最值問題解題思路奧數(shù)

馬到成功奧數(shù)專題:離散最值

引言：在國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽中，常出現(xiàn)一些在自然數(shù)范圍內(nèi)變化的量的最值問題，我們

稱之為離散最值問題。解決這類非常規(guī)問題，尚無統(tǒng)一的方法，對不同的題目要用不同的策

略和方法，就具體的題目而言，大致可從以下幾個方面著手：

1.著眼于極端情形；

2.分析推理一一確定最值；

3.枚舉比較一一確定最值；

4.估計并構(gòu)造。

離散最值問題滲透到小升初的各個奧數(shù)專題中，學(xué)好它可為解決數(shù)論，計數(shù)，應(yīng)用問題等打

下扎實的基礎(chǔ)。

一,>????????從極端情形入手

從極端情形入手，著眼于極端情形，是求解最值問題的有效手段。

題目1.?????一個布袋中有紅、黃、綠三種顏色的小球各10個，這些小球的大小均相同，紅

色小球上標(biāo)有數(shù)字“4”，黃色小球上標(biāo)有數(shù)字“5”，綠色小球上標(biāo)有數(shù)字“6”。小明從

袋中摸出8個球，它們的數(shù)字和是39,其中最多可能有多少個球是紅色的？

解：假設(shè)摸出的8個球全是紅球，則數(shù)字之和為(4X8=)32,與實際的和39相差7,這是

因為將摸出的黃球、綠球都當(dāng)成是紅球的緣故。

用一個綠球換一個紅球，數(shù)字和可增加(6-4=)2,用一個黃球換一個紅球，數(shù)字和可增加

(5-4=)1。為了使紅球盡可能地多，應(yīng)該多用綠球換紅球，現(xiàn)在7+2=3……1,因此可用3

個綠球換紅球，再用一個黃球換紅球，這樣8個球的數(shù)字之和正好等于39。所以要使8個

球的數(shù)字之和為39,其中最多可能有(8-3-1=)4個是紅球。

題目有13個不同正整數(shù)，它們的和是100。問其中偶數(shù)最多有多少個？最少有多少

個？

解:①2+4+6+8+10+12+14+16=72?還要有5個奇數(shù)，但和是奇數(shù)，100是偶數(shù),所以只能少

一個偶數(shù)，2+4+6+8+10+12+14=56?100-56=42?42=1+3+5+7+9+17,最多有7個偶數(shù)。

②1+3+5+7+9+11+13+15=64?還要5個偶數(shù)，100-64=36?36=2+4+6+8+16最少有5個偶數(shù)。

題目3.?????一種小型天平稱備有1克、3克、5克、7克、9克5種祛碼。為了能稱出1克

到91克的任意一種整數(shù)克重量，如果只允許在天平的一端放祛碼，那么最少需要準(zhǔn)備祛碼

多少個。

解：要能稱出1克到91克的任意一種整數(shù)克重量，要有9個9克、1個5克、1個3克、2

個1克，它們的和是91,這樣即可。需要9+1+1+2=13個。

題目4.?????一臺計算器大部分按鍵失靈，只有數(shù)字“7”和“0”以及加法鍵尚能使用，因

此可以輸入77,707這樣只含數(shù)字7和0的數(shù)，并且進(jìn)行加法運算。為了顯示出222222,

最少要按“7”鍵多少次？

222222-70000*3=12222?按下了3個7??12222-7000*1=5222?按下了1個7

5222-700*7=322??按下了7個7???322-70*4=42?按下了4個7??42-7*6=0??按下了6

個7。？3+1+7+4+6=21次

二、枚舉法與逐步調(diào)整

當(dāng)我們在有限數(shù)中求最大（或最?。┲禃r，枚舉法是常用基本方法之一。這種方法的大

意是：將問題所涉及的對象一一列出，逐一比較從中找出最值；或者將與問題相關(guān)的各種

情況逐一考察，最后歸納出需要的結(jié)論。

題目5.?????將6,7,8,9,10按任意次序?qū)懺谝粋€圓周上，每相鄰兩數(shù)相乘，并將所得得

5個乘積相加，那么所得和數(shù)的最小值是多少？

解：要使乘積最小，就要每個數(shù)盡可能小。對于10,旁邊添6和7,這樣積小一些。于是有

兩種添法：

題目6.?????某公共汽車從起點開往終點站，中途共有13個停車站。如果這輛公共汽車從起

點站開出，除終點站外，每一站上車的乘客中，正好各有一位乘客從這一站到以后的每一站，

