四年級下冊數(shù)學(xué)奧數(shù)試題-培優(yōu)拓展訓(xùn)練：第17講 圖形計數(shù)進(jìn)階

第十七釬囹形計毅還階

大腦體操

作業(yè)完成情況

知識梳理

乘法原理

我們在完成一件事時往往要分為多個步驟，每個步驟又有多種方法，當(dāng)計算一共有多

少種完成方法時就要用到

乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n個步驟，其中，做第一步有3種不同的方

法，做第二步有叱種不同的方法，…，做第n步有A種不同的方法，則完成這件事

一共有2種不同的方法.

乘法原理運用的范圍：這件事要分幾個彼此互不影響的獨立步驟來完成，這幾步是完

成這件任務(wù)缺一不可的，這樣的問題可以使用我們可以簡記為：

二、乘法原理解題三部曲

1、完成一件事分力個必要步驟；

2、每步找種數(shù)（每步的情況都不能單獨完成該件事）；

3、

三、乘法原理的考題類型

1、路線種類問題一一比如說從A地到B地有三種交通方式，從B地到C地有2種交通

方式，問從A地到C地有多少種乘車方案；

2、字的染色問題一一比如說要3個字，然后有5種顏色可以給每個字然后，問3個字

有多少種染色方法；

3、地圖的染色問題一一同學(xué)們可以回家看地圖，比如中國每個省的染色情況，給你幾

種顏色，問你一張包括幾個部分的地圖有幾種染色的方法；

4、排隊問題一一比如說6個同學(xué)，排成一個隊伍，有多少種排法；

5、數(shù)碼問題——就是對一些數(shù)字的排列，比如說給你幾個數(shù)字，然后排個幾位數(shù)的偶

數(shù)，有多少種排法.

教學(xué)重-難點

1掌握加法乘法原理

2.熟練運用加乘方法

3.解決加乘及計數(shù)綜合性題目

趣味引人

特色講解

1.聯(lián)歡會上有一則數(shù)字謎語，謎底是一個八位數(shù)。現(xiàn)已猜出：口54口7口39,主持人提示：“這

個無重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)中，最小的數(shù)是2?！币鲁鲞@個謎語，最多還要猜次。

解析：根據(jù)題意三個方框只能從2,6,8中選，根據(jù)乘法原理最多還要猜3X2X1=6

2.在右面每個方格中各放1枚圍棋子（黑子或白子），有（）種放法.

解析：由于每個方格有2種填法，依此根據(jù)乘法原理進(jìn)行解答。

3.用1、2、3這三個數(shù)字可以組成多少個不同的三位數(shù)？如果按從小到大的順序排列，213

是第幾個數(shù)？

解析：根據(jù)題意知道排百位、十位、個位依次有3種，2種，1種，把不同的三位數(shù)分別寫

出，比較大小即可。

4.有一些四位數(shù)，它們由4個互不相同且不為零的數(shù)字組成，并且這4個數(shù)字和等于12.將

所有這樣的四位數(shù)從小到大依次排列，第24個為.

解析：根據(jù)乘法原理1236可以組成4X3X2X1=24

1245可以組成4X3X2X1=24第一個數(shù)字是1開頭的有12個，2開頭的有12個,

所以第24位數(shù)就是2的大最大的4位數(shù)2631

5.地圖上有兒B,C,〃四個國家（如下圖），現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色給地圖染色，使相鄰

國家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問有多少種染色方法？

解析：如果四個國家相鄰先從A分析，A可以涂4種顏色，當(dāng)A涂完一種顏色后對于B只有

3種顏色，C只有2中顏色，D只有一種顏色。所以4X3X2X1=24

6.將1?6分別填入圖中的6個方框內(nèi)，使得同一行中左邊的數(shù)比右邊的小，同一列中上邊

的數(shù)比下邊的小，共有一種不同的填法.

解析：一共有五種不同的填法：分類枚舉

134124

123

256356

456

125

135

436

246

當(dāng)堂練習(xí)

A檔

1.如果一個四位數(shù)與一個三位數(shù)的和是1999,并且四位數(shù)和三位數(shù)是由7個不同的數(shù)字組

成的，那么，這樣的四位數(shù)最多能有多少個?

2.用1?9可以組成個不含重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；如果再要求這三個數(shù)字中任何兩個的

差不能是1，那么可以組成個滿足要求的三位數(shù)？

3.用數(shù)字1~8各一個組成8位數(shù)，使得任意相鄰三個數(shù)字組成的三位數(shù)都是3的倍數(shù).共

有種組成方法.

