平面向量初步

匯報人：XX2024-01-25平面向量初步目錄向量基本概念與性質(zhì)平面直角坐標(biāo)系中的向量向量的數(shù)量積與投影平面向量基本定理與線性表示向量空間及其子空間線性變換與矩陣表示01向量基本概念與性質(zhì)向量是既有大小又有方向的量，通常用有向線段表示。向量的定義向量可以用小寫字母加箭頭表示，如$vec{a}$，也可以用起點和終點的大寫字母表示，如$vec{AB}$。向量的表示方法向量的定義及表示方法滿足平行四邊形法則或三角形法則，即$vec{a}+vec=vec{c}$。向量的加法滿足三角形法則，即$vec{a}-vec=vec{c}$。向量的減法滿足數(shù)乘的分配律和結(jié)合律，即$k(vec{a}+vec)=kvec{a}+kvec$，$(k+l)vec{a}=kvec{a}+lvec{a}$。向量的數(shù)乘向量的線性運算性質(zhì)向量的大小稱為向量的模，記作$|vec{a}|$。非零向量與正$x$軸的夾角稱為向量的方向角，記作$theta$，其中$0leqtheta<2pi$。向量的模與方向角向量的方向角向量的模零向量、單位向量、共線向量等概念單位向量相等向量模為1的向量稱為單位向量。大小相等且方向相同的向量稱為相等向量。零向量共線向量相反向量模為零的向量稱為零向量，記作$vec{0}$。方向相同或相反的向量稱為共線向量。大小相等且方向相反的向量稱為相反向量。02平面直角坐標(biāo)系中的向量0102平面直角坐標(biāo)系簡介在平面直角坐標(biāo)系中，任意一點P都可以用一對有序?qū)崝?shù)(x,y)來表示，其中x是點P到y(tǒng)軸的距離，y是點P到x軸的距離。平面直角坐標(biāo)系是一種二維坐標(biāo)系，由兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸組成，分別稱為x軸和y軸。向量在平面直角坐標(biāo)系中的表示方法在平面直角坐標(biāo)系中，向量可以用有向線段來表示，有向線段的起點為向量的始點，終點為向量的終點。向量的坐標(biāo)表示方法：若向量AB的始點A的坐標(biāo)為(x1,y1)，終點B的坐標(biāo)為(x2,y2)，則向量AB可以表示為(x2-x1,y2-y1)。若向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則向量a+向量b=(x1+x2,y1+y2)。向量的加法運算向量的減法運算向量的數(shù)乘運算若向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則向量a-向量b=(x1-x2,y1-y2)。若向量a=(x,y)，實數(shù)λ，則λ向量a=(λx,λy)。030201向量坐標(biāo)運算規(guī)則向量共線的條件若向量a與向量b共線，則存在實數(shù)λ，使得向量a=λ向量b。向量共線的判定方法若向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則向量a與向量b共線的充要條件是x1y2-x2y1=0。向量共線條件及判定方法03向量的數(shù)量積與投影定義：兩個向量$vec{a}$和$vec$的數(shù)量積（點積）定義為$vec{a}cdotvec=|vec{a}||vec|costheta$，其中$theta$是$vec{a}$和$vec$之間的夾角。性質(zhì)交換律：$vec{a}cdotvec=veccdotvec{a}$分配律：$(vec{a}+vec)cdotvec{c}=vec{a}cdotvec{c}+veccdotvec{c}$結(jié)合律：$(lambdavec{a})cdotvec=lambda(vec{a}cdotvec)=vec{a}cdot(lambdavec)$零向量與任何向量的數(shù)量積為零。數(shù)量積定義及性質(zhì)在直角坐標(biāo)系中，若$vec{a}=(x_1,y_1)$，$vec=(x_2,y_2)$，則$vec{a}cdotvec=x_1x_2+y_1y_2$。數(shù)量積的坐標(biāo)表示法提供了一種方便計算向量數(shù)量積的方法，無需考慮向量之間的夾角。數(shù)量積的坐標(biāo)表示法投影概念及其在幾何中的應(yīng)用投影定義：向量$vec$在向量$vec{a}$上的投影定義為$frac{vec{a}cdotvec}{|vec{a}|}$。幾何應(yīng)用計算一個向量在另一個向量上的投影長度。判斷兩個向量的夾角是銳角、直角還是鈍角。在物理中，用于計算力在某一方向上的分量。設(shè)兩個非零向量$vec{a}$和$vec$的夾角為$theta$，則$costheta=frac{vec{a}cdotvec}{|vec{a}||vec|}$。夾角公式設(shè)兩點$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，則$AB=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。距離公式夾角公式和距離公式04平面向量基本定理與線性表示如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2。平面向量基本定理平面向量基本定理表明，平面內(nèi)的任何向量都可以由兩個不共線的向量線性表示。這為向量的線性運算和坐標(biāo)表示提供了基礎(chǔ)。定理意義平面向量基本定理內(nèi)容線性組合對于向量a1,a2,...,an和實數(shù)k1,k2,...,kn，稱向量k1a1+k2a2+...