人教版八年級初二數(shù)學(xué)第二學(xué)期平行四邊形單元測試提優(yōu)卷試卷

人教版八年級初二數(shù)學(xué)第二學(xué)期平行四邊形單元測試提優(yōu)卷試卷

一、選擇題

1.如圖，將5個全等的陰影小正方形擺放得到邊長為1的正方形ABCD,中間小正方形的

各邊的中點恰好為另外4個小正方形的一個頂點，小正方形的邊長為紇巨（。、b為正

b

整數(shù)），則a+6的值為（）

A.10B.11C.12D.13

2.如圖，正方形A8CO的邊長為定值，E是邊CO上的動點（不與點C,D重合），AE

交對角線3。于點F,FG_LAE交3C于點G,6”，8。于點次連結(jié)AG交BO于點

N.現(xiàn)給出下列命題：①=；②DF=DE；③FH的長度為定值；

④GE=BG+DE；⑤BN?+DF?=NF?.真命題有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

3.如圖，在正方形ABCD中，CE=MN,ZMCE=35°,那么/ANM等于（）

4.如圖，正方形ABCD中，43=4,點E在8C邊上，點尸在CO邊上，連接4E、

EF、AF,下列說法：①若E為8c中點，CF=1,則Z4EF=90。；②若E為中

點，Z4￡F=90°,則Cb=l；③若NAE/=90。，CE=1,則點E為BC中點，正確的

有（）個

A.0B.1C.2D.3

5.如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4,BC=8,點E,F分別在AD,BC上，將ABCD沿

直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，有以下四個結(jié)論：①四邊

形CFHE是菱形；②EC平分/DCH；③線段BF的取值范圍為3WBFW4；④當(dāng)點H與點A

重合時，EF=2石.其中正確的結(jié)論是（）

C.①②④D.①③④

6.如圖，在矩形ABCO中，4。=！4。,4E平分/胡￡）交。。于點石，給出以下結(jié)

2

論：①八4。七為等腰直角三角形；②MOC為等邊三角形；③NDOE=70";

④NEOC=3NEAC;⑤OE是AACD的中位線.其中正確的結(jié)論有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

7.如圖，在RtABC中，ZACB=9O°,分別以AB，AC,BC為邊,在AB的同側(cè)

作正方形ACFG,BCED.若圖中兩塊陰影部分的面積分別記為5,反，則對

5，邑的大小判斷正確的是（）

H

D.無法確定

8.如圖，在菱形A8Q9中，AB=5cm,ZADC=120°,點E、尸同時由4、。兩點出

發(fā)，分別沿A3、CB方向向點8勻速移動（到點B為止），點E的速度為lcm/s,點

產(chǎn)的速度為2cm/s,經(jīng)過￡秒ADE尸為等邊三角形，貝心的值為（）

9.如圖，在菱形ABCD中，AB=BD,點、E、F分別是AB、AD上任意的點（不與端點重

合），且AE=DF,連接8F與。E相交于點G,連接CG與B。相交于點H.給出如下幾個結(jié)

巧

論：①△AEDgZWFB：②GC平分N8G。；③S四邊舷8血=JcG2；④N8GE的大小為定

4

值.其中正確的結(jié)論個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

10.在菱形A8CD中，M,N,P,Q分別為邊A8,BC,CD,DA上的一點（不與端點重合），

對于任意的菱形ABCD,下面四個結(jié)論中：

①存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形；③存在無

數(shù)個四邊形MNPQ是菱形；④至少存在一個四邊形MNPQ是正方形

正確的結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題

11.如圖，在平行四邊形ABC。中，48=6,BC=4,ZA=120°,E是AB的中點，點F在

平行四邊形ABCD的邊上，若aAEF為等腰三角形，則EF的長為.

12.如圖，在矩形ABCD中，ZACB=30°,BC=2百，點E是邊BC上一動點（點E不與B,

C重合），連接AE,AE的中垂線FG分別交AE于點F,交AC于點G,連接DG,GE.設(shè)

AG=a,則點G到BC邊的距離為（用含a的代數(shù)式表示），ADG的面積的最小值為

13.如圖，有一張矩形紙條ABCD,AB=10cm,BC=3cm,點M,N分別在邊AB,CD±,

CN=lcm.現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，使點B,C分別落在點*，C上.在點M從

點A運動到點B的過程中，若邊M3'與邊CD交于點E,則點E相應(yīng)運動的路徑長為

14.如圖，在RtZ\A8C中，ZBAC=90°,AB=8,AC=6,以8c為一邊作正方形BDEC設(shè)

正方形的對稱中心為。，連接A。，則4。=.

