線方程的求法，考查拋物線的切線方程的求法，考查直線過定點問題，考查拋物線中三角形面積的最值的求法，考查運算求解能力，屬于難題.19、（1），；（2）【解析】

（1）由奇函數可知在定義域上恒成立，由此建立方程，即可求出實數的值；對函數進行求導，，通過導數求出，若，則恒成立不符合題意，當，可證明，此時時有極小值.（2）可知，進而得到，令，通過導數可知在上為單調減函數，由可得，從而可求實數的取值范圍.【詳解】（1）由函數為奇函數，得在定義域上恒成立，所以，化簡可得，所以.則，令，則.故當時，；當時，，故在上遞減，在上遞增，若，則恒成立，單調遞增，無極值點；所以，解得，取，則又函數的圖象在區(qū)間上連續(xù)不間斷，故由函數零點存在性定理知在區(qū)間上，存在為函數的零點，為極小值，所以，的取值范圍是.（2）由滿足，代入，消去可得.構造函數，所以，當時，，即恒成立，故在上為單調減函數，其中.則可轉化為，故，由，設，可得當時，則在上遞增，故.綜上，的取值范圍是.【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求函數的最值，考查了奇函數的定義，考查了轉化的思想.對于恒成立的問題，常轉化為求的最小值，使；對于恒成立的問題，常轉化為求的最大值，使.20、（1）（2）【解析】

（1）零點分段法，分，，討論即可；（2）當時，原問題可轉化為：存在，使不等式成立，即.【詳解】解：（1）若時，，當時，原不等式可化為，解得，所以，當時，原不等式可化為，解得，所以，當時，原不等式可化為，解得，所以，綜上述：不等式的解