保險精算學(xué)：期繳純保費(fèi)計算

期繳純保費(fèi)的計算

ACTUARYACTUARY第一節(jié)自然保費(fèi)與均衡保費(fèi)7.1.1自然保費(fèi)與均衡保費(fèi)ACTUARY上一章討論了躉繳純保費(fèi)?，F(xiàn)實(shí)中的保費(fèi)多采用期繳形式，即將保費(fèi)分?jǐn)傆谕侗Ｈ松婺甓?，于不同年份收取，通常按年進(jìn)行，每年收取一次。也有產(chǎn)品一年繳費(fèi)多次，如按季繳費(fèi)、按月繳費(fèi)。這種分期繳納的保費(fèi)形式，稱為期繳保費(fèi)。期繳保費(fèi)可以按每年出險概率逐年計算，也可以將整個保障期進(jìn)行綜合考慮，這就有了自然保費(fèi)與均衡保費(fèi)（也稱平準(zhǔn)保費(fèi)）的區(qū)別。自然保費(fèi)是以人的每一年齡及一年期間的死亡率為基礎(chǔ)所制定的各年齡的保險費(fèi)，其計算方法，前一章第一個計算實(shí)例，計算的30歲男性的自然保費(fèi)。各年度按此方法計算，即形成不同年齡的自然保費(fèi)，如圖7.1所示。7.1.1自然保費(fèi)與均衡保費(fèi)ACTUARY由于死亡率的自然變化，自然保費(fèi)呈指數(shù)上升趨勢，而個人收入的變化卻如圖7.2所示，年輕時隨年齡增長而增長，到了最需要保障的生命后期，收入?yún)s是下降的。如果采用自然保費(fèi)，則隨著年齡的增長，越到生命后期，保費(fèi)越貴，但支出能力卻越弱，因此這種保費(fèi)形式不利于保險業(yè)務(wù)的開展。于是就提出了均衡保費(fèi)的概念，如圖7.3所示。7.1.1自然保費(fèi)與均衡保費(fèi)ACTUARY均衡保費(fèi)是為了消除自然保費(fèi)增加后期負(fù)擔(dān)的不便而設(shè)計出來的，每年繳納相同金額保費(fèi)的一種方法，這種每年相同額度的保費(fèi)稱為均衡保費(fèi)。其基本的原理是，投保人于年輕時繳納比自然保費(fèi)多的費(fèi)用，這部分保費(fèi)存儲于保險公司并作資金運(yùn)用，其本息和用以彌補(bǔ)后期所繳保費(fèi)比自然保費(fèi)少而造成的不足部分。7.1.1自然保費(fèi)與均衡保費(fèi)ACTUARY由上述分析可見，無論是死亡保險，還是兩全保險，無論是死亡期末給付，還是死亡即時給付，其保險金的財源都是相同的，每期給付的保險金貼現(xiàn)到（x）時的現(xiàn)金總和，與躉繳保費(fèi)完全一樣。與躉繳保費(fèi)的不同，僅在于負(fù)擔(dān)這筆財務(wù)來源的人群有所不同。躉繳保費(fèi)的負(fù)擔(dān)人群僅為投保時生存的人群

，而期繳保費(fèi)負(fù)擔(dān)的人群為繳費(fèi)期內(nèi)每個繳費(fèi)時點(diǎn)上依然存活的人。ACTUARY第二節(jié)完全離散均衡保費(fèi)7.2.1一個示例

完全離散壽險，是本文一種假定狀態(tài)，即保費(fèi)年初繳納，死亡給付于死亡當(dāng)年年末給付的保險。

首先以一個相對復(fù)雜點(diǎn)的離散壽險為例。假定有一份20年繳費(fèi)終身壽險，該險種約定，自x歲起每年繳納均衡保費(fèi)，繳費(fèi)不足20年死亡的，停止繳納保費(fèi)，并于死亡當(dāng)年年末領(lǐng)取保險金，繳費(fèi)期滿則不再繳納保費(fèi)，于此后任意一年死亡年度的年末領(lǐng)取保險金。將20年繳費(fèi)終身壽險的期繳保費(fèi)費(fèi)記為

