新教材2023版高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.1條件概率與事件的獨(dú)立性4.1.3獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系學(xué)生用書(shū)新人教B版選擇性必修第二冊(cè)

4．1.3獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系[課標(biāo)解讀]1.結(jié)合古典概型，了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系.2.能夠結(jié)合具體實(shí)例，理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條件概率的關(guān)系．【教材要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)事件獨(dú)立的直觀理解若事件A是否發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生的概率沒(méi)有影響，事件B是否發(fā)生對(duì)事件A發(fā)生的概率也沒(méi)有影響，則稱(chēng)兩個(gè)事件A，B相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做____________．且A，B為兩個(gè)事件獨(dú)立的充要條件是P(AB)＝P(A)·P(B).知識(shí)點(diǎn)二獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系設(shè)A，B為兩個(gè)事件，A，B獨(dú)立的充要條件是P(B|A)＝P(B)，(P(A|B)＝P(A))即若事件B發(fā)生的概率與已知事件A發(fā)生時(shí)事件B發(fā)生的概率相等，即事件A發(fā)生，不會(huì)影響事件B發(fā)生的概率，則稱(chēng)兩個(gè)事件A，B相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做____________．知識(shí)點(diǎn)三相互獨(dú)立事件的概率的乘法公式若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B),P(A|B)＝P(A)，此時(shí)概率的乘法公式可簡(jiǎn)化為：P(AB)＝P(A)·P(B).知識(shí)點(diǎn)四n個(gè)事件相互獨(dú)立也可借助條件概率來(lái)理解對(duì)于n個(gè)事件A1，A2，…，An，如果其中任一個(gè)事件發(fā)生的概率不受________________的影響，則稱(chēng)n個(gè)事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立．知識(shí)點(diǎn)五n個(gè)相互獨(dú)立事件的概率公式如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于______________________，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，并且上式中任意多個(gè)事件Ai換成其對(duì)立事件后等式仍成立．【基礎(chǔ)自測(cè)】1．下列說(shuō)法不正確的有()A．對(duì)事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，則事件A與B相互獨(dú)立B．若事件A，B相互獨(dú)立，則P(A∩B)＝P(A)×P(B)C．如果事件A與事件B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)D．若事件A與B相互獨(dú)立，則B與B相互獨(dú)立2．拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一個(gè)反面向上}，則A與B的關(guān)系是()A．互斥事件 B．對(duì)立事件C．相互獨(dú)立事件 D．不相互獨(dú)立事件3．袋內(nèi)有大小相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“第二次摸到白球”，則A與B是()A．互斥事件 B．相互獨(dú)立事件C．對(duì)立事件 D．非相互獨(dú)立事件4．明天上午李明要參加“青年文明號(hào)”活動(dòng)，為了準(zhǔn)時(shí)起床，他用甲、乙兩個(gè)鬧鐘叫醒自己，假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率為0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率為0.90，則兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率是________.題型1相互獨(dú)立事件的判斷例1判斷下列各對(duì)事件是否是相互獨(dú)立事件．(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；(2)容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球，“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的還是白球”；(3)擲一顆骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”．狀元隨筆(1)利用獨(dú)立性概念的直觀解釋進(jìn)行判斷.(2)計(jì)算“從8個(gè)球中任取一球是白球”發(fā)生與否，事件“從剩下的7個(gè)球中任意取出一球還是白球”的概率是否相同進(jìn)行判斷.(3)利用事件的獨(dú)立性定義式判斷．方法歸納判斷事件是否相互獨(dú)立的方法1．定義法：事件A，B相互獨(dú)立?P(A∩B)＝P(A)·P(B).2．由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響．3．條件概率法：當(dāng)P(A)>0時(shí)，可用P(B|A)＝P(B)判斷．跟蹤訓(xùn)練1(1)下列事件中，A，B是相互獨(dú)立事件的是()A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面”，B＝“第二次為反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．?dāng)S一枚骰子，A＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”D．