建模6-人口的預(yù)測(cè)和控制

佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院上機(jī)報(bào)告課程名稱數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件上機(jī)項(xiàng)目人口的預(yù)測(cè)和控制專業(yè)班級(jí)姓名學(xué)號(hào)具體參考教材P163一、問(wèn)題提出人口問(wèn)題是當(dāng)前世界上人們最關(guān)心的問(wèn)題之一。認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長(zhǎng)的前提。要求：分別建立并求解兩個(gè)最基本的人口模型，即：指數(shù)增長(zhǎng)模型和Logistic模型，并利用表1給出的近兩百年的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，畫出圖形擬合數(shù)據(jù)，對(duì)模型做出檢驗(yàn)，最后用它預(yù)報(bào)2000年的人口。表1人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年（公元）人口（百萬(wàn)）17903.918005.318107.218209.6183012.9184017.1185023.2年（公元）人口（百萬(wàn)）186031.4187038.6188050.2189062.9190076.0191092.01920106.5年（公元）人口（百萬(wàn)）1930123.21940131.71950150.71960179.31970204.01980226.51990251.4模型一：指數(shù)增長(zhǎng)（Malthus）模型：模型假設(shè)：假設(shè)人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r是常數(shù)；假設(shè)t時(shí)刻的人口為x(t)，將x(t)視為連續(xù)、可微函數(shù)。符號(hào)說(shuō)明記初始時(shí)刻（t=0）的人口為，人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r，模型建立：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)x(t)的增量等于r乘以x(t)，則x(t)滿足微分方程模型求解：取初始值x(0)=3.9Matlab程序：dsolve('Dx=r*x','x(0)=3.9','t')結(jié)果：ans=(39*exp(r*t))/10故函數(shù)為。模型的參數(shù)估計(jì)：（即由數(shù)據(jù)求出參數(shù)r）Matlab程序：functionRK=volum(beta,t)RK=3.9*exp(beta(1)*t);t=0:1:20;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4];beta0=[0.01];[beta,r,J]=nlinfit(t',x','renkoumoxing2',beta0);beta結(jié)果：beta=0.2169模型檢驗(yàn)畫圖：畫出原數(shù)據(jù)和已求數(shù)據(jù)的擬合圖形時(shí)間：t=0:1:20;數(shù)據(jù)：x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4];Matlab程序：t=0:1:20;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4];y=3.9*exp(0.2169*t);yplot(t,x,'*',t,y,'r');wucha=abs(x-y)作圖：（根據(jù)擬合出的數(shù)據(jù)和原來(lái)數(shù)據(jù)填寫表格）表2實(shí)際人口與按指數(shù)增長(zhǎng)模型計(jì)算的人口比較年(公元)實(shí)際人口（百萬(wàn)）指數(shù)增長(zhǎng)模型計(jì)算出人口（百萬(wàn)）誤差17903.93.9000018005.34.84470.455318107.26.01811.181918209.67.47582.1242183012.99.28663.6134184017.111.53605.5640185023.214.33038.8697186031.417.801413.5986187038.622.113216.4868188050.227.469522.7305189062.934.123228.7768190076.042.388533.6115191092.052.655839.34421920106.565.410141.08991930123.281.253741.94631940131.7100.935030.76501950150.7125.383425.31661960179.3155.753823.54621970204.0193.480510.51951980226.5240.345313.84531990251.4298.561747.1617（分析原因，該模型的結(jié)果說(shuō)明人口將以指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)。而事實(shí)上，隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的限制作用越來(lái)越顯著。下需要對(duì)該模型進(jìn)行改進(jìn)，即阻滯增長(zhǎng)模型。）模型二：Logistic模型（阻滯增長(zhǎng)模型）模型假設(shè)：(1)假設(shè)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率r下降，且r隨著人口數(shù)量x的增加而下降;（2）假設(shè)r表示為x的函數(shù)r(x)時(shí)減函數(shù)；（3）假設(shè)x=時(shí)，人口不再增長(zhǎng)，即增長(zhǎng)率人（）=0。符號(hào)說(shuō)明r表示固有增長(zhǎng)率，表示人口容量模型建立：阻滯作用體現(xiàn)在對(duì)人口增長(zhǎng)率r的影響上，使得r隨著人口數(shù)量x的增加而下降。若將r表示為x的函數(shù)r(x)，則它應(yīng)是減函數(shù)，則（1）對(duì)r(x)的一個(gè)最簡(jiǎn)單的假設(shè)是，設(shè)r(x)為x的線性函數(shù)，即（2）當(dāng)x=時(shí)人口不再增長(zhǎng)，即（3）（2）式代入（3）式，得于是得到，，所以，（1）式變?yōu)槟Ｐ颓蠼猓喝〕跏贾祒(0)=3.9利用分離變量法，得模型的參數(shù)估計(jì)（即由數(shù)據(jù)求出參數(shù)r和Xm）模型檢驗(yàn)畫圖：（根據(jù)擬合出的數(shù)據(jù)和原來(lái)數(shù)據(jù)填寫表格）表2實(shí)際人口與按指數(shù)增長(zhǎng)模型計(jì)算的人口比較年(公元)實(shí)際人口（百萬(wàn)）logistic模型計(jì)算出人口（百萬(wàn)）誤差17903.918005.318107.218209.6183012.9184017.1185023.2186031.4187038.6188050.2