4.五位同學(xué)扮成奧運會吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目。如

果貝貝和妮妮不相鄰，共有（）種不同的排法。

5.馬戲團(tuán)的小丑有紅、黃、藍(lán)三頂帽子和黑、白兩雙鞋，他每次出場演出都要戴一頂帽子、

穿一雙鞋.問：小丑的帽子和鞋共有幾種不同搭配？

B檔

L康康到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，共有多少種不同

的買法？

2.從甲地到乙地有2條路，從乙地到丙地有3條路，從丙地到丁地也有2條路.問：從甲地

經(jīng)乙、丙兩地到丁地，共有多少種不同的走法?

3.郵遞員投遞郵件由力村去8村的道路有3條，由6村去C村的道路有2條，那么郵遞員從

/村經(jīng)6村去。村，共有多少種不同的走法？

4.用5種不同顏色的筆來寫“優(yōu)勝教育”這幾個字，相鄰的字顏色不同，共有多少種寫法?

A

D

BCE

5.“IMO”是國際數(shù)學(xué)奧林匹克的縮寫，把這3個字母寫成三種不同顏色.現(xiàn)在有五種不同顏

色的筆，按上述要求能寫出多少種不同顏色搭配的“IMO”？

C檔

1.如下圖，A,B,C,D,E五個區(qū)域分別用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色中的某一種染色,

要使相鄰的區(qū)域染不同的顏色，共有多少種不同的染色方法?

2.用四種顏色給右圖的五塊區(qū)域染色，要求每塊區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色.

問：共有多少種不同的染色方法?

3.從全班20人中選出3名學(xué)生排隊，一共有多少種排法？

4.如果將四面顏色不同的小旗子掛在一根繩子上，組成一個信號，那么這四面小旗子可組

成.種不同的信號。

5.五位同學(xué)扮成奧運會吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目.如

果貝貝和妮妮不相鄰，共有多少種不同的排法?

當(dāng)堂檢測

1.10個人圍成一圈，從中選出三個人，其中恰有兩人相鄰，共有多少種不同選法?

2.由3、6、9這3個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

3.用數(shù)字1、2、3組成沒有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)，一共可以組成多少個不同的3位數(shù)，這些3

位數(shù)的和是多少？

4.用數(shù)字0,1,2,3,4可以組成多少個：⑴三位數(shù)？⑵沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

5.由四張數(shù)字卡片：0,2,4,6可以組成個不同的三位數(shù)。

當(dāng)堂總結(jié)

家庭作業(yè)

1.有5張卡片，分別寫有數(shù)字1、2、3、4、6.現(xiàn)從中取出3張卡片，并排放在一起，組成

一個三位數(shù).可以組成多少個不同的偶數(shù)？

2.北京到上海之間一共有6個站，車站應(yīng)該準(zhǔn)備多少種不同的車票？（往返車票算不同的兩

種）

3.一條線段上除了兩個端點還有6個點，那么這段線段上可以有多少條線段?

4.要從四年級六個班中評選出學(xué)習(xí)和體育先進(jìn)集體各一個（不能同時評一個班），共有多少

種不同的評選結(jié)果？

5.有6種不同顏色的筆，來寫“學(xué)習(xí)改變命運”這六個字，要求相鄰字的顏色不能相同，有

多少種不同的方法？

6.有五頂不同的帽子，兩件不同的上衣，三條不同的褲子.從中取出一頂帽子、一件上衣、

一條褲子配成一套裝束.問：有多少種不同的裝束？

7.甲.乙.丙三組，甲組6人，乙組5人,丙組4人,每組各選一人去開會,一共有多少種選法?

8.10個人圍成一圈，從中選出3個人，其中恰有兩個人相鄰，共有種不同的選法。

課程顏訶簽李：教學(xué)主管簽字:

第十七耕囹形計敷進(jìn)階

大腦體操

作業(yè)完成情況

知識梳理

四、乘法原理

我們在完成一件事時往往要分為多個步驟，每個步驟又有多種方法，當(dāng)計算一共有多

少種完成方法時就要用到乘法原理.

乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n個步驟，其中，做第一步有叫種不同的方

法，做第二步有叱種不同的方法，…，做第n步有s種不同的方法，則完成這件事

一共有N『hXm2X…Xmn種不同的方法.

乘法原理運用的范圍：這件事要分幾個彼此互不影響的獨立步驟來完成，這幾步是完

成這件任務(wù)缺一不可的，這樣的問題可以使用乘法原理解決.我們可以簡記為：“乘法

分步，步步相關(guān)”.