，則其現(xiàn)金流如圖7.4所示。圖7.4中，年齡軸上方，表示繳納保費(fèi)現(xiàn)金流，對保險公司而言，是收入現(xiàn)金流；年齡軸下方，則是給付保險金現(xiàn)金流，對保險公司而言，是支出現(xiàn)金流。按“收＝支”原則有：ACTUARY7.2.1一個示例ACTUARY×（＋…＝＋…因此等式右邊分子分母分別乘以，可得：）7.2.1一個示例ACTUARY×（＋…）＋…因此等式右邊分子分母分別乘以，可得：＝7.2.1一個示例ACTUARY上面以圖示方式解釋了保險公司的收入與支出資金流，從而依“收＝支”原則得出了均衡保費(fèi)計算式。換一個角度，同樣可以得到該計算式。第一步，依前一章結(jié)論，終身壽險未來給付成本的現(xiàn)值為

。第二步，假定均衡保費(fèi)為

，則未來保險公司全部收入現(xiàn)金流的現(xiàn)值為第三步，依“收＝支”

原則，

，既可得到：7.2.1一個示例ACTUARY【例7-1】：現(xiàn)齡30歲的男性投保人投保一份以自己為被保險人、繳費(fèi)期20年的終身壽險。合同約定，如果該被保險人20年內(nèi)身故，則停止繳納保費(fèi)，保險公司于保被保險人身故當(dāng)年年末支付1000元保額給指定的受益人；如果該被保險人生存期滿20年，則停止繳納保費(fèi)，并于20年后的任意身故年年末給付受益人1000元保險金。假設(shè)預(yù)定利率6%，死亡率以《中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(2003-2006)》為計算基礎(chǔ)。試計算投保人應(yīng)于每年年初繳納多少純保費(fèi)。解：無論繳費(fèi)方式如何，純保費(fèi)計算中“收＝支”原則不變。A．保險金支出現(xiàn)值。首先計算圖7.4中年齡軸下半部分，即終身壽險給付成本現(xiàn)值。與例6.1相同，按給定生命表，計算30歲投保后至終身的每年死亡成本在30歲之初的現(xiàn)值。各年度死亡成本現(xiàn)值之和，即為保險金支出現(xiàn)值。7.2.1一個示例ACTUARY以S代表保額1000，展開的具體計算過程為：1000×867×0.0.9434＝818361.511000×917×0.8900＝816012.011000×977×0.0.8396＝820268.83…1000×42×0.0119＝499.29上述成本加總為82133377.537.2.1一個示例ACTUARYB．保費(fèi)收入總額的現(xiàn)值。按收支相等原則，上述保險金支出總額的現(xiàn)值之和即為保費(fèi)收入總額的現(xiàn)值，為82133377.53元。但與躉繳保費(fèi)不同，承擔(dān)保險金成本的不再是30歲時購買保險的這一群人，以后各年度初生存的人都將是保險金支付成本的承擔(dān)者。所有20年內(nèi)每年初存活的投保人繳納的保費(fèi)總額為：＋…7.2.1一個示例ACTUARYC．均衡春保費(fèi)的計算因此均衡純保費(fèi)

（元）注意，本文此處

不是指嚴(yán)格定義上的一單位保額的均衡純保費(fèi)，而是按照案例需要，直接指1000元保額的均衡純保費(fèi)。下面按定義進(jìn)行計算。以換算函數(shù)計算，則躉繳純保費(fèi)

注意，本文此處

不是指嚴(yán)格定義上的一單位保額的均衡純保費(fèi)，而是按照案例需要，直接指1000元保額的均衡純保費(fèi)。下面按定義進(jìn)行計算。以換算函數(shù)計算，則躉繳純保費(fèi)

