保險精算學：期繳純保費計算

期繳純保費的計算

ACTUARYACTUARY第一節(jié)自然保費與均衡保費7.1.1自然保費與均衡保費ACTUARY上一章討論了躉繳純保費。現實中的保費多采用期繳形式，即將保費分攤于投保人生存年度，于不同年份收取，通常按年進行，每年收取一次。也有產品一年繳費多次，如按季繳費、按月繳費。這種分期繳納的保費形式，稱為期繳保費。期繳保費可以按每年出險概率逐年計算，也可以將整個保障期進行綜合考慮，這就有了自然保費與均衡保費（也稱平準保費）的區(qū)別。自然保費是以人的每一年齡及一年期間的死亡率為基礎所制定的各年齡的保險費，其計算方法，前一章第一個計算實例，計算的30歲男性的自然保費。各年度按此方法計算，即形成不同年齡的自然保費，如圖7.1所示。7.1.1自然保費與均衡保費ACTUARY由于死亡率的自然變化，自然保費呈指數上升趨勢，而個人收入的變化卻如圖7.2所示，年輕時隨年齡增長而增長，到了最需要保障的生命后期，收入卻是下降的。如果采用自然保費，則隨著年齡的增長，越到生命后期，保費越貴，但支出能力卻越弱，因此這種保費形式不利于保險業(yè)務的開展。于是就提出了均衡保費的概念，如圖7.3所示。7.1.1自然保費與均衡保費ACTUARY均衡保費是為了消除自然保費增加后期負擔的不便而設計出來的，每年繳納相同金額保費的一種方法，這種每年相同額度的保費稱為均衡保費。其基本的原理是，投保人于年輕時繳納比自然保費多的費用，這部分保費存儲于保險公司并作資金運用，其本息和用以彌補后期所繳保費比自然保費少而造成的不足部分。7.1.1自然保費與均衡保費ACTUARY由上述分析可見，無論是死亡保險，還是兩全保險，無論是死亡期末給付，還是死亡即時給付，其保險金的財源都是相同的，每期給付的保險金貼現到（x）時的現金總和，與躉繳保費完全一樣。與躉繳保費的不同，僅在于負擔這筆財務來源的人群有所不同。躉繳保費的負擔人群僅為投保時生存的人群

，而期繳保費負擔的人群為繳費期內每個繳費時點上依然存活的人。ACTUARY第二節(jié)完全離散均衡保費7.2.1一個示例

完全離散壽險，是本文一種假定狀態(tài)，即保費年初繳納，死亡給付于死亡當年年末給付的保險。

首先以一個相對復雜點的離散壽險為例。假定有一份20年繳費終身壽險，該險種約定，自x歲起每年繳納均衡保費，繳費不足20年死亡的，停止繳納保費，并于死亡當年年末領取保險金，繳費期滿則不再繳納保費，于此后任意一年死亡年度的年末領取保險金。將20年繳費終身壽險的期繳保費費記為

，則其現金流如圖7.4所示。圖7.4中，年齡軸上方，表示繳納保費現金流，對保險公司而言，是收入現金流；年齡軸下方，則是給付保險金現金流，對保險公司而言，是支出現金流。按“收＝支”原則有：ACTUARY7.2.1一個示例ACTUARY×（＋…＝＋…因此等式右邊分子分母分別乘以，可得：）7.2.1一個示例ACTUARY×（＋…）＋…因此等式右邊分子分母分別乘以，可得：＝7.2.1一個示例ACTUARY上面以圖示方式解釋了保險公司的收入與支出資金流，從而依“收＝支”原則得出了均衡保費計算式。換一個角度，同樣可以得到該計算式。第一步，依前一章結論，終身壽險未來給付成本的現值為

。第二步，假定均衡保費為

，則未來保險公司全部收入現金流的現值為第三步，依“收＝支”

原則，

，既可得到：7.2.1一個示例ACTUARY【例7-1】：現齡30歲的男性投保人投保一份以自己為被保險人、繳費期20年的終身壽險。合同約定，如果該被保險人20年內身故，則停止繳納保費，保險公司于保被保險人身故當年年末支付1000元保額給指定的受益人；如果該被保險人生存期滿20年，則停止繳納保費，并于20年后的任意身故年年末給付受益人1000元保險金。假設預定利率6%，死亡率以《中國人壽保險業(yè)經驗生命表(2003-2006)》為計算基礎。試計算投保人應于每年年初繳納多少純保費。解：無論繳費方式如何，純保費計算中“收＝支”原則不變。A．保險金支出現值。首先計算圖7.4中年齡軸下半部分，即終身壽險給付成本現值。與例6.1相同，按給定生命表，計算30歲投保后至終身的每年死亡成本在30歲之初的現值。各年度死亡成本現值之和，即為保險金支出現值。7.2.1一個示例ACTUARY以S代表保額1000，展開的具體計算過程為：1000×867×0.0.9434＝818361.511000×917×0.8900＝816012.011000×977×0.0.8396＝820268.83…1000×42×0.0119＝499.29上述成本加總為82133377.537.2.1一個示例ACTUARYB．保費收入總額的現值。按收支相等原則，上述保險金支出總額的現值之和即為保費收入總額的現值，為82133377.53元。但與躉繳保費不同，承擔保險金成本的不再是30歲時購買保險的這一群人，以后各年度初生存的人都將是保險金支付成本的承擔者。所有20年內每年初存活的投保人繳納的保費總額為：＋…7.2.1一個示例ACTUARYC．均衡春保費的計算因此均衡純保費