五、乘法原理解題三部曲

1、完成一件事分不個必要步驟；

2、每步找種數(shù)（每步的情況都不能單獨完成該件事）；

3、步步相乘

六、乘法原理的考題類型

1、路線種類問題一一比如說從A地到B地有三種交通方式，從B地到C地有2種交通

方式，問從A地到C地有多少種乘車方案：

2、字的染色問題一一比如說要3個字，然后有5種顏色可以給每個字然后，問3個字

有多少種染色方法；

3、地圖的染色問題一一同學(xué)們可以回家看地圖，比如中國每個省的染色情況，給你幾

種顏色，問你一張包括幾個部分的地圖有幾種染色的方法；

4、排隊問題一一比如說6個同學(xué)，排成一個隊伍，有多少種排法；

5、數(shù)碼問題——就是對一些數(shù)字的排列，比如說給你幾個數(shù)字，然后排個幾位數(shù)的偶

數(shù)，有多少種排法.

教學(xué)重-難點

1.掌握加法乘法原理

2.熟練運用加乘方法

3.解決加乘及計數(shù)綜合性題目

趣味引入

特色講解

1.聯(lián)歡會上有一則數(shù)字謎語，謎底是一個八位數(shù)?，F(xiàn)已猜出：口54口7口39,主持人提示：“這

個無重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)中，最小的數(shù)是2?！币鲁鲞@個謎語，最多還要猜次。

解析：根據(jù)題意三個方框只能從2,6,8中選，根據(jù)乘法原理最多還要猜3X2X1=6

答案：6

2.在右面每個方格中各放1枚圍棋子（黑子或白子），有（）種放法.

解析：由于每個方格有2種填法，依此根據(jù)乘法原理進(jìn)行解答。

答案：2X2X2X2=16

6.用1、2、3這三個數(shù)字可以組成多少個不同的三位數(shù)？如果按從小到大的順序排列，213

是第幾個數(shù)？

解析：根據(jù)題意知道排百位、十位、個位依次有3種，2種，1種，把不同的三位數(shù)分別寫

出，比較大小即可。

答案:3X2X1=6（種）

可以組成6個不同的三位數(shù)，它們依次是123,132,213,231,312,321,所以213是第

三個數(shù)

7.有一些四位數(shù)，它們由4個互不相同且不為零的數(shù)字組成，并且這4個數(shù)字和等于12.將

所有這樣的四位數(shù)從小到大依次排列，第24個為.

解析：根據(jù)乘法原理1236可以組成4X3X2X1=24

1245可以組成4X3X2X1=24第一個數(shù)字是1開頭的有12個，2開頭的有12個,

所以第24位數(shù)就是2的大最大的4位數(shù)2631

答案:2631

5.地圖上有4B,C,〃四個國家（如下圖），現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色給地圖染色，使相鄰

國家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問有多少種染色方法?

解析：如果四個國家相鄰先從A分析，A可以涂4種顏色，當(dāng)A涂完一種顏色后對于B只有

3種顏色，C只有2中顏色，I）只有一種顏色。所以4X3X2X1=24

答案：24種

6.將1?6分別填入圖中的6個方框內(nèi)，使得同一行中左邊的數(shù)比右邊的小，同一列中上邊

的數(shù)比下邊的小，共有種不同的填法.

解析：一共有五種不同的填法：分類枚舉

124

123

356

456

125

436

答案：五種

*5^

當(dāng)堂練習(xí)

A檔

1.如果一個四位數(shù)與一個三位數(shù)的和是1999,并且四位數(shù)和三位數(shù)是由7個不同的數(shù)字組

成的，那么，這樣的四位數(shù)最多能有多少個？

解析：由于一個四位數(shù)與一個三位數(shù)的和為1999,所以四位數(shù)首位必須為1,剩下3位和都

為9,找出合適的組合，0和9,2和7,3和6,4和5（數(shù)字8不能用在這），因此

考慮三位數(shù)可能的情況，三位數(shù)一定下來，四位數(shù)只有唯一的可能。由于0不能為

首位，所以考慮首位為C71=7,剩下2位可以為C61*C41=24,同時對應(yīng)的四位數(shù)也就

定了，因此可能情況為7*24=168種。

答案：168種

2.用1?9可以組成個不含重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；如果再要求這三個數(shù)字中任何兩個的

差不能是1,那么可以組成個滿足要求的三位數(shù)？

解析：乘法原理：第一個空的答案是9x8x7=504第一個空的答案是504-8x6x6-7x6=174

答案：504、174

3.用數(shù)字1~8各一個組成8位數(shù)，使得任意相鄰三個數(shù)字組成的三位數(shù)都是3的倍數(shù).共

有種組成方法.