A＝“人能活到20歲”，B＝“人能活到50歲”(2)甲、乙兩名射手同時(shí)向一目標(biāo)射擊，設(shè)事件A：“甲擊中目標(biāo)”，事件B：“乙擊中目標(biāo)”，則事件A與事件B()A．相互獨(dú)立但不互斥B．互斥但不相互獨(dú)立C．相互獨(dú)立且互斥D．既不相互獨(dú)立也不互斥題型2相互獨(dú)立事件發(fā)生的概率例2面對(duì)某種流感病毒，各國(guó)醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)都在研究疫苗，現(xiàn)有A，B，C三個(gè)獨(dú)立的研究機(jī)構(gòu)在一定的時(shí)期內(nèi)能研制出疫苗的概率分別是15，14，1(1)他們都研制出疫苗的概率；(2)他們都失敗的概率；(3)他們能夠研制出疫苗的概率．狀元隨筆eq\x(明確已知事件的概率及其關(guān)系)→eq\x(把待求事件的概率表示成已知事件的概率)→eq\x(選擇公式計(jì)算求值)方法歸納1．求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟(1)首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的；(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；(3)求出每個(gè)事件的概率，再求積．2．使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的，而且它們能同時(shí)發(fā)生．跟蹤訓(xùn)練2一個(gè)袋子中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，每次從中任取2個(gè)球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2個(gè)球都是白球，第2次取出的2個(gè)球都是紅球的概率；(2)第1次取出的2個(gè)球1個(gè)是白球、1個(gè)是紅球，第2次取出的2個(gè)球都是白球的概率．題型3事件的相互獨(dú)立性與互斥性【思考探究】1．甲、乙二人各進(jìn)行一次射擊比賽，記A＝“甲擊中目標(biāo)”，B＝“乙擊中目標(biāo)”，試問(wèn)事件A與B是相互獨(dú)立事件，還是互斥事件？事件A∩B與A∩B呢？[提示]事件A與B，A與B，A與B均是相互獨(dú)立事件，而A∩B與A∩B是互斥事件．2．在1中，若甲、乙二人擊中目標(biāo)的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人擊中目標(biāo)的概率？[提示]“甲、乙二人恰有1人擊中目標(biāo)”記為事件C，則C＝A∩B＋A∩B.所以P(C)＝P(A∩B＋A∩B)＝P(A∩B)＋P(A∩B)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.3．由1、2，你能歸納出相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別嗎？[提示]相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件互斥事件條件事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件符號(hào)相互獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生，記作：AB互斥事件A，B中有一個(gè)發(fā)生，記作：A∪B(或A＋B)計(jì)算公式P(A∩B)＝P(A)P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)例3紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A，B，C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A、乙對(duì)B、丙對(duì)C各一盤(pán)．已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6，0.5，0.5.假設(shè)各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．求：(1)紅隊(duì)中有且只有一名隊(duì)員獲勝的概率；(2)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率．狀元隨筆弄清事件“紅隊(duì)有且只有一名隊(duì)員獲勝”與事件“紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝”是由哪些基本事件組成的，及這些事件間的關(guān)系，然后選擇相應(yīng)概率公式求值．方法歸納1．本題(2)中用到直接法和間接法．當(dāng)遇到“至少”“至多”問(wèn)題可以考慮間接法．2．求復(fù)雜事件的概率一般可分三步進(jìn)行：(1)列出題中涉及的各個(gè)事件，并用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示它們；(2)理清各事件之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)赜檬录g的“并”“交”表示所求事件；(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確地運(yùn)用概率公式進(jìn)行計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練3[2022·北京豐臺(tái)區(qū)高二月考]拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A＝“第一枚硬幣正面朝上”，事件B＝“第二枚硬幣反面朝上”，則A與B的關(guān)系為()A．互斥 B．相互對(duì)立C．相互獨(dú)立 D．相等4．