+knan為向量組a1,a2,...,an的一個線性組合。線性表示如果存在一組實數(shù)k1,k2,...,kn，使得向量b可以表示為向量組a1,a2,...,an的線性組合，即b=k1a1+k2a2+...+knan，則稱向量b可由向量組a1,a2,...,an線性表示。線性組合與線性表示方法線性相關(guān)與線性無關(guān)概念線性相關(guān)如果向量組a1,a2,...,an中存在不全為零的實數(shù)k1,k2,...,kn，使得k1a1+k2a2+...+knan=0，則稱向量組a1,a2,...,an線性相關(guān)。線性無關(guān)如果向量組a1,a2,...,an中只有當(dāng)k1=k2=...=kn=0時，才有k1a1+k2a2+...+knan=0，則稱向量組a1,a2,...,an線性無關(guān)。極大無關(guān)組和秩的概念在向量組A中，如果存在一個部分組A0，滿足A0線性無關(guān)，且A中任意添加一個向量后，所得的新向量組都線性相關(guān)，則稱A0是A的一個極大無關(guān)組。極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩。記作R(A)，其中A表示向量組。秩05向量空間及其子空間VS設(shè)V是一個非空集合，P是一個數(shù)域，若對V中任意兩個元素α與β，總有唯一元素γ∈V與之對應(yīng)，稱為α與β的和，記作γ=α+β；若對V中任意元素α與P中任意元素k，總有唯一元素δ∈V與之對應(yīng)，稱為k與α的數(shù)乘，記作δ=kα；并且和與數(shù)乘滿足八條運算法則，則稱V是數(shù)域P上的一個線性空間，或向量空間。向量空間性質(zhì)向量空間具有加法封閉性、數(shù)乘封閉性、加法結(jié)合律、加法交換律、數(shù)乘結(jié)合律、數(shù)乘分配律、加法零元、加法負元等性質(zhì)。向量空間定義向量空間定義及性質(zhì)設(shè)W是數(shù)域P上的線性空間V的一個非空子集，若W對于V中的加法和數(shù)乘也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間，則稱W是V的一個線性子空間（簡稱子空間）。判斷一個子集是否為子空間，需要驗證該子集是否滿足向量空間的定義和性質(zhì)。具體來說，需要驗證加法封閉性、數(shù)乘封閉性、加法結(jié)合律、加法交換律、數(shù)乘結(jié)合律、數(shù)乘分配律等性質(zhì)是否成立。子空間概念判定方法子空間概念及其判定方法維數(shù)基中向量的個數(shù)n稱為線性空間的維數(shù)?；诰€性空間中，如果存在n個線性無關(guān)的向量α1,α2,…,αn，使得V中任意向量α都可以由它們線性表示出來，即α=k1α1+k2α2+…+knαn，則稱向量組α1,α2,…,αn為V的一個基。坐標(biāo)對于線性空間中任意向量α，如果存在一組數(shù)k1,k2,…,kn使得α=k1α1+k2α2+…+knαn，則稱這組數(shù)為向量α在基α1,α2,…,αn下的坐標(biāo)?；?、維數(shù)和坐標(biāo)等概念設(shè)α1,α2,…,αn與β1,β2,…,βn是線性空間V的兩組基，由基的定義可知，向量組β1,β2,…,βn可由向量組α1,α2,…,αn線性表示出來，即存在一組數(shù)cij(i,j=1,2,…,n)使得βi=∑cijαj(i=1,2,…,n)。這組數(shù)構(gòu)成的矩陣C=(cij)稱為由基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的過渡矩陣。過渡矩陣設(shè)向量α在基α1,α2,…,αn下的坐標(biāo)為(x1,x2,…,xn)T，在基β1,β2,…,βn下的坐標(biāo)為(y1,y2,…,yn)T，則有坐標(biāo)變換公式(y1,y2,…,yn)T=C(x1,x2,…,xn)T。坐標(biāo)變換公式過渡矩陣和坐標(biāo)變換公式06線性變換與矩陣表示線性變換定義：設(shè)V和W是數(shù)域F上的線性空間，σ是V到W的映射。若對V中任意的向量α，β和F中任意的數(shù)k，都有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)，σ(kα)=kσ(α)，則稱σ是V到W的一個線性映射或線性變換。線性變換性質(zhì)線性變換保持向量加法運算和數(shù)乘運算。零向量經(jīng)線性變換后仍為零向量。若向量α可經(jīng)線性變換得到向量β，則向量α與向量β等價。線性變換定義及性質(zhì)矩陣表示法：在取定基下，線性變換可以表示為矩陣。設(shè)σ是數(shù)域F上線性空間V的一個線性變換，α1，α2，…，αn是V的一個基，如果以α1，α2，…，αn的像σ(α1)，σ(α2)，…，σ(αn)為列構(gòu)成一個n階矩陣A，則這個矩陣A就稱為線性變換σ在基α1，α2，…，αn下的矩陣。運算規(guī)則線性變換的矩陣乘法滿足結(jié)合律和分配律。不同基下的線性變換矩陣是相似的。同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的。0102030405矩陣表示法及其運算規(guī)則特征值設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)m和非零n維列向量x，使得Ax=mx成立，則稱m是A的一個特征值（characteristicvalue)。要點一要點二特征向量對應(yīng)于特征值m的非零n維列向量