解析：1?8中被三除余1和余2的數(shù)各有3個，被3整除的數(shù)有兩個，根據(jù)題目條件可以

推導(dǎo)，符合條件的排列，一定符合“被三除所得余數(shù)以3位周期”，所以8個數(shù)字，

第1、4、7位上的數(shù)被3除同余1,第2、5、8位上的數(shù)被3除同余2,第3、6位上

的數(shù)被3除同余0,顯然第3、6位上的數(shù)被3整除，第1、4、7位上的數(shù)被3除可

以余1也可以余2,第2、5、8位上的數(shù)被3除可以余2可以余1,余數(shù)的安排上共

有2種方法，余數(shù)安排定后，還有同余數(shù)之間的排列，一共有33X3X2X2X2X1X

IX1X2=144種方法.

答案：144.

4.五位同學(xué)扮成奧運會吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目。如果

貝貝和妮妮不相鄰，共有（）種不同的排法。

解析：首先來考慮全部的可能（即包含貝貝和妮妮相鄰和不相鄰）就有5X4X3X2X1=120種情

況.然后來看貝貝和妮妮相鄰的時候，把相鄰的貝貝和妮妮看做一個整體，這樣就有原先的

五人排序變成四個人排序了，情況就有：4X3X2X1,貝貝在妮妮的左邊或右邊的時候，以

上情況再乘以2,就是貝貝和妮妮相鄰的情況，再用總情況的次數(shù)減去相鄰的情況的次數(shù)就

是他們不相鄰去情況的次數(shù)。

答案：

5X4X3X2X1=120

4X3X2X1X2=48

120-48=72（種）；

5.馬戲團(tuán)的小丑有紅、黃、藍(lán)三頂帽子和黑、白兩雙鞋，他每次出場演出都要戴一頂帽子、

穿一雙鞋.問：小丑的帽子和鞋共有幾種不同搭配？

解析：有紅黑、黃黑、藍(lán)黑，紅白，黃白，藍(lán)白六種

答案：6種

B檔

1.康康到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，共有多少種不同

的買法？

解析：由乘法原理，主食和副食各買一種共有3X5=15種不同的方法.從題可以看出，乘法

原理運用的范圍是：①這件事要分幾個彼此互不影響的獨立步驟來完成；②每個步驟

各有若干種不同的方法來完成.這樣的問題就可以使用乘法原理解決問題.

答案：15

2.從甲地到乙地有2條路，從乙地到丙地有3條路，從丙地到丁地也有2條路.問：從甲地

經(jīng)乙、丙兩地到丁地，共有多少種不同的走法？

解析：從甲到丁是分三步走的.第一步甲到乙有2種方法，第二步乙到丙有3種方法，第3

步丙到丁有2種方法.對于第一步的每種方法，第二步都有3種方法，所以從甲到丙

有2X3=6（種）方法；對從甲到丙的每種方法，第三步都有2種方法，所以不同的

走法共有2X3X2=12（種）.

答案：12種

3.郵遞員投遞郵件由/村去6村的道路有3條，由8村去。村的道路有2條，那么郵遞員從

/村經(jīng)8村去C村，共有多少種不同的走法？

解析：根據(jù)乘法原理：3*2*3=18種郵遞員由A村B村C村到D村共有18種走法

答案：18種

4.用5種不同顏色的筆來寫“優(yōu)勝教育”這幾個字，相鄰的字顏色不同，共有多少種寫法?

解析：根據(jù)乘法原理5*4*3*2*1=120種

答案：120種

5.“IM0”是國際數(shù)學(xué)奧林匹克的縮寫，把這3個字母寫成三種不同顏色.現(xiàn)在有五種不同顏

色的筆，按上述要求能寫出多少種不同顏色搭配的“IM0”?

解析：本題可理解為將5種顏色每三個一組進(jìn)行組合，共有多少種組合方法，根據(jù)排列組合

的有關(guān)知識可知，第一個字母可選5種顏色，第二個可選4種，第三個3種，所以共

有：5X4X3=60（種）.

答案:60種.

C檔

1.如下圖，A,B,C,D,E五個區(qū)域分別用紅、黃、藍(lán)、白、黑五

種顏色中的某一種染色，要使相鄰的區(qū)域染不同的顏色，共有多少種不同的染色方法？

解析：將染色這一過程分為依次給A,B,C,D,E染色五步.