（元）。7.2.2完全離散各險種均衡保費(fèi)ACTUARY以上一節(jié)示例同樣的過程，可以得到各類險種的計算公式：1．普通終身壽險：【例7-2】：與例7-1相同，現(xiàn)齡30歲的男性投保一份終身壽險，但繳費(fèi)期終身，該保單即為普通終身壽險。保額1000，預(yù)定利率6%?；凇吨袊藟郾ｋU業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(2003-2006)》計算均衡保費(fèi)。解：A．保險金支出現(xiàn)值與上例相同，為82133377.53元7.2.2完全離散各險種均衡保費(fèi)ACTUARYB．保費(fèi)收入總額的現(xiàn)值按收支相等原則，上述保險金支出總額的現(xiàn)值之和即為保費(fèi)收入總額的現(xiàn)值，為82133377.53元。但此時承擔(dān)保險金成本的是從30歲起直至最后一年即105歲各年度初生存的人，因此保費(fèi)收入現(xiàn)值總額為：C．均衡保費(fèi)的計算

因此均衡純保費(fèi)為（元）同樣要注意，本文此處的

不是嚴(yán)格定義的一單位保額對應(yīng)的均衡保費(fèi)，只是為方便直接為1000單位保額對應(yīng)的均衡保費(fèi)。＋…7.2.2完全離散各險種均衡保費(fèi)ACTUARY下面嚴(yán)格按定義進(jìn)行計算。

以換算函數(shù)計算，則躉繳純保費(fèi)終身壽險與年金之間存在以下等式。（1）證：7.2.2完全離散各險種均衡保費(fèi)ACTUARY

的經(jīng)濟(jì)意義可以這樣理解：如果甲某于年初借乙某1元，并簽定合約約明在乙有生之年加以清償，則乙可以用以下兩種方式償還，如圖7.5所示：7.2.2完全離散各險種均衡保費(fèi)ACTUARY1）乙每年初還甲

元，現(xiàn)金流如圖7.5年齡軸上方所示。2）乙每年初還d元，但為防止還清前身故而無法償還余額，因此投保一份終身壽險，年繳均衡保費(fèi)為

，因此每年共還甲

元，現(xiàn)金流如圖7.5年齡軸下方部分所示。兩種償還方式當(dāng)期現(xiàn)金流應(yīng)該等同，也就是說

，因此（2）

證明與經(jīng)濟(jì)意義留給讀者思考，這里略。

7.2.2完全離散各險種均衡保費(fèi)ACTUARY2．n年繳費(fèi)終身壽險該險種前面已以20年繳費(fèi)作過說明，均衡保費(fèi)為3．n年延付終身壽險【例7-3】：現(xiàn)齡30歲的男性投保一份延期10年終身壽險，保額1000，預(yù)定利率6%?；凇吨袊藟郾ｋU業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(2003-2006)》計算均衡保費(fèi)。解：4．n年定期壽險7.2.2完全離散各險種均衡保費(fèi)ACTUARY【例7-4】：現(xiàn)齡30歲的男性投保一份20年定期壽險，保額1000，預(yù)定利率6%。基于《中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(2003-2006)》計算均衡保費(fèi)。解：7.2.2完全離散各險種均衡保費(fèi)ACTUARY5.n年兩全保險【例7-5】：現(xiàn)齡30歲的男性投保一份20年期兩全壽險，保額1000，死亡雙倍給付，預(yù)定利率6%?；凇吨袊藟郾ｋU業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(2000-2003)》計算均衡保費(fèi)。解：因?yàn)槭欠菢?biāo)準(zhǔn)兩全保險，以P表示均衡保費(fèi)：7.2.2完全離散各險種均衡保費(fèi)ACTUARY與終身壽險類似，衍生兩個結(jié)論：6．n年延期m年定期壽險