15.如圖，在平行四邊形ABCD中，AC1AB,AC與BD相交于點0,在同一平面內(nèi)將4ABC

沿AC翻折，得到△AB，C,若四邊形ABCD的面積為24cm2,則翻折后重疊部分（即SAACE）

的面積為cm2.

B'

16.如圖，在ABC中，。是AB上任意一點，E是8c的中點，過C作CF7/A3,交DE的

延長線于F,連8F,CD,若/口=30。，ZABC=45°,BC=272-貝I

17.如圖，矩形紙片ABCD,AB=5,BC=3,點P在BC邊上，將4CDP沿DP折疊，點C落

在點E處，PE,DE分別交AB于點。，F(xiàn),且OP=OF,則AF的值為.

18.如圖，在△ABC中，AB=AC,E,F分別是BC,AC的中點，以AC為斜邊作RtZ\ADC,

若NCAO=N8AC=45°,則下列結(jié)論：?CD//EF；②EF=DF；③DE平分NCOF；?ZDEC=

30°；⑤48=0CD；其中正確的是（填序號）

19.在菱形ABCD中，M是AD的中點，AB=4,N是對角線AC上一動點，△0〃可的周長

最小是2+273，則BD的長為.

B

D

20.如圖，有一張長方形紙片ABC。，AB=4,AD=3.先將長方形紙片A8CD折

疊，使邊AO落在邊AB上，點。落在點E處，折痕為AE；再將AAE尸沿EE翻折，

AF與BC相交于點G，則FG的長為.

三、解答題

21.如圖，在RABC中，NACB=90°,過點。的直線肱V〃A3，。為AB邊上一

點，過點。作交直線MN于E，垂足為F，連接CO、BE

MCEN

ADO

（1）當(dāng)。在A3中點時，四邊形8EC0是什么特殊四邊形?說明你的理由；

（2）當(dāng)。為A3中點時，NA等于度時，四邊形8ECD是正方形.

22.如圖，在正方形ABCD中，點G在對角線BD上（不與點B,D重合），GE_LDC于點

E,GF_LBC于點F,連結(jié)AG.

（1）寫出線段AG,GE,GF長度之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）若正方形ABCD的邊長為1,ZAGF=105°,求線段BG的長.

23.正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點。，點P是正方形ABCD對角線BD上的一個

動點（點P不與點B,0,D重合），連接CP并延長，分別過點D,B向射線作垂線，垂

足分別為點M,N.

(備用圖)

(1)補全圖形，并求證：DM=CN；

(2)連接OM,ON,判斷OMN的形狀并證明.

24.已知：如圖，在AABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行

線交于BE的延長線于點F,且AF=DC,連接CF.

(1)求證：D是BC的中點；

(2)如果AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論.

25.如圖，ABC是等腰直角三角形，NAC8=90°,分別以AB,AC為直角邊向外作等

腰直角A/WD和等腰直角7ACE,G為BO的中點，連接CD,BE與CO交于點

(1)證明：四邊形ACG。是平行四邊形；

(2)線段BE和線段C￡>有什么數(shù)量關(guān)系，請說明理由；

(3)已知5C=J5,求EF的長度(結(jié)果用含根號的式子表示).

26.如圖，菱形紙片ABCO的邊長為2,NB4C=60。,翻折使點民。兩點重合

在對角線BD上一點P,EF,GH分別是折痕.設(shè)A￡=x(O<x<2).

A

G

(1)證明：AG=BE；

(2)當(dāng)0<x<2時，六邊形AEFC/7G周長的值是否會發(fā)生改變，請說明理由；

(3)當(dāng)0<x<2時，六邊形的面積可能等于引￡嗎?如果能，求此時》的

4

值；如果不能，請說明理由.

27.類比等腰三角形的定義，我們定義：有三條邊相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)等邊四邊

形”.

(1)已知：如圖1,在“準(zhǔn)等邊四邊形”A8CD中，BC^tAB,BD±CD,AB=3,8。=4,求8c

的長；

(2)在探究性質(zhì)時，小明發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：對角線互相垂直的“準(zhǔn)等邊四邊形”是菱形.請

你判斷此結(jié)論是否正確，若正確，請說明理由；若不正確，請舉出反例；

(3)如圖2,在△ABC中，AB=AC=6,N847=90。.在AB的垂直平分線上是否存在點

P,使得以A,B,C,P為頂點的四邊形為“準(zhǔn)等邊四邊形”.若存在，請求出該“準(zhǔn)等邊

四邊形”的面積；若不存在，請說明理由.

28.感知：如圖①，在正方形A3C0中，E是A6一點，尸是延長線上一點，且

DF=BE.求證：CE=CF；

拓展：在圖①中，若G在4),且NGCE=45°,則成立嗎？為什么？

運用：如圖②在四邊形438中，AD//BC(BOAD),ZA=ZB=90°,

AB=BC=16,E是AB上一點，且N￡>CE=45°,BE=,求DE的長.