那么為了使每位乘客都有座位，這輛公共汽車至少應(yīng)有多少個座位？

解法1：只需求車上最多有多少人。依題意列表如下：

由上表可見，車上最多有56人，這就是說至少應(yīng)有56個座位。

說明：本題問句出現(xiàn)了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取決于什么時

候車上人數(shù)最多，要保證乘客中每人都有座位，應(yīng)準(zhǔn)備的座位至少應(yīng)當(dāng)?shù)扔诔丝妥疃鄷r的人

數(shù)。所以，我們不能只看表面現(xiàn)象，誤認(rèn)為有了“至少”就是求最小數(shù)，而應(yīng)該把題意分析

清楚后再作判斷。

解法2：因為車從某一站開出時?，以前各站都有同樣多的人數(shù)到以后各站（每站1人），

這一人數(shù)也和本站上車的人數(shù)一樣多，因此

車開出時人數(shù)=（以前的站數(shù)+1）X以后站數(shù)

=站號X（15-站號）。

因此只要比較下列數(shù)的大?。?/p>

1X14,2X13,3X12,4X11,5X10,

6X9,7X8,8X7,9X6,10X5,

11X4,12X3,13X2,14X1,

由這些數(shù)，得知7X8和8X7是最大值，也就是車上乘客最多時的人數(shù)是56人，所以

它應(yīng)有56個座位。

說明：此題的兩種解法都是采用的枚舉法，枚舉法是求解離散最值問題的基本方法。這

種方法的大意是：將問題所涉及的對象一一列出，逐一比較從中找出最值；或者將與問題相

關(guān)的各種情況逐一考察，最后歸納出需要的結(jié)論。

題目7.tiiit

在如圖18-2所示得2*8方格表中，第一行得8個方格內(nèi)依次寫著1、2、3、4、5、6、7、8。

如果再把1、2、3、4、5、6、7、8按適當(dāng)?shù)庙樞蚍謩e填入第二行的8個方格內(nèi)，使得每列

兩數(shù)的8個差數(shù)兩兩不同，那么第二行所顯示的八位數(shù)最大可能值是多少？

三、從簡單情形入手

解決復(fù)雜問題可以從簡單問題入手，經(jīng)過分析得出規(guī)律，也就找到了解決復(fù)雜問題的方法。

題目8.?????

分析與解

題目9.?????將1,2,3,49,50任意分成10組，每組5個數(shù)。在每一組中，數(shù)值居中

的那個數(shù)稱為“中位數(shù)”。求這10個中位數(shù)之和的最大值與最小值。

解:解2,3,49,50}{4,5,6,47,48}...{28,29,30,31,32}

3+6+...+30=165(最小值)

{1,2,48,49,50}{3,4,45,46,47}...{19,20,21,22,23}

48+45+……+21=345(最大值)

四、和一定問題

1+9=10-1X9=9例如，和為10的兩個自然數(shù)，它們的積的最大值是什么？我們知

2+8=10-2X8=16

道和為10的自然數(shù)共有5對，每對自然數(shù)乘積后又得到5個不同

3+7=10-3X7=21

的數(shù)，如下表：

4+6=10f4X6=24

5+5=10->5X5=25由此我們得到，當(dāng)這兩個自然數(shù)都取5時積有最大值25。

成立。也就是和一定時差最小乘積越大。

題目10.?

有3條線段a,b,c,線段a長2.12米，線段b場2.71米，線段c長3.53米。如圖18T,

以它們作為上底、下底和高，可以作出3個相同的梯形。問第幾號梯形的面積最大？

解：由于梯形體積=(上底+下底)*高/2?在和一定的情況下，要使乘積最大，讓兩個數(shù)越接

近。可見a+b與c十分接近，所以③的面積最大。

題目11.?如果將進(jìn)貨單價為40元的商品按50元售出，那么每個的利潤是10元，但只能賣

出500個。當(dāng)這種商品每個漲價1元時，其銷售量就減少10個。為了賺得最多的利潤，售

價應(yīng)定為多少？

解：設(shè)每個商品售價為(50+x)元，則銷量為(500-10X)個。總共可以獲利

(50+x-40)X(500-lOx)

=10X(10+X)X(50-X)(元)o

因(10+x)+(50-x)=60為一定值，故當(dāng)10+X=50-X即X=20時，它們的積最大。

此時，每個的銷售價為50+20=70(元)