，該式表示自（x）歲開始繳費(fèi)，一直繳到保障期結(jié)束為止。（1）（2）7.2.2完全離散各險種均衡保費(fèi)ACTUARY【例7-6】：現(xiàn)齡30歲的男性投保一份10年后開始提供保障保障期20年的延期定期壽險，保額1000，預(yù)定利率6%。保費(fèi)自簽定合同日開始繳納，至被保險人年滿60歲或60歲前身故之年為止?；凇吨袊藟郾ｋU業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(2003-2006)》計算均衡保費(fèi)。解：均衡保費(fèi)為

7.2.2完全離散各險種均衡保費(fèi)ACTUARY7．一般公式假定x歲的人投保一種保險，自a年后開始繳費(fèi)，共交b年，延期n年保障期開始，共保障m年，期內(nèi)死亡保險金f倍，生存滿期則獲保險金g倍，以P表示期繳純保費(fèi)，則【例7-7】證明：

證明：根據(jù)生死合險與生存保險和死亡保險的關(guān)系可得7.2.2完全離散各險種均衡保費(fèi)ACTUARY兩邊同除以，即得：7.2.2完全離散各險種均衡保費(fèi)ACTUARY【例7-8】某人現(xiàn)齡30歲，投保了一份10年期兩全保險。合同約定，如十年內(nèi)被保險人身故，則保險公司于身故年末給付受益人保險金100萬元，如果被保險人生存至10年期滿，保險人于期滿時既退還投保人所繳納的保費(fèi)之和（不計息）。假定

，

，

。求年均衡純保費(fèi)。

解：據(jù)已經(jīng)條件可求得：設(shè)單位保額年均衡純保費(fèi)為

，則按“收入＝支出”原則可得：代入上述已知數(shù)，解得：

7.2.2完全離散各險種均衡保費(fèi)ACTUARY

代入上述已知數(shù)，解得：因此，該投保人需繳納的年均純保費(fèi)為100萬×0.039＝3.9萬元。

ACTUARY第三節(jié)半連續(xù)險種均衡保費(fèi)7.2.3半連續(xù)險種均衡保費(fèi)ACTUARY如果保費(fèi)于每年期初繳納（這比較符合現(xiàn)實(shí)情況），死亡即時給付，則保險的財務(wù)支出與前章躉繳純保費(fèi)相同，只是保費(fèi)承擔(dān)者發(fā)生了變化，成為繳費(fèi)期內(nèi)每年初存活的人，于是可推導(dǎo)得到以下各種保險的保費(fèi)。1．終身壽險，記均衡保費(fèi)為死亡給付財務(wù)負(fù)擔(dān)，以

表示x歲投保，死亡即刻付1元的現(xiàn)值。由前內(nèi)容章可知，而該筆財務(wù)負(fù)擔(dān)需由（x）歲起活著的人共同支付，其支付的保費(fèi)，可視作是終身生存期初年金。

7.2.3半連續(xù)險種均衡保費(fèi)ACTUARY因此有

，同理可得下列險種的保費(fèi)計算公式，推導(dǎo)過程不再贅述。2．定期壽險7.2.3半連續(xù)險種均衡保費(fèi)ACTUARY3．終身繳費(fèi)遞延n年終身壽險4．即刻繳費(fèi)、遞延n年保障m年死亡即時給付定期壽險5．n年期兩全保險以

表示躉繳純保費(fèi)，則7.2.3半連續(xù)險種均衡保費(fèi)ACTUARY壽險險種很多，上面只是給出幾種示例，其他各類險種的計算公式均可類似推出，以市場常見的一種險種，繳費(fèi)