圖①圖②

29.如圖，在矩形ABCD中，AB=16,BC=18,點E在邊AB上，點F是邊BC上不與點

B、C重合的一個動點，把AEBF沿EF折疊，點B落在點B'處.

(I)若AE=O時，且點&恰好落在AD邊上，請直接寫出DB，的長；

(II)若AE=3時，且ACDB,是以DB，為腰的等腰三角形，試求DB'的長；

(III)若AE=8時，且點W落在矩形內(nèi)部(不含邊長)，試直接寫出DB，的取值范圍.

(董用圉)

30.在邊長為5的正方形ABCD中，點E在邊CD所在直線上，連接BE,以BE為邊，在

BE的下方作正方形BEFG,并連接AG.

(1)如圖1,當(dāng)點E與點D重合時，AG=:

(2)如圖2,當(dāng)點E在線段CD上時，DE=2,求AG的長；

(3)若AG=呼，請直接寫出此時DE的長.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除

一、選擇題

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

通過小正方形的邊長表示出大正方形的邊長，再利用a、b為正整數(shù)的條件分析求解.

【詳解】

解：由題意可知，AD=2x”巫+女義”巫=1

bib

:.(4a-2)-〈4-=2b

「a、b都是正整數(shù)

4—a=0,4a-2=2b

a=4,b=7

a+b=11

故選：B.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)以及有理數(shù)、無理數(shù)的性質(zhì)，表示出大正方形的邊長利用有理

數(shù)、無理數(shù)的性質(zhì)求出a、b是關(guān)鍵.

2.C

解析：C

【分析】

根據(jù)題意，連接CF,由正方形的性質(zhì)，可以得到AABF義aCBF,則AF=CF,NBAF=NBCF,

由/BAF=NFGC=NBCF,得到AF=CF=FG,故①正確；連接AC,與BD相交于點。，由正方

形性質(zhì)和等腰直角三角形性質(zhì)，證明aACIF之△FHG,即可得到EH=AO,則③正確；把

△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABM,則證明△MAGgaEAG,得至ljMG=EG,即可得到

EG=DE+BG,故④正確；②無法證明成立，即可得到答案.

【詳解】

解：連接CF,

在正方形ABCD中，AB=BC,NABF=NCBF=45°,

在AABF和ACBF中，

AB=BC

<AABF=^CBF=45°,

BF=BF

.".△ABF^ACBF(SAS),

；.AF=CF,ZBAF=ZBCF,

VFGXAE,

...在四邊形ABGF中，ZBAF+ZBGF=360o-90o-90°=180°,

XVZBGF+ZCGF=180°,

.?.ZBAF=ZCGF,

AZCGF=ZBCF

；.CF=FG,

/.AF=FG；①正確；

連接AC交BD于O.

:四邊形ABCD是正方形，HG1BD,

NAOF=NFHG=90°,

VZOAF+ZAFO=90°,ZGFH+ZAFO=90°,

AZOAF=ZGFH,

VFA=FG,

.,.△AOF^AFHG,

；.FH=OA=定值，③正確；

如圖,把AADE順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABM,

；.AM=AE,BM=DE,ZBAM=ZDAE,

：AF=FG,AF±FG,

/.△AFG是等腰直角三角形，

NFAG=45",

AZMAG=ZBAG+ZDAE=45°,

.\ZMAG=ZFAG,

在AAMG和AAEG中，

AM=AE

<ZEAG=ZMAG=45°,

AG=AG

.".△AMG^AAEG,

；.MG=EG,

VMG=MB+BG=DE+BG,

；.GE=DE+BG,故④正確；

如圖，AADE順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABM,記F的對應(yīng)點為P,連接BP、PN,

則有BP=DF,ZABP=ZADB=45°,

VZABD=45°,

NPBN=90°,

；.BP2+BN2=PN2,

由上可知4AFG是等腰直角三角形，NFAG=45。,

ZMAG=ZBAG+ZDAE=45",

ZMAG=ZFAG,

在AANP和AANF中，

'AP=AF

<ZEAG=ZMAG=45°,

AN=AN

.?.△ANP彩△ANF,

；.PN=NF,

.?.BP2+BN2=NF2,

即DF2+BN2=NF2,

故⑤正確；

根據(jù)題意，無法證明②正確，

...真命題有四個，

故選C.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造

出等腰三角形和全等三角形.

3.C

解析：C

【分析】

過8作BF〃/WN交40于F,則根據(jù)正方形的性質(zhì)得出NA=NEBC=

90°,AB=BC,AD//BC,推出四邊形BFA/M是平行四邊形，得出8F=MN=CE,證

RtZiABF絲Rt"CE,推出NAFB=NECB即可.