先給A染色，因為有5種顏色，故有5種不同的染色方法；

第2步給B染色，因不能與A同色，還剩下4種顏色可選擇，故有4種不同的染色方

法：

第3步給C染色，因為不能與A,B同色，故有3種不同的染色方法；

第4步給D染色，因為不能與A,C同色，故有3種不同的染色方法；

第5步給E染色，由于不能與A,C,D同色，故只有2種不同的染色方法.

共有染色方法:5X4X3X3X2=360（種）.

答：共有360種不同的染色方法.

答案:360

2.用四種顏色給右圖的五塊區(qū)域染色，要求每塊區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色.

問：共有多少種不同的染色方法?

解析：根據(jù)乘法原理：4*3*2*2*2=96種

答案:96

3.從全班20人中選出3名學(xué)生排隊，一共有多少種排法？

解析：第一名學(xué)生有20種排法，第二名學(xué)生有19種排法，第三名學(xué)生有18種排法，所以

答案是20*19*18=6840種

答案：6840

4.如果將四面顏色不同的小旗子掛在一根繩子上，組成一個信號，那么這四面小旗子可組

成種不同的信號。

解析：根據(jù)乘法原理：4X3X2X1=24,

答案：24.

5.五位同學(xué)扮成奧運會吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目.如

果貝貝和妮妮不相鄰，共有多少種不同的排法？

解析：不考慮任何條件時，有5個位置，由5個同學(xué)去填空，在填空時，同學(xué)不可能重復(fù)出

現(xiàn)，所以填第一個空時有5種填法，填第二個空時只有.4種填法，填第三個空只有3

種填法，填第四個空只有2種填法，最后只有1種填法；因為是分步完成的，所以遵

守乘法原理，共有5X4X3X2X1種不同排法.

如果貝貝和妮妮不相鄰，顯然排法減少了，少了多少呢？我們就假設(shè)貝貝和妮妮相鄰,

把妮妮和貝貝看做一個同學(xué)，現(xiàn)在只有4個同學(xué)，去填4個空，第一個空有4種填法,

第二個空有3種填法，第三個空有2種填法，最后一個空有1種填法，遵守乘法原理,

共有4X3X2X1種填法；貝貝和妮妮相鄰的位置有兩種可能，即貝貝在右側(cè)和貝貝

在左側(cè)兩種可能，兩種可能就有兩類問題，遵守乘法原理，所以妮妮和貝貝相鄰的排

法有4X3X2X1X2種.

5X4X3X2X1=120（種）,

4X3X2X1X2=48（種），

120-48=72（種）；

答：共有72種不同的排法.

答案：72

當(dāng)堂檢測

1.10個人圍成一圈，從中選出三個人，其中恰有兩人相鄰，共有多少種不同選法？

解析：十人中任意選出三人的選法有10*9*8/3*2*1=120種

其中兩個人相鄰的選法將相鄰兩人視為一個人則有10種，剩下的8個人再任選1個

的方法有10*8=80種。再將另一個人和此二人相臨的方法去掉就是

恰有兩人相鄰,即80-10=70種

答案：70

2.由3、6、9這3個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

解析：3X2X1=6個答數(shù)字不重復(fù)的有6個3X3X3=27個答數(shù)字可以重復(fù)使用的話會有

27個

答案：6個

3.用數(shù)字1、2、3組成沒有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)，一共可以組成多少個不同的3位數(shù)，這些3

位數(shù)的和是多少？

解析：共有3X2X1=6（個），它們是：123、132；231、213；321、312；共6種；

求和：123+132+231+213+321+312=1332

答：用1、2、3可以寫出6個不同的三位數(shù)，這些三位數(shù)的和是1332.

答案：6,1332

4.用數(shù)字0,1,2,3,4可以組成多少個：

⑴三位數(shù)？

⑵沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

解析：根據(jù)題意，要用0、1、2、3、4組成三位數(shù)，百位有4種選擇方法，即1、2、3、4；

十位和個位均有5種選擇方法，即，0、1、2、3、4；根據(jù)乘法原理，即可得到答案;

（2）根據(jù)題意，要用0、1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，百位有4種選擇

方法，十位有4種選擇方法，個位有3種選擇方法，根據(jù)乘法原理，即可得到答案;

答案：（1）4X5X5=100（個），（2）4X4X3=48（個），

5.由四張數(shù)字卡片：0,2,4,6可以組成個不同的三位數(shù)。

解析：3