2023-2024學年安徽省合肥十一中高考考前提分數(shù)學仿真卷含解析

2023-2024學年安徽省合肥十一中高考考前提分數(shù)學仿真卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數(shù)，當時，，則（）A． B． C．1 D．2．已知三棱錐的外接球半徑為2，且球心為線段的中點，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．3．已知雙曲線與雙曲線沒有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A． B． C． D．4．已知為坐標原點，角的終邊經(jīng)過點且，則()A． B． C． D．5．2019年10月1日，中華人民共和國成立70周年，舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個數(shù)字按照任意次序排成一行，拼成一個6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個數(shù)為A．96 B．84 C．120 D．3606．已知i為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．7．下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過何種變換可以得到的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位8．若集合，，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．9．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，以（為坐標原點）為直徑的圓交雙曲線于兩點，若直線與圓相切，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．函數(shù)的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．11．圓錐底面半徑為，高為，是一條母線，點是底面圓周上一點，則點到所在直線的距離的最大值是（）A． B． C． D．12．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若函數(shù)有個不同的零點，則的取值范圍是___________．14．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則的最小值為________.15．一個長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個圓柱形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則容器體積的最小值為_________.16．曲線在點處的切線方程是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，在銳角中，E是邊PD上一點，且.（1）求證：平面ACE；（2）當PA的長為何值時，AC與平面PCD所成的角為？18．（12分）已知橢圓C的中心在坐標原點，其短半軸長為1，一個焦點坐標為，點在橢圓上，點在直線上，且．（1）證明：直線與圓相切；（2）設與橢圓的另一個交點為，當?shù)拿娣e最小時，求的長．19．（12分）如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面是矩形,是的中點,是棱上的點,且.（1）證明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.20．（12分）某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試，從中隨機抽取了20人的分數(shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分數(shù)（以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）：若分數(shù)不低于95分，則稱該員工的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”.（1）從這20人中任取3人，求恰有1人成績“優(yōu)秀”的概率；（2）根據(jù)這20人的分數(shù)補全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計所有員工的平均分數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；②若從所有員工中任選3人，記表示抽到的員工成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.21．（12分）如圖，為坐標原點，點為拋物線的焦點，且拋物線上點處的切線與圓相切于點（1）當直線的方程為時，求拋物線的方程；（2）當正數(shù)變化時，記分別為的面積，求的最小值．22．（10分）設函數(shù).（1）若，時，在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若，，，求證：當時，．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由降冪公式，兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值．【詳解】，時，，，∴，由題意，∴．故選：A．【點睛】本題考查二倍角公式，考查兩角和的正弦公式，考查正弦函數(shù)性質(zhì)，掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關鍵．2、C【解析】

由題可推斷出和都是直角三角形，設球心為，要使三棱錐的體積最大，則需滿足，結合幾何關系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形，由球心到各點距離相等可得，，故是直角三角形，設，則有，又，所以，當且僅當時，取最大值4，要使三棱錐體積最大，則需使高，此時，故選：C【點睛】本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問題，屬于基礎題3、C【解析】

先求得的漸近線方程，根據(jù)沒有公共點，判斷出漸近線斜率的取值范圍，由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于雙曲線與雙曲線沒有公共點，所以雙曲線的漸近線的斜率，所以雙曲線的離心率.故選：C【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的取值范圍的求法，屬于基礎題.4、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出結果.【詳解】根據(jù)題意，，解得，所以，所以，所以.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義的應用和二倍角的正弦公式，考查計算能力.5、B【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0開頭的排列數(shù)共個，其中含有2個10的排列數(shù)共個，所以產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個數(shù)為.故選B．6、A【解析】

根據(jù)復數(shù)乘除運算法則，即可求解.【詳解】.故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)運算，屬于基礎題題.7、D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個解析式為，再根據(jù)平移法則得到答案.【詳解】設函數(shù)解析式為，根據(jù)圖像：，，故，即，，，取，得到，函數(shù)向右平移個單位得到.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，三角函數(shù)平移，意在考查學生對于三角函數(shù)知識的綜合應用.8、D【解析】

由題意，分析即得解【詳解】由題意，故，故選：D【點睛】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關系，考查了學生概念理解，數(shù)學運算能力，屬于基礎題.9、D【解析】

連接，可得，在中，由余弦定理得，結合雙曲線的定義，即得解.【詳解】連接，則，，所以，在中，，，故在中，由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.10、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性，可排除D；求得及，由導函數(shù)符號可判斷在上單調(diào)遞增，即可排除AC選項.【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù)，故排除D.又，易知當時，；又當時，，故在上單調(diào)遞增，所以，綜上，時，，即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故排除A，C.故選：B【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，導函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關系，屬于中檔題.11、C【解析】分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉(zhuǎn)化求解的位置，推出結果即可.詳解：圓錐底面半徑為，高為2，是一條母線，點是底面圓周上一點，在底面的射影為；，，過的軸截面如圖：，過作于，則，在底面圓周，選擇，使得，則到的距離的最大值為3，故選：C點睛：本題考查空間點線面距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力，解題的關鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題．12、A【解析】

用偶函數(shù)的圖象關于軸對稱排除,用排除,用排除.故只能選.【詳解】因為,所以函數(shù)為偶函數(shù),圖象關于軸對稱,故可以排除;因為,故排除,因為由圖象知,排除.故選:A【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),辨析函數(shù)的圖像,排除法,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