題目12.?用3,4,5,6,7,8六個數(shù)字排成三個兩位數(shù)相乘，要求它們的乘積最大。應(yīng)該

怎樣排列？

【分析與解】十位數(shù)字分別是8、7、6,8>7>6,個位數(shù)字分別是5,4,3,5>4>3,依據(jù)“接

近原則”，大小搭配可得83X74X65,三個數(shù)最接近因而它們的乘積最大。

綜上數(shù)例，可以歸納出這樣的規(guī)律：較大數(shù)后配較小的數(shù)，較小的數(shù)后配較大的數(shù)，這樣才

能使數(shù)之間更為接近，從而保證乘積最大。簡單地說就是：數(shù)越接近，乘積越大。

綜上數(shù)例，可以歸納出這樣的規(guī)律：較大數(shù)后配較小的數(shù)，較小的數(shù)后配較大的數(shù)，這樣才

能使數(shù)之間更為接近，從而保證乘積最大?簡單地說就是：數(shù)越談近，乘積越大。

五、積一定的問題

兩個變化著的量，如果在變化的過程中，它們的乘積始終保持不變，那么它們的差與和

之間有什么關(guān)系呢？

觀察下面的表：

我們不難得出如下的規(guī)律：

兩個變化著的量，如果在變化的過程中，乘積始終保持不變，那么它們的差越小，和就越小。

若它們能夠相等，則當(dāng)它們相等時，和最小。

題目13.?長方形的面積為144cm2,當(dāng)它的長和寬分別為多少時，它的周長最短？

解：設(shè)長方形的長和寬分別為xcm和ycm,則有

xy=144o

故當(dāng)x二y二12時，x+y有最小值，從而長方形周長2(x+y)也有最小值。

題目14.?農(nóng)場計劃挖一個面積為432m2的長方形養(yǎng)魚池，魚池周圍兩側(cè)分別有3m和4m的

堤堰如下圖所示，要想占地總面積最小，水池的長和寬應(yīng)為多少？

解：如圖所示，設(shè)水池的長和寬分別為xm和ym,則有

xy=432。

占地總面積為S=(x+6)(y+8)cm,。于是

S=Xy+6y+8X+48=6y+8X+480。

我們知道6yX8X=48X432為一定值，故當(dāng)6y=8X時，S最小，此時有6y=8X=144,故

y=24,x=18?

六、從整體入手

從整體抓住數(shù)據(jù)的本質(zhì)特征進(jìn)行分析，較易突破難點。

題目15.?在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1這10個數(shù)的每相鄰兩個數(shù)之間都添上一個加

號或一個減號，組成一個算式。要求：(1)算式的結(jié)果等于37；(2)這個算式中的所有

減數(shù)(前面添了減號的數(shù))的乘積盡可能地大。那么，這些減數(shù)的最大乘積是多少？

題目16.????在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1這10個數(shù)的每相鄰兩個數(shù)之間都添上一

