(人教A版必修第二冊(cè))高一數(shù)學(xué)下冊(cè)同步講義 專(zhuān)題01 平面向量的概念及線性運(yùn)算（課時(shí)訓(xùn)練）（原卷版+解析）

專(zhuān)題01平面向量的概念、線性運(yùn)算A組基礎(chǔ)鞏固1．（2020·山西·靈丘縣豪洋中學(xué)高一期中）下列說(shuō)法正確的是（）A．單位向量都相等B．若，則C．若，則D．若，（），則與是平行向量2．（2020·寧夏育才中學(xué)高一階段練習(xí)）有下列命題：①若，則；②若，則四邊形是平行四邊形；③若，，則；④若，，則.其中，假命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2021·廣西·田東中學(xué)高二期末（理））下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）①單位向量都相等；②模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量；③若，滿(mǎn)足且與同向，則；④若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合；⑤若∥∥，則∥．A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)4．（2022·廣東番禺·高二期末）在空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC的中點(diǎn)，則等于（）A． B．C． D．5．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE與CG相交于點(diǎn)M，則下列關(guān)系不一定成立的是（）A．||=|| B．與共線C．與共線 D．與共線6．（2021·四川樂(lè)山·高一期末）如圖，、、分別是等邊各邊的中點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是（）A． B．C． D．7．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，設(shè)是正六邊形的中心，則與不相等的向量為（）A． B． C． D．8．（2021·安徽·亳州二中高一期末）已知三點(diǎn)A(－1，1)，B(0，2)，C(2，x)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則x＝（）A．2 B．－2C．4 D．－49．（2021·福建福州·高三期中）在中，AD為邊BC上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．10．（2022·遼寧遼陽(yáng)·高一期末）在中，為的中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（）A． B．C． D．11．（2022·遼寧大連·高一期末）在中，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，，若，，則（）A． B． C． D．12．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）下列條件中能得到的是（）A． B．與的方向相同；C．，為任意向量 D．且13．（2022·全國(guó)·高一）在下列說(shuō)法中正確的有（）①在物理學(xué)中，作用力與反作用力是一對(duì)共線向量；②溫度有零上溫度和零下溫度，因此溫度也是向量；③方向?yàn)槟掀鞯南蛄颗c北偏東的向量是共線向量

；④平面上的數(shù)軸都是向量.A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)14．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在矩形中，可以用同一條有向線段表示的向量是（）A．和 B．和C．和 D．和15．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)O是對(duì)角線AD?BE?CF的交點(diǎn)，在以A?B?C?D?E?F?O為端點(diǎn)的向量中與向量相等的向量的個(gè)數(shù)是___________.16．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的是______．①空間向量與是共線向量，則，，，四點(diǎn)必在一條直線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④四邊形是平行四邊形的充要條件是；⑤模為0是一個(gè)向量方向不確定的充要條件．

B組能力提升17．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選題）在下列結(jié)論中，正確的有（）A．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合 B．平行向量又稱(chēng)為共線向量C．兩個(gè)相等向量的模相等 D．兩個(gè)相反向量的模相等18．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選題）如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，則在這6個(gè)向量中（）A．向量的模相等 B．C．向量共線 D．19．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法中正確的是（）A．單位向量都相等B．任一向量與它的相反向量不相等C．四邊形是平行四邊形的充要條件D．模為0是一個(gè)向量的方向是任意的充要條件20．（2021·湖南·雷鋒學(xué)校高一階段練習(xí)）（多選題）下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則21．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問(wèn)：（1）與相等的向量共有幾個(gè)；（2）與方向相同且模為的向量共有幾個(gè)；22．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）飛機(jī)從A地按北偏西15°的方向飛行到達(dá)B地，再?gòu)腂地按南偏東75°的方向飛行到達(dá)C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多遠(yuǎn)？