（元）注意，本文此處

不是指嚴格定義上的一單位保額的均衡純保費，而是按照案例需要，直接指1000元保額的均衡純保費。下面按定義進行計算。以換算函數計算，則躉繳純保費

注意，本文此處

不是指嚴格定義上的一單位保額的均衡純保費，而是按照案例需要，直接指1000元保額的均衡純保費。下面按定義進行計算。以換算函數計算，則躉繳純保費

（元）。7.2.2完全離散各險種均衡保費ACTUARY以上一節(jié)示例同樣的過程，可以得到各類險種的計算公式：1．普通終身壽險：【例7-2】：與例7-1相同，現齡30歲的男性投保一份終身壽險，但繳費期終身，該保單即為普通終身壽險。保額1000，預定利率6%?；凇吨袊藟郾ｋU業(yè)經驗生命表(2003-2006)》計算均衡保費。解：A．保險金支出現值與上例相同，為82133377.53元7.2.2完全離散各險種均衡保費ACTUARYB．保費收入總額的現值按收支相等原則，上述保險金支出總額的現值之和即為保費收入總額的現值，為82133377.53元。但此時承擔保險金成本的是從30歲起直至最后一年即105歲各年度初生存的人，因此保費收入現值總額為：C．均衡保費的計算

因此均衡純保費為（元）同樣要注意，本文此處的

不是嚴格定義的一單位保額對應的均衡保費，只是為方便直接為1000單位保額對應的均衡保費。＋…7.2.2完全離散各險種均衡保費ACTUARY下面嚴格按定義進行計算。

以換算函數計算，則躉繳純保費終身壽險與年金之間存在以下等式。（1）證：7.2.2完全離散各險種均衡保費ACTUARY

的經濟意義可以這樣理解：如果甲某于年初借乙某1元，并簽定合約約明在乙有生之年加以清償，則乙可以用以下兩種方式償還，如圖7.5所示：7.2.2完全離散各險種均衡保費ACTUARY1）乙每年初還甲

元，現金流如圖7.5年齡軸上方所示。2）乙每年初還d元，但為防止還清前身故而無法償還余額，因此投保一份終身壽險，年繳均衡保費為

，因此每年共還甲

元，現金流如圖7.5年齡軸下方部分所示。兩種償還方式當期現金流應該等同，也就是說

，因此（2）

證明與經濟意義留給讀者思考，這里略。

7.2.2完全離散各險種均衡保費ACTUARY2．n年繳費終身壽險該險種前面已以20年繳費作過說明，均衡保費為3．n年延付終身壽險【例7-3】：現齡30歲的男性投保一份延期10年終身壽險，保額1000，預定利率6%?；凇吨袊藟郾ｋU業(yè)經驗生命表(2003-2006)》計算均衡保費。解：4．n年定期壽險7.2.2完全離散各險種均衡保費ACTUARY【例7-4】：現齡30歲的男性投保一份20年定期壽險，保額1000，預定利率6%?；凇吨袊藟郾ｋU業(yè)經驗生命表(2003-2006)》計算均衡保費。解：7.2.2完全離散各險種均衡保費ACTUARY5.n年兩全保險【例7-5】：現齡30歲的男性投保一份20年期兩全壽險，保額1000，死亡雙倍給付，預定利率6%?；凇吨袊藟郾ｋU業(yè)經驗生命表(2000-2003)》計算均衡保費。解：因為是非標準兩全保險，以P表示均衡保費：7.2.2完全離散各險種均衡保費ACTUARY與終身壽險類似，衍生兩個結論：6．n年延期m年定期壽險

，該式表示自（x）歲開始繳費，一直繳到保障期結束為止。（1）（2）7.2.2完全離散各險種均衡保費ACTUARY【例7-6】：現齡30歲的男性投保一份10年后開始提供保障保障期20年的延期定期壽險，保額1000，預定利率6%。保費自簽定合同日開始繳納，至被保險人年滿60歲或60歲前身故之年為止?；凇吨袊藟郾ｋU業(yè)經驗生命表(2003-2006)》計算均衡保費。解：均衡保費為

7.2.2完全離散各險種均衡保費ACTUARY7．一般公式假定x歲的人投保一種保險，自a年后開始繳費，共交b年，延期n年保障期開始，共保障m年，期內死亡保險金f倍，生存滿期則獲保險金g倍，以P表示期繳純保費，則【例7-7】證明：

證明：根據生死合險與生存保險和死亡保險的關系可得7.2.2完全離散各險種均衡保費ACTUARY兩邊同除以，即得：7.2.2完全離散各險種均衡保費ACTUARY【例7-8】某人現齡30歲，投保了一份10年期兩全保險。合同約定，如十年內被保險人身故，則保險公司于身故年末給付受益人保險金100萬元，如果被保險人生存至10年期滿，保險人于期滿時既退還投保人所繳納的保費之和（不計息）。假定