個加號或一個減號，組成一個算式。要求：（1）算式的結(jié)果等于37；（2）這個算式中的

所有減數(shù)（前面添了減號的數(shù)）的乘積盡可能地大。那么，這些減數(shù)的最大乘積是多少？

解:把10個數(shù)都添上加號，它們的和是55,如果把其中一個數(shù)的前面的加號換成減號，

使這個數(shù)成為減數(shù)，那么和數(shù)將要減少這個數(shù)的2倍。

因為55-37=18,所以我們變成減數(shù)的這些數(shù)之和是18+2=9。對于大于2的數(shù)來說，

兩數(shù)之和總是比兩數(shù)乘積小，為了使這些減數(shù)的乘積盡可能大，減數(shù)越多越好（不包括1）。

9最多可拆成三數(shù)之和2+3+4=9,因此這些減數(shù)的最大乘積是2X3X4=24,添上加、減

號的算式是

104-9+8+7+6+5-4-3-2+1=37。

七、抓不等關(guān)系

題目17.?某校決定出版“作文集”，費用是30冊以內(nèi)為80元，超過30冊的每冊增加1.20

元。當(dāng)印刷多少冊以上時，每冊費用在1.50元以內(nèi)？

解：顯然印刷的冊數(shù)應(yīng)該大于30。設(shè)印刷了（30+x）冊，于是總用費為（80+1.2x）元。

故有

80+1.2x0.5X（30+x）,

答案：117+30=147以內(nèi)。

題目18.?有4袋糖塊，其中任意3袋的總和都超過60塊。那么這4袋糖塊的總和最少有多

少塊？

解：要使其中任意3袋的總和都超過60塊，那么至少也是61,先在每袋中放20個糖塊，

但任意3袋中至少一個21,否則就無法超過60。要使任意3袋中至少一個21,這4個袋子

的糖塊分別是20,20,21,21.和為20+20+是+21=82

八、抓相等關(guān)系

題目19.?10位小學(xué)生的平均身高是1.5米。其中有一些低于1.5米的，他們的平均身高是

1.2米；另一些高于1.5米的平均身高是1.7米。那么最多有多少位同學(xué)的身高恰好是1.5

米？

解:要最多有多少位同學(xué)的身高恰好是1.5米，就要使低于和高于1.5米的人越少，設(shè)高于

和低于的人分別為a,b?？傻茫?.2a+l.7b=L5（a+b）???2b=3a?至少是5人?那么最多有

10-5=5位同學(xué)的身高恰好是1.5米。

題目20.?4個不同的真分?jǐn)?shù)的分子都是1,它們的分母只有2個奇數(shù)、2個是偶數(shù)，而且2

個分母是奇數(shù)的分?jǐn)?shù)之和與2個分母是偶數(shù)的分?jǐn)?shù)之和相等。這樣的奇數(shù)和偶數(shù)很多，小明

希望這樣的偶數(shù)盡量地小，那么這個和的最小可能值是多少？

解：1/奇+1/奇=1/偶+1/偶？??????？偶/奇=（偶+偶）/偶X偶？??????????????????????？

??奇*(偶+偶)=偶*偶*偶。因為偶*偶*偶是8的倍數(shù)所以偶+偶是8的倍數(shù)?若是8,只能

為2和6則1/2+1/6=1/3+1/3不符合題意,因為奇相等;若是16,有1/6+1/10=1/5+1/15?

因此本題答案是16。

九、位值展開式

題目21.?一個兩位數(shù)被它的各位數(shù)字之和去除，問余數(shù)最大是多少？

解：設(shè)兩位數(shù)位ab(a表示十位數(shù)字，b表示個位數(shù)字)

ab=(10a+b)/(a+b)=(9a)/(a+b)+1

a+b最大是18,此時余數(shù)為9]

當(dāng)a+b=17,若a=9余數(shù)為13?若b=9?余數(shù)為4

題目22.?當(dāng)a+b=16,若a=9余數(shù)為1??若b=9?余數(shù)為15此時余數(shù)最大。由3個非零數(shù)字

組成的三位數(shù)與這3個數(shù)字之和的商記為K。如果K是整數(shù)，那么K的最大值是多少？

解：設(shè)這個數(shù)為abc(a表示百位數(shù)字，b表示十位數(shù)字，c表示個位數(shù)字)

那么abc/(a+b+c)=K??(100a+10b+c)/(a+b+c)=K要使這個算式最大，就要讓a盡可能大，

b,c盡可能的小。試一下:911/(9+1+1)=82……9,811/(8+1+1)=81……1,711/(7+1+1)

=79,所以K最大是79。

題目23.?用1,3,5,7,9這5個數(shù)組成一個三位數(shù)ABC和一個兩位數(shù)DE,再用0,2,4,

6,8這5個數(shù)組成一個三位數(shù)FGH和一個兩位數(shù)IJ。求算式ABCXDE—FGHXIJ的計算結(jié)果

的最大值。

解:要使ABC*DE-FGH*IJ這個算式最大就要使ABODE最大，F(xiàn)GH*IJ最小。那么前面最大是

751*93。后面最小是468*20。那么算式的最小值是751*93-468*20=60483

十、“估計+構(gòu)造”

“估計+構(gòu)造”是解離散最值問題的一種常用方法，要求某個離散最值，先估計該量的上界

或下界，然后構(gòu)造出一個實例說明此上界或下界能夠達(dá)到，這樣便求出了這個量的最大值

或最小值。

題目24.?把1,2,3,…，12填在左下圖的12個圓圈里，然后將任意兩個相鄰的數(shù)相加，

得到一些和，要使這些和都不超過整數(shù)n,n至少是多少？為什么？并請你設(shè)計一種填法，

滿足你的結(jié)論。

解:因為1+2+3+…+12=78,78X2+12=13,所以n213。又考慮到與12相鄰的數(shù)最

小是1和2,所以n至少是14。右上圖是一種滿足要求的填法。

十一、轉(zhuǎn)化與對稱思想

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想之一，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，從而達(dá)到解決問題的目的.在

平面上有兩個點A、B,把A、B用線連結(jié)起來有許多種方法，可用線段、弧線、折線等.在

這無窮多種連結(jié)方法中，線段最短，因而我們也稱線段AB的長叫A、B兩點間的距離。

我們可以做一個有趣的實驗：在一個長方體的上面N點放上食品，在長方體側(cè)面ABCD

上M點放一只螞蟻(如圖3),螞蟻從側(cè)面經(jīng)過棱AD到N有無窮多種走法(如圖4),我們

關(guān)心的問題是螞蟻怎樣走路程最短？

在這個立體圖形中找出答案是很困難的，直接連結(jié)MN則不經(jīng)過棱AD,與條件不符.為

了使問題簡化，我們將長方體展成平面圖形，連結(jié)MN交AD于P.由公理，兩點之間線段最

短，可知螞蟻從M點沿直線MP爬到P后，再由P點沿直線PN爬到N時走過的路程最短。

題目25.?如圖11某次劃船比賽規(guī)定從A點出發(fā)，先到左岸然后到右岸然后再到B點，時間

少者取勝.請你設(shè)計一條航線，使船走的路程最短.