23．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，為兩個(gè)非零向量．(1)求作向量及；(2)向量，成什么位置關(guān)系時(shí)，？（不要求證明）24．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，，，，，試用，，，，表示以下向量：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．專(zhuān)題01平面向量的概念、線性運(yùn)算A組基礎(chǔ)鞏固1．（2020·山西·靈丘縣豪洋中學(xué)高一期中）下列說(shuō)法正確的是（）A．單位向量都相等B．若，則C．若，則D．若，（），則與是平行向量【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相等向量，共線向量的定義判斷可得；【詳解】解：對(duì)于，單位向量的模長(zhǎng)相等，但方向不一定相同，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，其模長(zhǎng)與可能相等或，或，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，不一定有，因?yàn)橐遗c同向，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，，（），則與是平行向量，正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本概念應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．2．（2020·寧夏育才中學(xué)高一階段練習(xí)）有下列命題：①若，則；②若，則四邊形是平行四邊形；③若，，則；④若，，則.其中，假命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的概念及向量平行的相關(guān)知識(shí)逐個(gè)判斷即可.【詳解】，則的方向不確定,則不一定相等,①錯(cuò)誤;若,則的方向不一定相同,所以四邊形不一定是平行四邊形,②錯(cuò)誤;若,,則,③正確；若，，則時(shí),不一定成立,所以④錯(cuò)誤.綜上,假命題的是①②④,共3個(gè).故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的概念,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.3．（2021·廣西·田東中學(xué)高二期末（理））下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）①單位向量都相等；②模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量；③若，滿(mǎn)足且與同向，則；④若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合；⑤若∥∥，則∥．A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【解析】根據(jù)平面向量的基本概念，對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.【詳解】解：對(duì)于①，單位向量的模長(zhǎng)相等，但方向不一定相同，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量或相反向量，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，向量是有方向的量，不能比較大小，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，向量是可以自由平移的矢量，當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí)，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，時(shí)，若，則與不一定平行．綜上，以上正確的命題個(gè)數(shù)是0．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本概念，涉及零向量、單位向量、平行向量、相等向量等，意在考查學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況.4．（2022·廣東番禺·高二期末）在空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC的中點(diǎn)，則等于（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合圖形，直接利用，求出，然后即可解答.【詳解】解：因?yàn)榭臻g四邊形OABC如圖，，，，點(diǎn)M在線段OA上，且，N為BC的中點(diǎn)，所以.所以.故選：B.5．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE與CG相交于點(diǎn)M，則下列關(guān)系不一定成立的是（）A．||=|| B．與共線C．與共線 D．與共線【答案】C【解析】【分析】結(jié)合平面圖形的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛BCD，CEFG都是全等的菱形，所以||=||，故A正確；因?yàn)?，且與共線，故與共線，所以B正確；直線BD與EH不一定平行，因此不一定與共線，C項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以與共線，故D正確；故選：C.6．（2021·四川樂(lè)山·高一期末）如圖，、、分別是等邊各邊的中點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】本題可通過(guò)相等向量的性質(zhì)得出結(jié)果.【詳解】A項(xiàng)：與方向不同，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)：因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以且，故，B正確；C項(xiàng)：與方向相反，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：與方向相反，D錯(cuò)誤，故選：B.7．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，設(shè)是正六邊形的中心，則與不相等的向量為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由正六邊形的性質(zhì)結(jié)合平面向量相等的概念即可得解.【詳解】由題意，，.故選：D.8．（2021·安徽·亳州二中高一期末）已知三點(diǎn)A(－1，1)，B(0，2)，C(2，x)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則x＝（）A．2 B．－2C．4 D．－4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理的坐標(biāo)表示進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以,又因?yàn)?，所以，解得?故選：C.9．（2021·福建福州·高三期中）在中，AD為邊BC上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算即可得到答案.【詳解】因?yàn)樵谥?，AD為邊BC上的中線，E為AD的中點(diǎn)，所以.故選：A10．（2022·遼寧遼陽(yáng)·高一期末）在中，為的中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用向量加法的三角形法則，轉(zhuǎn)化為和即可．【詳解】.故選：B11．（2022·遼寧大連·高一期末）在中，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，，若，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算直接運(yùn)算.【詳解】如圖所示：，故選：A.12．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）下列條件中能得到的是（）A． B．與的方向相同；C．，為任意向量 D．且【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相等向量的概念，即可得到結(jié)果.【詳解】由于，所以與的大小相等，方向相同，故D正確.故選：D.13．（2022·全國(guó)·高一）在下列說(shuō)法中正確的有（）①在物理學(xué)中，作用力與反作用力是一對(duì)共線向量；②溫度有零上溫度和零下溫度，因此溫度也是向量；③方向?yàn)槟掀鞯南蛄颗c北偏東的向量是共線向量