作出函數(shù)的圖象及直線，如下圖所示，因為函數(shù)有個不同的零點，所以由圖象可知，，，所以．14、40【解析】

設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)，可得，因為，根據(jù)均值不等式，即可求得答案.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，，，等比數(shù)列的各項為正數(shù)，，，當且僅當，即時，取得最小值.故答案為：.【點睛】本題主要考查了求數(shù)列值的最值問題，解題關鍵是掌握等比數(shù)列通項公式和靈活使用均值不等式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.15、【解析】

一個長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個圓柱形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動,則圓柱形容器的底面直徑及高的最小值均等于長方體的體對角線的長,長方體的體對角線的長為,所以容器體積的最小值為.16、【解析】

利用導數(shù)的幾何意義計算即可.【詳解】由已知，，所以，又，所以切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查學生的基本計算能力，要注意在某點處的切線與過某點的切線的區(qū)別，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）當時，AC與平面PCD所成的角為.【解析】

（1）連接交于，由相似三角形可得，結合得出，故而平面；（2）過作，可證平面，根據(jù)計算，得出的大小，再計算的長．【詳解】（1）證明：連接BD交AC于點O，連接OE，，，又平面ACE，平面ACE，平面ACE.（2），，平面PAD作，F(xiàn)為垂足，連接CF平面PAD，平面PAD.，有，，平面就是AC與平面PCD所成的角，，，，，，時，AC與平面PCD所成的角為.【點睛】本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定與線面角的計算，屬于中檔題．18、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）分斜率為0，斜率不存在，斜率不為0三種情況討論，設的方程為，可求解得到，，可得到的距離為1，即得證；（2）表示的面積為，利用均值不等式，即得解.【詳解】（1）由題意，橢圓的焦點在x軸上，且，所以．所以橢圓的方程為．由點在直線上，且知的斜率必定存在，當?shù)男甭蕿?時，，，于是，到的距離為1，直線與圓相切．當?shù)男甭什粸?時，設的方程為，與聯(lián)立得，所以，，從而．而，故的方程為，而在上，故，從而，于是．此時，到的距離為1，直線與圓相切．綜上，直線與圓相切．（2）由（1）知，的面積為，上式中，當且僅當?shù)忍柍闪?，所以面積的最小值為1．此時，點在橢圓的長軸端點，為．不妨設為長軸左端點，則直線的方程為，代入橢圓的方程解得，即，，所以．【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了直線和圓的位置關系判斷，面積的最值問題，考查了學生綜合分析，數(shù)學運算能力，屬于較難題.19、（1）見解析（2）【解析】

（1）連結BM，推導出BC⊥BB1，AA1⊥BC，從而AA1⊥MC，進而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推導出四邊形AMNP是平行四邊形，從而MN∥AP，由此能證明MN∥平面ABC．（2）推導出△ABA1是等腰直角三角形，設AB，則AA1＝2a，BM＝AM＝a，推導出MC⊥BM，MC⊥AA1，BM⊥AA1，以M為坐標原點，MA1，MB，MC為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．【詳解】（1）如圖1，在三棱柱中，連結，因為是矩形，所以，因為，所以，又因為，，所以平面，所以，又因為，所以是中點，取中點，連結，，因為是的中點，則且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（圖1）（圖2）（2）因為，所以是等腰直角三角形，設，則，.在中，，所以.在中，，所以，由（1）知，則，，如圖2，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，.所以，則，，設平面的法向量為，則即取得.故平面的一個法向量為，因為平面的一個法向量為，則.因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查了利用空間向量法求解二面角的方法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．20、（1）；（2）①82，②分布列見解析，【解析】

（1）從20人中任取3人共有種結果，恰有1人成績“優(yōu)秀”共有種結果，利用古典概型的概率計算公式計算即可；（2）①平均數(shù)的估計值為各小矩形的組中值與其面積乘積的和；②要注意服從的是二項分布，不是超幾何分布，利用二項分布的分布列及期望公式求解即可.【詳解】（1）設從20人中任取3人恰有1人成績“優(yōu)秀”為事件，則，所以，恰有1人“優(yōu)秀”的概率為.（2）組別分組頻數(shù)頻率120.01260.03380.04440.02①，估計所有員工的平均分為82②的可能取值為0、1、2、3，隨機選取1人是“優(yōu)秀”的概率為，∴；；；；∴的分布列為0123∵，∴數(shù)學期望.【點睛】本題考查古典概型的概率計算以及二項分布期望的問題，涉及到頻率分布直方圖、平均數(shù)的估計值等知識，是一道容易題.21、（1）x2=4y．（2）.【解析】試題解析：（Ⅰ）設點P（x0，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求導y′=，因為直線PQ的斜率為1，所以=1且x0--√2=0，解得p=2，所以拋物線C1的方程為x2=4y．（Ⅱ）因為點P處的切線方程為：y-=（x-x0），即2x0x-2py-x02=0，∴OQ的方程為y=-x根據(jù)切線與圓切，得d=r，即，化簡得x04=4x02+4p2，由方程組，解得Q（，），所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=點F（0，）到切線PQ的距離是d=，所以S1==，S2=，而由x04=4x02+4p2知，4p2=x04-4x02＞0，得|x0|＞2，所以==+1≥2+1，當且僅當時取“=”號，即x02=4+2，此時，p=．所以的最小值為2+1．考點