山東省臨沂市沂水縣2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

山東省臨沂市沂水縣2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A． B． C．-4 D．42．的展開式的各項系數(shù)之和為3，則該展開式中項的系數(shù)為（）A．2 B．8 C． D．-173．甲罐中有個紅球，個白球和個黑球，乙罐中有個紅球，個白球和個黑球，先從甲罐中隨機取出一個球放入乙罐，分別以，，表示由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球的事件，再從乙罐中隨機取出一個球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，下列結(jié)論中不正確的是（）A．事件與事件不相互獨立 B．、、是兩兩互斥的事件C． D．4．已知m＞0，n＞0，向量則的最小值是（

）A． B．2 C． D．5．已知橢圓：的右焦點為，過點的直線交橢圓于，兩點，若的中點坐標為，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．6．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是A． B．1 C． D．7．“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也必要條件8．某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐四個面的面積中最大的是A． B．3C． D．9．已知函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．10．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位11．某研究機構(gòu)對兒童記憶能力和識圖能力進行統(tǒng)計分析，得到如下數(shù)據(jù)：記憶能力識圖能力由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為，,若某兒童的記憶能力為12時，則他的識圖能力約為()A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．1012．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積（單位：）是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為____________．14．已知函數(shù)，若正實數(shù)滿足，則的最小值是__________．15．若函數(shù)有兩個極值點，其中,，且，則方程的實根個數(shù)為________個.16．設(shè)等差數(shù)列的公差為，若的方差為1，則=________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字中任意取出三個不同的數(shù)字.（Ⅰ）求取出的這三個數(shù)字中最大數(shù)字是8的概率；（Ⅱ）記取出的這三個數(shù)字中奇數(shù)的個數(shù)為，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.18．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（1）設(shè)，求證數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.19．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當?shù)膱D像剛好與軸相切時，設(shè)函數(shù)，其中，求證：存在極小值且該極小值小于.20．（12分）已知函數(shù)在上是奇函數(shù)，且在處取得極小值.（1）求的解析式；（2）求過點且與曲線相切的切線方程.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，且.（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.22．（10分）已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，且．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）已知點，延長交拋物線于點，證明：以點為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

利用復(fù)數(shù)運算法則及虛部定義求解即可【題目詳解】由，得，所以虛部為.故選A【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，復(fù)數(shù)的虛部，考查運算求解能力.2、D【解題分析】

令得各項系數(shù)和，可求得，再由二項式定理求得的系數(shù)，注意多項式乘法法則的應(yīng)用．【題目詳解】令，可得，，在的展開式中的系數(shù)為：．故選D．【題目點撥】本題考查二項式定理，在二項展開式中，通過對變量適當?shù)馁x值可以求出一些特定的系數(shù)，如令可得展開式中所有項的系數(shù)和，再令可得展開式中偶數(shù)次項系數(shù)和與奇數(shù)次項系數(shù)和的差，兩者結(jié)合可得奇數(shù)項系數(shù)和以及偶數(shù)項系數(shù)和．3、D【解題分析】分析：由題意，，是兩兩互斥事件，條件概率公式求出，，對照選項即可求出答案.詳解：由題意，，是兩兩互斥事件，,,,,而.所以D不正確.故選：D.點睛：本題考查相互獨立事件，解題的關(guān)鍵是理解題設(shè)中的各個事件，且熟練掌握相互獨立事件的概率簡潔公式，條件概率的求法，本題較復(fù)雜，正確理解事件的內(nèi)蘊是解題的關(guān)鍵.4、C【解題分析】分析：利用向量的數(shù)量積為0，求出m，n的方程，然后利用基本不等式求解表達式的最小值即可.詳解：m＞0，n＞0，向量，可得，則，當且僅當時，表達式取得最小值.故選：C.點睛：條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值．5、A【解題分析】

設(shè)，，，，代入橢圓方程得，利用“點差法”可得．利用中點坐標公式可得，，利用斜率計算公式可得．于是得到，化為，再利用，即可解得，．進而得到橢圓的方程．【題目詳解】解：設(shè)，，，，代入橢圓方程得，相減得，．，，．，化為，又，解得，．橢圓的方程為．故選：．【題目點撥】熟練掌握“點差法”和中點坐標公式、斜率的計算公式是解題的關(guān)鍵．6、A【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，由于為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)，因此可知其虛部為-1，故答案為A.考點：復(fù)數(shù)的運算點評：主要是考查了復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題。7、A【解題分析】

利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得a的取值范圍，再利用簡易邏輯的判定方法即可得出．【題目詳解】函數(shù)f（x）=x2﹣2ax﹣2=（x﹣a）2﹣a2﹣2在區(qū)間（﹣∞，2]內(nèi)單調(diào)遞減，∴2≤a．∴“a＞3”是“函數(shù)f（x）=x2﹣2ax﹣2在區(qū)間（﹣∞，2]內(nèi)單調(diào)遞減”的充分非必要條件．故選：A．【題目點撥】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．8、C【解題分析】作出三棱錐P?ABC的直觀圖如圖所示，過A作AD⊥BC，垂足為D，連結(jié)PD.由三視圖可知PA⊥平面ABC，BD=AD=1,CD=PA=2,∴.∴，.∴三棱錐P?ABC的四個面中，側(cè)面PBC的面積最大.故選C.點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.9、A【解題分析】

兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的根，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題，設(shè)出函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間，分類討論，求出符合題意的范圍即可．【題目詳解】解：函數(shù)的圖象與直線有兩個交點可轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個零點，導(dǎo)函數(shù)為，當時，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，不可能有兩個零點；當時，令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以.所以的最小值，則m的取值范圍是.故選：【題目點撥】本題考查函數(shù)零點問題，利用方程思想轉(zhuǎn)化與導(dǎo)數(shù)求解是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔偏難題．10、B【解題分析】

=cos2x,=,所以只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位可得到故選B11、B【解題分析】試題分析：當時考點：回歸方程12、A【解題分析】由三視圖可知，該幾何體是半個圓柱和以圓柱軸截面為底面的四棱錐組成的組合體，其中半圓柱底面半徑為，高為，體積為，四棱錐體積為，所以該幾何體體積為，故選A.【方法點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、25【解題分析】

由＋＝1，得x＋y＝xy,＋＝＋＝13＋＋＝13＋＝9x＋4y＝(9x＋4y)＝13＋＋≥13＋2＝25.當且僅當?shù)忍柍闪?4、【解題分析】因為，所以函數(shù)為單調(diào)遞增奇函數(shù)，因此由，得因此，當且僅當時取等號.點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.15、【解題分析】

根據(jù)有兩個極值點可知有兩個不等正根，即有兩個不等正根，從而可得；采用換元的方式可知方程有兩個不等實根，從而可將問題轉(zhuǎn)化為與和共有幾個交點的問題；通過確定和的范圍可確定大致圖象，從而通過與和的交點確定實根的個數(shù).【題目詳解】有兩個極值點有兩個不等正根即有兩個不等正根且，令，則方程的判別式方程有兩解，且，由得：，又且根據(jù)可得簡圖如下：可知與有個交點，與有個交點方程的實根個數(shù)為：個本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查方程解的個數(shù)的求解問題，解決此類問題常用的方法是將問題轉(zhuǎn)化為曲線與平行于軸直線的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合的方法來進行求解；本題解題關(guān)鍵是能夠確定極值的大致取值范圍，從而確定函數(shù)的圖象.16、【解題分析】由題意得，因此三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、；（Ⅱ）見解析.【解題分析】分析：（Ⅰ）取出的這三個數(shù)字中最大數(shù)字是8，其余兩個從1，2，3，4，5，6，7中?。á颍┤〕龅倪@三個數(shù)字中奇數(shù)的個數(shù)為0、1、2、3，求出相應(yīng)的概率，即可求得分布列及期望．；（Ⅱ）ξ的所有可能取值為：0、1、2、3則所以隨機變量的分布列為0123P所以的數(shù)學(xué)期望.點睛：（1）本題主要考查古典概型和離散型隨機變量的分布列和期望，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)……為的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．18、（1）詳見解析（2）【解題分析】

（1）由已知數(shù)列遞推式可得，又，得，從而可得數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）由（1）求得數(shù)列的通項公式，得到數(shù)列的通項公式，進一步得到，然后分類分組求數(shù)列的前項和．【題目詳解】（1）由已知得代入得又，所以數(shù)列是等比數(shù)列（2）由（1）得，，因為，，，且時，所以當時，當時，.所以【題目點撥】本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，屬中檔題．19、（1）當時，的單調(diào)增區(qū)間是，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）證明見解析【解題分析】

（1）先求導(dǎo)，通過導(dǎo)論參數(shù)和，根據(jù)導(dǎo)數(shù)值大于零，求出對應(yīng)增區(qū)間即可（2）當時，，由（1）知切點即為，可求出，求出，先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)值正負進一步判斷函數(shù)增減性，確定極值點，求證在該極值點處函數(shù)值小于即可【題目詳解】解：（1），，當時，，的單調(diào)增區(qū)間是；當時，由可得，綜上所述，當時，的單調(diào)增區(qū)間是，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）易知切點為，由得，，所以設(shè)，則在上是增函數(shù)，，當時，，所以在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點，即.當時，；當時，；當時，，所以存在極小值.又，則，故，故存在極小值且該極小值小于.【題目點撥】導(dǎo)數(shù)問題涉及含參數(shù)問題時，可采用討論參數(shù)法，進一步確定導(dǎo)數(shù)正負；當求出的導(dǎo)數(shù)分為幾個因式時，可逐個擊破，考慮每個因式的正負，再做整體考慮，如本題中第二問20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可知；利用極值點和極值可得到方程組，解方程組求得解析式；（2）設(shè)切點坐標，利用切線斜率等于在切點處的導(dǎo)數(shù)值，又等于兩點連線斜率來構(gòu)造方程求得，進而得到切線斜率，從而得到切線方程.【題目詳解】（1）是定義在上的奇函數(shù)則，解得：（2）設(shè)切點坐標為：，則在處切線斜率：又，解得：過的切線方程為：，即：【題目點撥】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)和極值求解函數(shù)解析式、求過某一點處切線方程的求解問題；考查學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)幾何意義的掌握情況，屬于導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)應(yīng)用問題.21、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）先根據(jù)計算得線線線線垂直，再根據(jù)線面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得結(jié)論，（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角.【題目詳解】（1）證明：取中點，連結(jié)，，，因為底面為菱形，，所以．因為為的中點，所以．在△中，，為的中點，所以．設(shè),則，，因為，所以．