；④平面上的數(shù)軸都是向量.A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【解析】【分析】利用向量的定義可判斷②④的正誤，利用共線向量的定義可判斷①③的正誤.【詳解】解：既有大小，又有方向的量統(tǒng)稱(chēng)為向量，結(jié)合向量的定義可知僅有②④錯(cuò)誤，結(jié)合向量的概念以及共線向量的定義可知①③正確，故選：B.14．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在矩形中，可以用同一條有向線段表示的向量是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，向量和的方向相反，但長(zhǎng)度相等，所以和不是相等向量；對(duì)于B中，向量和的方向相同且長(zhǎng)度相等，所以和是相等向量，對(duì)于C中，向量和的方向不同，且長(zhǎng)度不相等，所以和不是相等向量；對(duì)于D中，向量和的方向不同，且長(zhǎng)度不相等，所以和不是相等向量；所以只有向量和可以用同一條有向線段表示.故選：B.15．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)O是對(duì)角線AD?BE?CF的交點(diǎn)，在以A?B?C?D?E?F?O為端點(diǎn)的向量中與向量相等的向量的個(gè)數(shù)是___________.【答案】3【解析】【分析】由相等向量的模長(zhǎng)、方向均相同，結(jié)合幾何圖形寫(xiě)出的相等向量，即知個(gè)數(shù).【詳解】由題圖知：與向量相等的向量有，∴共有3個(gè).故答案為：316．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的是______．①空間向量與是共線向量，則，，，四點(diǎn)必在一條直線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④四邊形是平行四邊形的充要條件是；⑤模為0是一個(gè)向量方向不確定的充要條件．【答案】④⑤【解析】【分析】根據(jù)共線向量的概念，以及單位向量、零向量的定義，以及充分條件、必要條件的判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由共線向量即為平行向量，只要求兩個(gè)向量方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量，在同一條直線上，所以①不正確．由單位向量的模均相等且為1，但方向并不一定相同，所以②不正確．零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的，所以③不正確，．若，可得且，所以四邊形為平行四邊形，當(dāng)時(shí)若為平行四邊形，可得，所以④正確．由模為0是一個(gè)向量為，其中的方向時(shí)不確定的，所以⑤正確．故答案為：④⑤.

B組能力提升17．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選題）在下列結(jié)論中，正確的有（）A．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合 B．平行向量又稱(chēng)為共線向量C．兩個(gè)相等向量的模相等 D．兩個(gè)相反向量的模相等【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】A.若兩個(gè)向量相等，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定不重合，故錯(cuò)誤；B.平行向量又稱(chēng)為共線向量，根據(jù)平行向量定義知正確；C.相等向量方向相同，模相等，正確；D.相反向量方向相反，模相等，故正確；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了向量的定義和性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題.18．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選題）如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，則在這6個(gè)向量中（）A．向量的模相等 B．C．向量共線 D．【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于ABD，通過(guò)計(jì)算向量的模進(jìn)行判斷即可，對(duì)于C，通過(guò)判斷直線的位置關(guān)系來(lái)判斷兩向量是否共線【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以∥，所以向量共線，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，所以D錯(cuò)誤，故選：BC19．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法中正確的是（）A．單位向量都相等B．任一向量與它的相反向量不相等C．四邊形是平行四邊形的充要條件D．模為0是一個(gè)向量的方向是任意的充要條件【答案】CD【解析】【分析】A.由單位向量的定義判斷；B.由零向量的定義判斷；C.由相等向量的定義判斷；D.由零向量的定義判斷.【詳解】A.單位向量的模均相等且為1，但方向并不一定相同，故錯(cuò)誤；B.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的，故錯(cuò)誤；C.若四邊形是平行四邊形，則一組對(duì)邊平行且相等，有，若，則，則四邊形是平行四邊形，故正確；D.由零向量的規(guī)定，知正確．故選：CD20．（2021·湖南·雷鋒學(xué)校高一階段練習(xí)）（多選題）下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)相等向量、共線向量、向量模長(zhǎng)的定義逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：若，可得到，共線，但，的模長(zhǎng)不一定相等，所以得不出，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：若，但，方向不一定相同，所以得不出，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：若，但，方向不確定，不一定平行，所以得不出，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：若，則且，方向相同，故選項(xiàng)D正確，所以ABC不正確，故選：ABC.21．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，4×3的矩形(每個(gè)小方格都是單位正方形)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，試問(wèn)：（1）與相等的向量共有幾個(gè)；（2）與方向相同且模為的向量共有幾個(gè)；【答案】（1）5；（2）2.【解析】【分析】根據(jù)共線向量和相等向量的定義、以及模的計(jì)算和對(duì)正方形的對(duì)角線即可.【詳解】解：由題可知，每個(gè)小方格都是單位正方形，每個(gè)小正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度為且都與平行，則，（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的兩個(gè)向量，則與相等的向量共有5個(gè)，如圖1；（2）與方向相同且模為的向量共有2個(gè)，