【詳解】

過8作BF//MN交于F,

則/AFB=/ANM,

?.?四邊形A8CD是正方形，

AZ4=ZEBC=90°,AB=BC,AD//BC,

：.FN//BM,BF//MN,

...四邊形BFNM是平行四邊形，

BF=MN,

?；CE=MN,

；.CE=BF,

在RtA4BF和RtABCf中

BF=CE

AB=BC

：.M^ABF^Rt^BCE(HL),

：.4BF=/MCE=35°,

NANM=/AFB=55°,

故選：C.

【點睛】

本題考查了直角三角形全等的判定即性質(zhì)，還涉及正方形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與

性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

4.D

解析：D

【解析】

【分析】

正方形的邊長相等，因為AB=4,所以其他三邊也為4,正方形的四個角都是直角，①若

E為BC中點，CF=l,則能求出AE2+EF2=AF2,用勾股定理可得Z4￡F=90。.②若￡

為中點，ZAEF=90°,用勾股定理列方程可求得CF,

③若NAEb=90。，CF=1,用勾股定理列方程可求得BE,

【詳解】

解：①若E為BC中點，5=1,

VAB=4,

，BE=CE=2,DF=3,

/.AE2=4Z+22=20,EF2=22+12=5,AF2=42+32=25,

.?.AE2+EF2=AF2,

ZAEF-900；

故①正確，

②若E為BC中點，ZAEF=90°,

設(shè)CF=X;則DF=4-x.

.-.AE2=42+22=20,EF2=4+X2,AF2=42+(4-X)2,

ZAEF=9G°：.

.".AE2+EF2=AF2,

/.20+4+x2=42+(4-x)2

解得x=l；即CF=1.

③若NAE產(chǎn)=90°,CF=\,則DF=3,設(shè)BE=x,

.?.AE2+EF2=AF2,

即42+x2+l+(4-x)2=42+32

解得x=2,即BE=2,E為BC的中點.

故①②③正確，答案選D.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)及勾股定理及勾股定理逆定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是應(yīng)用勾股定理

列方程并求解.

5.D

解析：D

【分析】

①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CF=FH,然后根據(jù)鄰邊相等

的平行四邊形是菱形證明即可判斷出①正確：

②根據(jù)菱形的對角線平分一組對角可得NBCH=NECH,然后求出只有NDCE=30°時EC平分

ZDCH,即可判斷出②錯誤；

③點H與點A重合時，設(shè)BF=x,表示出AF=FC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的

最小值，點G與點D重合時，CF=CD,求出BF=4,然后寫出BF的取值范圍，即可判斷出

③正確；

④過點F作FMJ_AD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,即可判斷出④正

確.

【詳解】

①；FH與CG,EH與CF都是矩形ABCD的對邊AD、BC的一部分，

；.FH〃CG,EH〃CF,

.??四邊形CFHE是平行四邊形，

由翻折的性質(zhì)得,CF=FH,

四邊形CFHE是菱形，故①正確；

②?.?四邊形CFHE是菱形，

AZBCH=ZECH,

只有NDCE=30°時EC平分NDCH,故②錯誤；

③點H與點A重合時，設(shè)BF=x,則AF=FC=8-x,

在RtZ\ABF中，AB2+BF2=AF2,即4?+x2=(8-x)2,

解得x=3,

點G與點D重合時，CF=CD=4,

，BF=4,

.?.線段BF的取值范圍為3WBFW4,故③正確；

④如圖，過點F作FM_LAD于M,

由勾股定理得，EF=+ME2=2>/5>故④正確；

綜上所述，結(jié)論正確的有①③④，

故選：D.

【點睛】

本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握知識點是解題關(guān)鍵.

6.B

解析：B

【分析】

由矩形的性質(zhì)可得AO=CO=DO=BO,NDAB=NABC=NDCB=NCDA=90°,ADIIBC,

ABHCD,由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可判斷①，由銳角三角函數(shù)可求NACD=

30。，即可判斷②，由三角形內(nèi)角和定理可求NDOE的度數(shù)，即可判斷③④，由直角三角

形的性質(zhì)可求CE的長，即可判斷⑤.