年年（

）期定期壽險的定價公式為例，可以推導(dǎo)出：其他險種期繳均衡純保費(fèi)的推導(dǎo)類似。7.2.3半連續(xù)險種均衡保費(fèi)ACTUARY【例7-9】（1）如果每一年齡段死亡均服從均勻分布，試證：（2）某30歲男性購買一份保額為100萬元的20年期兩全保險，合同約定投保人于合同有效期內(nèi)每生存年初繳付保費(fèi)；如20年內(nèi)被保險人身故則保險公司即刻給付保額；如生存至20年期滿，則保險人于期滿當(dāng)日給付保額。假設(shè)每年齡段死亡服從均勻分布，且給定

，。求該投保人年繳均衡保費(fèi)。

解：（1）證明根據(jù)死亡均勻分布假設(shè)，及躉繳保費(fèi)一章的結(jié)論，可以得到：得證7.2.3半連續(xù)險種均衡保費(fèi)ACTUARY（2）由已知條件可得：利用死亡均勻分布假設(shè)有所以所以，單位保額的期繳純保費(fèi)為：100萬保額應(yīng)年繳均衡純保費(fèi)為100萬×0.039230769，約39230.77元。

＝ACTUARY第四節(jié)每年繳費(fèi)

次及完全連續(xù)壽險均衡保費(fèi)7.4.1每年繳費(fèi)

次的均衡保費(fèi)ACTUARY該險種的給付方式與前面討論的險種類似，既如果是離散型險種，則死亡給付于被保險人死亡當(dāng)

年度年末發(fā)生；但該險種繳費(fèi)并非每年期初，而一年分

次繳費(fèi)。假定該方式下年均衡保費(fèi)為

，則投保人將該保費(fèi)分

次繳納，每次繳納數(shù)額為

。而如果死亡給付是即時給付，可記年繳均衡保費(fèi)為

，一年繳納

次，每次繳納的就是

。如果是繳費(fèi)

年每年繳

次，以死亡期末給付的

年兩全合險為例，年繳均衡純保費(fèi)可記為

，每次繳納額度當(dāng)然就是

。結(jié)論一：繳費(fèi)

年死亡期末給付的

年兩全合險，每年繳

次的年均衡純保費(fèi)

，可通過完全離散型相同險種的保費(fèi)

得到7.4.1每年繳費(fèi)

次的均衡保費(fèi)ACTUARY結(jié)論二：假設(shè)死亡率服從每一年齡死亡均勻分布，則有：其中與的計算，與年金一章相同：，7.4.1每年繳費(fèi)

次的均衡保費(fèi)ACTUARY證明：（1）根據(jù)均衡純保費(fèi)計算公式有：（2）在死亡均衡分布假設(shè)下有（參考年金一章）：，再利用，可以得到年均純保費(fèi)為，得證。7.4.1每年繳費(fèi)

次的均衡保費(fèi)ACTUARY【例7-10】某投保人現(xiàn)齡50歲，投保了一份20年期兩全合險，合同約定保額為100萬，死亡年末給付，預(yù)定利率6%。已知

，

。求年均衡純保費(fèi)，并在每歲死亡均勻分布的假設(shè)下，求每年支付兩次的年均衡純保費(fèi)。解：（1）生死合險單位保額的躉繳純保費(fèi)，既未來給付的精算現(xiàn)值為所以，每單位保額年均衡純保費(fèi)為因此100萬保額的年均衡保費(fèi)為31955.82元。7.4.1每年繳費(fèi)

次的均衡保費(fèi)ACTUARY（2）由已知條件可計算得到：因此100萬保額年付兩次的年均衡保費(fèi)為32519.33元。7.4.2完全連續(xù)壽險均衡保費(fèi)ACTUARY僅作理論討論，完全連續(xù)壽險是指保費(fèi)連續(xù)繳納、死亡保險金在死亡既時給付的險種。以

歲購買

年定期壽險為例，保費(fèi)記為

。下面簡單討論幾類險種的計算公式，在此不作詳細(xì)推導(dǎo)（實(shí)際也很簡單）。幾類連續(xù)壽險均衡保費(fèi)定價公式示例（1）

年定期壽險：