1.3獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]知識(shí)點(diǎn)一相互獨(dú)立事件知識(shí)點(diǎn)二相互獨(dú)立事件知識(shí)點(diǎn)四其他事件是否發(fā)生知識(shí)點(diǎn)五每個(gè)事件發(fā)生的概率的積[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：若P(B|A)＝P(B)，則P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互獨(dú)立，所以A正確；若事件A，B相互獨(dú)立，則A，B也相互獨(dú)立，故B正確；若事件A，B相互獨(dú)立，則A發(fā)生與否不影響B(tài)的發(fā)生，故C正確；B與B相互對(duì)立，不是相互獨(dú)立，故答案：D2．解析：由已知，有P(A)＝1－28＝34，P(B)＝1－48＝12，P(AB)＝38，滿足P(AB)＝P(A)P(B)，則事件A答案：C3．解析：根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件及相互獨(dú)立事件的概念可知，A與B不是相互獨(dú)立事件．答案：D4．解析：設(shè)兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的事件為A，則P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝1－0.20×0.10＝0.98.答案：0.98課堂探究·素養(yǎng)提升例1解析：(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對(duì)“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件．(2)“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”的概率為58，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的仍是白球”的概率為47；若前一事件沒(méi)有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為5(3)記A：出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，B：出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)，則A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，∴P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事件A與B相互獨(dú)立．跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)把一枚硬幣擲兩次，對(duì)于每次而言是相互獨(dú)立的，其結(jié)果不受先后影響，故A項(xiàng)是相互獨(dú)立事件；B中是不放回地摸球，顯然A事件與B事件不相互獨(dú)立；對(duì)于C，A，B應(yīng)為互斥事件，不相互獨(dú)立；D是條件概率，事件B受事件A的影響．故選A.(2)對(duì)同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標(biāo)是互不影響的，所以事件A與B相互獨(dú)立；對(duì)同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手可能同時(shí)擊中目標(biāo)，也就是說(shuō)事件A與B可能同時(shí)發(fā)生，所以事件A與B不是互斥事件．故選A.答案：(1)A(2)A例2解析：令事件A，B，C分別表示A，B，C三個(gè)獨(dú)立的研究機(jī)構(gòu)在一定時(shí)期內(nèi)成功研制出該疫苗，依題意可知，事件A，B，C相互獨(dú)立，且P(A)＝15，P(B)＝14，P(C)＝(1)他們都研制出疫苗，即事件A，B，C同時(shí)發(fā)生，故P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)＝15×1(2)他們都失敗即事件A，故P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝1＝45×3(3)“他們能研制出疫苗”的對(duì)立事件為“他們都失敗”，結(jié)合對(duì)立事件間的概率關(guān)系可得所求事件的概率P＝1－P(A∩B∩C)＝1－25＝3跟蹤訓(xùn)練2解析：記“第1次取出的2個(gè)球都是白球”的事件為A，“第2次取出的2個(gè)球都是紅球”的事件為B，“第1次取出的2個(gè)球中1個(gè)是白球、1個(gè)是紅球”的事件為C，很明顯，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互獨(dú)立事件．(1)P(A∩B)＝P(A)P(B)＝C32C52故第1次取出的2個(gè)球都是白球，第2次取出的2個(gè)球都是紅球的概率是3100(2)P(C∩A)＝P(C)P(A)＝C31C21C5故第1次取出的2個(gè)球中1個(gè)是白球、1個(gè)是紅球，第2次取出的2個(gè)球都是白球的概率是950例3解析：設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則D，E，F(xiàn)分別表示甲不勝A、乙不勝因?yàn)镻(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由對(duì)立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.(1)紅隊(duì)有且只有一名隊(duì)員獲勝的事件有D∩E∩F，D∩E∩F，D∩E∩F，以上3個(gè)事件彼此互斥且獨(dú)立．∴紅隊(duì)有且只有一名隊(duì)員獲勝的概率P1＝P[(D∩E∩F)∪D∩E∩F)∪D∩E＝P(D∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＋PD∩E∩F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.(2)方法一：紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有：D∩E∩F，D∩E∩F，D∩E∩F由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤(pán)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為P＝P(D∩E∩F)＋P(D∩E∩F)+PD∩E∩F)+P(D∩E∩F)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.