【詳解】

???四邊形ABCD是矩形

AO=CO=DO=BO,NDAB=NABC=NDCB=NCDA=90°,ADIIBC,ABIICD

*/AE平分NBAD

/.ZDAE=NEAB=45°

,/ABIICD

「?ZDEA=NEAB=45°

ZDEA=NDAE=45°

AD=DE,且NADE=90°

「.△ADE是等腰直角三角形

故①正確

I

???AD=—AC,NADC=90°

2

ZACD=30°

.INOCB=60",且OB=OC

…OBC是等邊三角形

故②正確

???△OBC是等邊三角形

OB=OC=BC

OD=OA=AD=OC=OB

...NODA=NOAD=NDOA=60°,ZOCD=ZODC=30°,且OD=DE

故③錯誤

ZEAC=NOAD-ZDAE=15",ZEOC=NDOC-ZDOE=1800-ZDOA-75°=120°-75°=45°

ZEOC=3ZEAC

故④正確

ZACD=30°,

1

，AD=-AC,AC=2AD

2

ACD=-AD'=AD,且DE=DO=AD

CE=73AD-AD*DE

OE不是△ACD的中位線，

故⑤錯誤

故選:B.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求出NACD=30。

是本題的關(guān)鍵.

7.B

解析：B

【分析】

連接EH,過點H作HKLBF于點K,令A(yù)E與BH交于點J,HL與BF交于點L,根據(jù)已知條

件易證絲△ABC,繼而由全等三角形的性質(zhì)得SABHK=SAABC,BC=HK,/ABC=

ZBHK,再由全等三角形的判定可得△BCJ0AHKL,進而可得SI=SABHK=SMBC,由正方形

的性質(zhì)和全等三角形的判定可知AABC絲AAIG,繼而可得SAABC=SAAIG=S2,等量代換即可

求解.

【詳解】

解：連接EH,過點H作HK_LBF于點K,令A(yù)E與BH交于點J,HL與BF交于點L,

由題意可知：四邊形BCED是正方形，四邊形ACFG是正方形，四邊形ABHI是正方形，

NACB=90°

.*/CEH=/ECK=90°,CE=BC

VZBKH=90°,

四邊形CEHK是矩形，

CE=HK

又NHBK+NABC=90°,ZBAC+ZABC=90°

.".ZHBK=ZBAC

.".△BHK^AABC(AAS)

；?SABHK=SAABC,BC=HK,NABC=NBHK,

VZABC+ZCBJ=90°,NBHK+NKHL=90°

.\ZCBJ=ZKHL

.?.△BCJ絲△HKL(ASA)

SABCJ=SAHKL,

Si=SABHK=SAABC,

?.?四邊形ACFG是正方形，四邊形ABHI是正方形，

.*.AB=AI,AC=AG,ZG=ZACB=90°

.'.△ABC^AAIG(SAS)

SAABC-SAAIG-S2,

即S1=S2

故選：B

【點睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形

的性質(zhì)及全等三角形的判定方法.

8.D

解析：D

【分析】

連接BD,證出4ADE名△BDF,得到AE=BF,再利用AE=t,CF=2t,則BF=BLCF=5""2t求

出時間t的值.

【詳解】

：.AB^AD,ZADB^-ZADC^60°,

2

.,.△ABD是等邊三角形，

：.AD=BD,

又???△DEF是等邊三角形，

：.NEDF=NDEF=60°,

又,；/ADB=60°,

NADE=NBDF,

AD=BD

在△ADE和△8DF中，＜ZA=NDBC

ZADE=ZBDF

：./\ADE^/\BDF(ASA),

：.AE=BF,

"：AE=t,CF=2t,

：.BF=BC-CF=5-2t,

：.t=5-2t

5

，t=一,

3

故選：D.

【點睛】

本題考查全等三角形，等邊三角形，菱形等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，等

邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)為解題關(guān)鍵.

9.D

解析：D

【分析】

①先證明AABD為等邊三角形，根據(jù)“SAS”證明4AED四△DFB;

②證明/BGE=60。=/BCD,從而得點B、C、D、G四點共圓，因此NBGC=NDGC=60。；

③過點C作CM1GB于M,CN1GD于N.證明△CBMg^CDN,所以S四.BCDG=S明彩響易求后者

的面積；

(4)ZBGE=ZBDG+ZDBF=ZBDG+ZGDF=60°,故為定值.

【詳解】

解：①...ABCD為菱形，

，AB=AD,

：AB=BD,

/.△ABD為等邊三角形,

，/A=/BDF=60。

又?.?AE=DF,AD=BD,

.,.△AED^ADFB(SAS),

故本選項正確；

②：ZBGE=ZBDG+ZDBF=NBDG+NGDF=60。=ZBCD,

即/BGD+NBCD=180。，

.,.點B、C、D、G四點共圓，

ZBGC=ZBDC=60°,ZDGC=ZDBC=60°,

...NBGC=NDGC=60°,

故本選項正確；

③過點C作CM_LGB于M,CN，GD于N(如圖)，

則△CBM0ZXCDN(AAS),

Spqia?BCDG-SWii?CMGN

SHa?CMOS—2SAC?G,

VZCGM=60°,

.,.GM=—CG,CM=—CG,

22

?,?S四邊彩CMG=2SACNG=2X—X—CGX2^CG=-^-CG~,

2224

故本選項正確；

④：NBGE=NBDG+/DBF=NBDG+/GDF=60°,為定值,

故本選項正確；

綜上所述,正確的結(jié)論有①②③④，

故選：D.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是

掌握菱形的性質(zhì).