由于兩點間的距離線段最短，我們想辦法把問題轉(zhuǎn)化為求兩點距離問題。

如圖，找到A點關(guān)于左岸的軸對稱點，B點關(guān)于右岸的軸對稱點，連結(jié)A'B',與左

岸、右岸分別有交點C、D,沿折線ACDB航行就是最短航線。

十二、學(xué)寫說理題

題目26.?23個不同的自然數(shù)的和是4845。問：這23個數(shù)的最大公約數(shù)可能達(dá)到的最大的

值是多少？寫出你的結(jié)論，并說明理由。

.17。

解：設(shè)這23個彼此不同的自然數(shù)為

al,a2,…，a22,a23,

并且它們的最大公約數(shù)是d,則

al=dbl,a2=db2,…，a22=db22,a23=db23。

依題意，有

4845=al+a2+…+a22+a23

=d(bl+b2+…+b22+b23)。

因為bl,b2,…，b22,b23也是彼此不等的自然數(shù)，所以

bl+b2+…+b2321+2+…+23=276。

因為4845=d(bl+b2+-+b22+b23)>276Xd,所以

又因為4845=19X17X15,因此d的最大值可能是17。

當(dāng)al=17,a2=17X2,a3=17X3,…，a21=17X21,a22=17X22,a23=17X32時，得

a1+a2+…+a22+a23

=17X(1+2+…+22)+17X32

=17X253+17X32=17X285=4845。

而(al,a2,a22,a23)=17。所以d的最大值等于17。

解題在于實踐：

題目27.?設(shè)a”az,a3,a.i,a5,正是1到9中任意6個不同的正整數(shù),并且aiVa?Va3<ai

試用這6個數(shù)分別組成2個三位數(shù)，使它們的乘積最大。

分析與解：由于al,…，a6具體大小不清楚，因此先取特殊數(shù)1,2,3,4,5,6這6

個不同的數(shù)考慮。要使2個三位數(shù)的乘積最大，必須使這2個數(shù)的百位數(shù)最大，應(yīng)分別是6,

5；而十位數(shù)次大，應(yīng)分別為4,3,個位數(shù)最小，應(yīng)分別為2,1。

因為當(dāng)2個數(shù)之和一定時，這2個數(shù)之差越小，它們的乘積越大，所以這2個數(shù)是631

和542o

題目28.?8個互不相同的正整數(shù)的總和是56,如果去掉最大的數(shù)及最小的數(shù)，那么剩下的

數(shù)的總和是44。問：剩下的數(shù)中，最小的數(shù)是多少？

解：因為最大數(shù)與最小數(shù)的和是56—44=12,所以最大數(shù)不會超過11。去掉最大和最小

數(shù)后剩下的6個互不相同的自然數(shù)在2?10之間，且總和為44,這6個數(shù)只能是4,6,7,

8,9,10o

題目29.?采石場采出了200塊花崗石料，其中有120塊各重7噸，其余的每塊各重9噸，

每節(jié)火車車皮至多載重40噸，為了運出這批石料，至少需要多少節(jié)車皮？

解：每節(jié)車皮所裝石料不能超出5塊，故車皮數(shù)不能少于200+5=40(節(jié))，而40節(jié)車皮

可按如下辦法分裝石料:每節(jié)裝運3塊7噸的和兩塊9噸的石料,故知40節(jié)可以滿足要求。

題目30.?一個水池，底部安有一個常開的排水管，上部安有若干個同樣粗細(xì)的進(jìn)水管，當(dāng)

打開4個進(jìn)水管時需要5小時才能注滿水池；當(dāng)打開2個進(jìn)水管時，需要15小時才能注滿

水池；現(xiàn)在需要在2小時內(nèi)將水池注滿，那么至少要打開多少個進(jìn)水管？

分析本題沒給出排水管的排水速度，因此必須找出排水管與進(jìn)水管之間的數(shù)量關(guān)系，才能確

定至少要打開多少個進(jìn)水管.

解：本題是具有實際意義的工程問題，因沒給出注水速度和排水速度，故需引入