，

，

。求年均衡純保費。

解：據已經條件可求得：設單位保額年均衡純保費為

，則按“收入＝支出”原則可得：代入上述已知數，解得：

7.2.2完全離散各險種均衡保費ACTUARY

代入上述已知數，解得：因此，該投保人需繳納的年均純保費為100萬×0.039＝3.9萬元。

ACTUARY第三節(jié)半連續(xù)險種均衡保費7.2.3半連續(xù)險種均衡保費ACTUARY如果保費于每年期初繳納（這比較符合現實情況），死亡即時給付，則保險的財務支出與前章躉繳純保費相同，只是保費承擔者發(fā)生了變化，成為繳費期內每年初存活的人，于是可推導得到以下各種保險的保費。1．終身壽險，記均衡保費為死亡給付財務負擔，以

表示x歲投保，死亡即刻付1元的現值。由前內容章可知，而該筆財務負擔需由（x）歲起活著的人共同支付，其支付的保費，可視作是終身生存期初年金。

7.2.3半連續(xù)險種均衡保費ACTUARY因此有

，同理可得下列險種的保費計算公式，推導過程不再贅述。2．定期壽險7.2.3半連續(xù)險種均衡保費ACTUARY3．終身繳費遞延n年終身壽險4．即刻繳費、遞延n年保障m年死亡即時給付定期壽險5．n年期兩全保險以

表示躉繳純保費，則7.2.3半連續(xù)險種均衡保費ACTUARY壽險險種很多，上面只是給出幾種示例，其他各類險種的計算公式均可類似推出，以市場常見的一種險種，繳費

年年（

）期定期壽險的定價公式為例，可以推導出：其他險種期繳均衡純保費的推導類似。7.2.3半連續(xù)險種均衡保費ACTUARY【例7-9】（1）如果每一年齡段死亡均服從均勻分布，試證：（2）某30歲男性購買一份保額為100萬元的20年期兩全保險，合同約定投保人于合同有效期內每生存年初繳付保費；如20年內被保險人身故則保險公司即刻給付保額；如生存至20年期滿，則保險人于期滿當日給付保額。假設每年齡段死亡服從均勻分布，且給定

，。求該投保人年繳均衡保費。

解：（1）證明根據死亡均勻分布假設，及躉繳保費一章的結論，可以得到：得證7.2.3半連續(xù)險種均衡保費ACTUARY（2）由已知條件可得：利用死亡均勻分布假設有所以所以，單位保額的期繳純保費為：100萬保額應年繳均衡純保費為100萬×0.039230769，約39230.77元。

＝ACTUARY第四節(jié)每年繳費

次及完全連續(xù)壽險均衡保費7.4.1每年繳費

次的均衡保費ACTUARY該險種的給付方式與前面討論的險種類似，既如果是離散型險種，則死亡給付于被保險人死亡當

年度年末發(fā)生；但該險種繳費并非每年期初，而一年分

次繳費。假定該方式下年均衡保費為

，則投保人將該保費分

次繳納，每次繳納數額為

。而如果死亡給付是即時給付，可記年繳均衡保費為

，一年繳納

次，每次繳納的就是

。如果是繳費

年每年繳

次，以死亡期末給付的

年兩全合險為例，年繳均衡純保費可記為

，每次繳納額度當然就是

。結論一：繳費

年死亡期末給付的

年兩全合險，每年繳

次的年均衡純保費

，可通過完全離散型相同險種的保費

得到7.4.1每年繳費

次的均衡保費ACTUARY結論二：假設死亡率服從每一年齡死亡均勻分布，則有：其中與的計算，與年金一章相同：，7.4.1每年繳費

次的均衡保費ACTUARY證明：（1）根據均衡純保費計算公式有：（2）在死亡均衡分布假設下有（參考年金一章）：，再利用，可以得到年均純保費為，得證。7.4.1每年繳費

次的均衡保費ACTUARY【例7-10】某投保人現齡50歲，投保了一份20年期兩全合險，合同約定保額為100萬，死亡年末給付，預定利率6%。已知

，

。求年均衡純保費，并在每歲死亡均勻分布的假設下，求每年支付兩次的年均衡純保費。解：（1）生死合險單位保額的躉繳純保費，既未來給付的精算現值為所以，每單位保額年均衡純保費為因此100萬保額的年均衡保費為31955.82元。7.4.1每年繳費

次的均衡保費ACTUARY（2）由已知條件可計算得到：因此100萬保額年付兩次的年均衡保費為32519.33元。7.4.2完全連續(xù)壽險均衡保費ACTUARY僅作理論討論，完全連續(xù)壽險是指保費連續(xù)繳納、死亡保險金在死亡既時給付的險種。以

歲購買

年定期壽險為例，保費記為

。下面簡單討論幾類險種的計算公式，在此不作詳細推導（實際也很簡單）。幾類連續(xù)壽險均衡保費定價公式示例（1）

年定期壽險：