10.D

解析：D

【分析】

根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，正方形的判定，平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)

論.

【詳解】

①如圖，連接AC,BD交于。，

四邊形ABCD是菱形，過點。直線MP和QN,分別交AB,BC,CD,AD于M,N,P,Q,

則四邊形MNPQ是平行四邊形，

故存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形；故正確;

當(dāng)PM=QN時，四邊形MNPQ是矩形，故存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形；故正確;

當(dāng)PM_LQN時，存在無數(shù)個四邊形MNPQ是菱形；故正確;

④如圖，

當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，四邊形MNPQ是正方形，故至少存在一個四邊形MNPQ是正

方形；故④正確；

綜上，①②③④4個均正確，

故選：D.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，熟記各

定理是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.3石或3或叵

2

【分析】

△AEF為等腰三角形，分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和30°直角三角形性質(zhì)、平

行四邊形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：當(dāng)=A產(chǎn)時，如圖，過點A作廠于，，

AE=AF,AHZA=120°,

:.ZAEF=ZAFE=?>QO,FH=EH，

AH=-AE——,EH—y/^AH——,

222

;.EF=2EH=3也，

當(dāng)AE=石尸時，如圖2,

過點A作AN_LCZ）于N,過點F作FM_LAB于M,

在平行四邊形A8C￡>中，AB=6,BC=4,ZA=120°,

..AD^BC=4,ZADC=60°,

:.ZDAN=30°,

.-.DN=-AD=2,AN=6DN=2。

AB//CD,ANLCD,FMLAB，

AN=MF=243r

AF=EF,FM±AB，

3

AM^ME=-,

2

EF=[ME。+MF2=,I12+-=—；

V42

當(dāng)AE=EE=3時，如圖3,

F

:.EF=3,

綜上所述：EE的長為3百或3或烏.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問

題是本題的關(guān)鍵.

124-?2百

-2亍

【分析】

先根據(jù)直角三角形含30度角的性質(zhì)和勾股定理得AB=2,AC=4,從而得CG的長，作輔助

線，構(gòu)建矩形ABHM和高線GM,如圖2,通過畫圖發(fā)現(xiàn)：當(dāng)GEJ_BC時，AG最小，即4

最小，可計算。的值，從而得結(jié)論.

【詳解】

?.?四邊形ABCD是矩形，

.".ZB=90°,

；/ACB=30。，BC=273.

，AB=2,AC=4,

VAG=?,

**?CG=4—。，

如圖1,過G作MH_LBC于H,交AD于M,

圖1

RtZXCGH中，ZACB=30°,

則點G到BC邊的距離為整，

2

VHM1BC,AD〃BC,

.".HM1AD,

ZAMG=90°,

VZB=ZBHM=90°,

二四邊形ABHM是矩形，

；.HM=AB=2,

_4—cia

.\GM=2-GH=2-----------=—,

22

SAADG=—AD-MG=—x2-73x—=,

2222

當(dāng)。最小時，^ADG的面積最小，

如圖2,當(dāng)GE_LBC時,AG最小，即a最小，

圖2

：FG是AE的垂直平分線，

；.AG=EG,

4-a

-------=a,

2

4

??Cl—,

3

/.△ADG的面積的最小值為=

233

4-a26

故答案為:

23

【點睛】

本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)以

及勾股定理，確定4ADG的面積最小時點G的位置是解答此題的關(guān)鍵.

13.V1O-1

【分析】

探究點E的運動軌跡，尋找特殊位置解決問題即可.

【詳解】

如圖1中，當(dāng)點M與A重合時，AE=EN,設(shè)AE=EN=xcm,

在中，則有X2=3?+(9-x)2,解得x=5,

.".DE=10-1-5=4(cm),

如圖2中，當(dāng)點/M運動到MB，_LAB時，的值最大，DE'=W-1-3=6(cm),

圖2

如圖3中，當(dāng)點M運動到點夕落在CD時，

NB'=ylc'N2+C'B'2=Vl2+32=M

OB'（即DE"）=10-1-VlO=（9-710）（cm）,

圖3

.?.點E的運動軌跡E玲E‘玲E”,運動路徑=配4￡的=6-4+6-(9-回)=(V10-1)

(cm).

故答案為：Vio-i.

【點睛】

本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運

用所學(xué)知識解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

14.7正；

【分析】

連接A。、B。、CO,過。作FO_LA。，交AB的延長線于F,判定△AOC絲aFOB(ASA),

即可得出AO=F。，F(xiàn)B=AC=6,進而得到AF=8+6=14,ZFAO=45°,根據(jù)AO=AFxcos45°進行計

算即可.

【詳解】

解：連接AO、B。、CO,過。作FO_LAO,交AB的延長線于F,

V0是正方形DBCE的對稱中心，

.\BO=CO,ZBOC=90",

VFO1AO,

，NAOF=90。，

，/BOC=NAOF,

即ZAOC+ZBOA=ZFBO+ZBOA,

ZAOC=ZFBO,

?/ZBAC=90o,

.?.在四邊形ABOC中，ZACO+ZABO=180",

,.,ZFBO+ZABO=180",

AZACO=ZFBO,

在△AOC和△FOB中，

ZAOC=/FOB

<AO=FO,

ZACO=ZFBO

/.△AOC^AFOB(ASA),

.".AO=FO,FB=FC=6,

，AF=8+6=14,ZFAO=ZOFA=45°,

B

：.AO=AFxcos450=14x—=7&.

故答案為70.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì).本題的關(guān)鍵是通過作輔助線來構(gòu)建

全等三角形，然后將己知和所求線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中進行計算.

15.6

【分析】

2

由折疊的性質(zhì)可得NBAC=NB，AC=90°,AB=AB',SiABc=SAAB'c=12cm,可證點B,點A,點

B'三點共線，通過證明四邊形ACDB，是平行四邊形，可得B，E=CE,即可求解.

【詳解】

解：；四邊形ABCD是平行四邊形，

2

；.AB〃CD,SAABC=-x24=12cm,

2

:在同一平面內(nèi)將^ABC沿AC翻折，得到aAB'C,

AZBAC=ZB'AC=90°,AB=AB',SAABC=SAA8'c=12cm2,

AZBAB'=180",

...點B,點A,點『三點共線，

：AB〃CD,AB'〃CD,

四邊形ACDB，是平行四邊形，

，B'E=CE,

.1,

2

??SAACE=—SAAB'c=6cm,

2

故答案為：6.

【點睛】

本題考查了翻折變換，平行四邊形的判定和性質(zhì)，證明點B,點A,點&三點共線是本題

的關(guān)鍵.

16.4

【分析】

證明CF〃DB,CF=DB,可得四邊形CDBF是平行四邊形，作EM_LDB于點M,解直角三角

形即可.

【詳解】

解：：CF〃AB,

AZECF=ZEBD.

是BC中點，

；.CE=BE.

VZCEF=ZBED,

.".△CEF^ABED(ASA).

.\CF=BD.

四邊形CDBF是平行四邊形.

作EM1DB于點M,

?.?四邊形CDBF是平行四邊形,BC=2日

.\BE=-fiC=V2,DF=2DE,

2

在RtZ\EMB中，EM2+BM2=BE2JiLEM=BM

.\EM=1,

在RtAEMD中,

VZEDM=30°,

，DE=2EM=2,

；.DF=2DE=4.

故答案為:4.

【點睛】

本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形30

度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DC=DE、CP=EP,由"AAS"可證△OEFg/\OBP,可得出OE=OB、

EF=BP,設(shè)EF=x,則BP=x、DF=5-x、BF=PC=3-x,進而可得出AF=2+x,在RMDAF中，利用

勾股定理可求出x的值，即可得AF的長.

【詳解】

解：?..將4CDP沿DP折疊，點C落在點E處，

；.DC=DE=5,CP=EP.

在^OEF和△OBP中，

'/EOF=NBOP

<NB=NE=90,

OP=OF

.".△OEF^AOBP(AAS),

.\OE=OB,EF=BP.

設(shè)EF=x,則BP=x,DF=DE-EF=5-X,

又?.,BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,

；.AF=AB-BF=2+x.

在RtADAF中，AF2+AD2=DF2,

，(2+x)2+32=(5-x)2,

6

620

；.AF=2+-=

7T

故答案為：—

【點睛】

本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解題

時常常設(shè)要求的線段長為X,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含X的代數(shù)式表示其他線段

的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\用勾股定理列出方程求出答案.

18.①②③⑤

【分析】

根據(jù)三角形中位線定理得到EF=」AB,EF〃AB,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DF=▲AC,

22

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、勾股定理計算即可判斷.

【詳解】

VE,F分別是BC,AC的中點，

1

；.EF=-AB,EF/7AB,

2

VZADC=90",ZCAD=45°,

，/ACD=45°,

；./BAC=NACD,

；.AB〃CD,

，EF〃CD,故①正確；

VZADC=90°,F是AC的中點，

I

；.DF=CF=-AC,

2

VAB=AC,EF=-AB,

2

；.EF=DF,故②正確；

,/ZCAD=ZACD=45°,點F是AC中點，

...△ACD是等腰直角三角形,DFXAC,ZFDC=45°,

，NDFC=90。，

VEF//AB,

NEFC=/BAC=45°,NFEC=NB=67.5°,

ZEFD=ZEFC+ZDFC=135°,

NFED=NFDE=22.5",

VZFDC=45°,

ZCDE=ZFDC-ZFDE=22.5°,

AZFDE=ZCDE,

；.DE平分/FDC,故③正確；

VAB=AC,ZCAB=45",

NB=NACB=67.5",

...NDEC=/FEC-NFED=45°,故④錯誤；

VAACD是等腰直角三角形，

.\AC2=2CD2,

.\AC=V2CD,

VAB=AC,

，AB=0CD,故⑤正確；

故答案為：①②③⑤.

【點睛】

本題考查的是三角形中位線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線

的性質(zhì)，勾股定理等知識.掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是

解題的關(guān)鍵.

19.4

【分析】

根據(jù)題意，當(dāng)B、N、M三點在同一條直線時，△DMN的周長最小為：BM+DM=2+26，

由DM=LA/)=2,貝UBM=2百，利用勾股定理的逆定理，得到/AMB=90°,則得到

2

△ABD為等邊三角形，即可得到BD的長度.

【詳解】

解：如圖：連接BD,BM,則AC垂直平分BD,則BN=DN,

D

當(dāng)B、N、M三點在同一條直線時，△DMN的周長最小為：BM+DM=2+26，

VAD=AB=4,M是AD的中點，

.*.AM=DM=-A￡>=2,

2

；.BM=2G，

,/AM2+BM2=22+(2y/3)2=16^AB2,

...△ABM是直角三角形，即ZAMB=90°;

VBM是AABD的中線，

AABD是等邊三角形，

，BD=AB=AD=4.

故答案為：4.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，以及三線合一定

理.解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確得到4ABD是等邊三角形.

20.近

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得/DAF=/BAF=45。，再由矩形性質(zhì)可得FC=ED=1,然后由勾股定理求出

FG即可.

【詳解】

由折疊的性質(zhì)可知，NDAF=NBAF=45°,

，AE=AD=3,EB=AB-AD=1,

???四邊形EFCB為矩形，

FC=BE=1,

VAB/7FC,

.?./GFC=NDAF=45°,

.\GC=FC=1,

FG^yjGC2+FC2=VT+T=A/2>

故答案為：0.

【點睛】

本題考查了折疊變換，矩形的性質(zhì)是一種對稱變換，理解折疊前后圖形的大小不變，位置

變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解決此題的關(guān)鍵.

三、解答題

21.(1)四邊形8ECO是菱形，理由見解析；(2)45°

【分析】

(1)先證明AC//DE,得出四邊形8ECD是平行四邊形，再“根據(jù)直角三角形斜邊上的

中線等于斜邊的一半"證出CD=BD,得出四邊形8ECD是菱形；

(2)先求出NA5C=45°,再根據(jù)菱形的性質(zhì)求出NDBE=90°，即可證出結(jié)論.

【詳解】

解：當(dāng)點。是AB的中點時，四邊形BECD是菱形；理由如下：

DE1BC,

ZDFE=90°,

?：4c3=90。，

：.ZACB=ZDFB,

：.ACUDE,

'：MNIIAB,即CE//AD,

???四邊形AOEC是平行四邊形，

/.CE-AD；

QO為A8中點，

AD-BD，

BD=CE，

???BD//CE,

■.四邊形BEC。是平行四邊形，

VZACB=90°,。為A3中點，

:.CD=1AB=BD,

2

，四邊形8E8是菱形；

(2)當(dāng)NA=45°時，四邊形BECD是正方形；理由如下：

VZACB=90°,ZA=45°,

,-.ZABC=45°,

?.?四邊形BECD是菱形，

ZABC=-ZDBE,

2

/DBE=9Q0,

二四邊形3￡CD是正方形.

故答案為：45°.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性質(zhì)；根據(jù)題意證明線段

相等和直角是解決問題的關(guān)鍵.

22.(1)AG2=GE2+GF2,理由見解析；(2)或+如.

6

【分析】

(1)結(jié)論：AG2=GE2+GF2.只要證明GA=GC,四邊形EGFC是矩形，推出GE=CF,在

RtAGFC中，利用勾股定理即可證明；

(2)作BN_LAG于N,在BN上截取一點M,使得AM=BM.設(shè)AN=x.易證AM=BM=2x,

MN=>/3X,在RtAABN中，根據(jù)AB2=AN2+BM,可得1=X2+(2x+j^x)2,