廣東省百校2024屆數(shù)學高二第二學期期末統(tǒng)考試題含解析

廣東省百校2024屆數(shù)學高二第二學期期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，若，則()A． B．1 C．2 D．2．下列說法正確的是（）A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”B．已知是R上的可導函數(shù)，則“”是“x0是函數(shù)的極值點”的必要不充分條件C．命題“存在，使得”的否定是：“對任意，均有”D．命題“角α的終邊在第一象限角，則α是銳角”的逆否命題為真命題3．若，，，則（）A． B．C． D．4．在極坐標系中，圓的圓心的極坐標為（）A． B． C． D．5．某部門將4名員工安排在三個不同的崗位，每名員工一個崗位，每個崗位至少安排一名員工，且甲乙兩人不安排在同一崗位，則不同的安排方法共有（）A．66種 B．36種 C．30種 D．24種6．已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，且滿足，其中為的導數(shù)，設，，，則、、的大小關系是A． B． C． D．7．準線為的拋物線標準方程是（）A． B． C． D．8．已知，，，則（）A． B． C． D．9．甲、乙兩名運動員，在某項測試中的8次成績如莖葉圖所示，分別表示甲、乙兩名運動員這項測試成績的平均數(shù)，，分別表示甲、乙兩名運動員這項測試成績的標準差，則有（）A． B．C． D．10．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的表面積是（）A． B． C．19 D．11．已知函數(shù)在定義域上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)在區(qū)間內沒有極值點，則的取值范圍為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在棱長為的正方體中，是棱的中點，則到平面的距離等于_____.14．函數(shù)的圖象在點處的切線方程是_____________.15．設函數(shù)，函數(shù)，若對于任意的，總存在，使得，則實數(shù)m的取值范圍是_____．16．已知復數(shù)（，為常數(shù)，）是復數(shù)的一個平方根，那么復數(shù)的兩個平方根為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）解關于的不等式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為5，求實數(shù)的值；（3）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知數(shù)列，其前項和為；（1）計算；（2）猜想的表達式，并用數(shù)學歸納法進行證明.19．（12分）已知函數(shù)．（1）求的單調區(qū)間和極值；（2）若直線是函數(shù)圖象的一條切線，求的值．20．（12分）已知函數(shù)().(Ⅰ)若在處的切線過點，求的值；(Ⅱ)若恰有兩個極值點，().(ⅰ)求的取值范圍；(ⅱ)求證：.21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）當時，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）近來國內一些互聯(lián)網公司為了贏得更大的利潤、提升員工的奮斗姿態(tài)，要求員工實行“996”工作制，即工作日早9點上班，晚上21點下班，中午和傍晚最多休息1小時，總計工作10小時以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期間還不能請假，也沒有任何補貼和加班費.消息一出，社交媒體一片嘩然，有的人認為這是違反《勞動法》的一種對員工的壓榨行為，有的人認為只有付出超越別人的努力和時間，才能夠實現(xiàn)想要的成功，這是提升員工價值的一種有效方式.對此，國內某大型企業(yè)集團管理者認為應當在公司內部實行“996”工作制，但應該給予一定的加班補貼（單位：百元），對于每月的補貼數(shù)額集團人力資源管理部門隨機抽取了集團內部的1000名員工進行了補貼數(shù)額（單位：百元）期望值的網上問卷調查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：（1）求所得樣本的中位數(shù)（精確到百元）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認為員工的加班補貼服從正態(tài)分布，若該集團共有員工40000人，試估計有多少員工期待加班補貼在8100元以上；（3）已知樣本數(shù)據(jù)中期望補貼數(shù)額在范圍內的8名員工中有5名男性，3名女性，現(xiàn)選其中3名員工進行消費調查，記選出的女職員人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.附：若，則，，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由，，表示出，再由，即可得出結果.【題目詳解】因為，，所以，又，所以，即，解得.故選B【題目點撥】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標運算，熟記運算法則即可，屬于基礎題型.2、B【解題分析】試題分析：對于A，命題“若，則”的否命題為：“若，則”，不滿足否命題的定義，所以A不正確；對于B，已知是R上的可導函數(shù)，則“”函數(shù)不一定有極值，“是函數(shù)的極值點”一定有導函數(shù)為，所以已知是上的可導函數(shù)，則“”是“是函數(shù)的極值點”的必要不充分條件，正確；對于C，命題“存在，使得”的否定是：“對任意，均有”，不滿足命題的否定形式，所以不正確；對于D，命題“角的終邊在第一象限角，則是銳角”是錯誤命題，則逆否命題為假命題，所以D不正確；故選B．考點：命題的真假判斷與應用．3、C【解題分析】

直接由微積分基本定理計算出可得．【題目詳解】因為，，，所以，故選：C.【題目點撥】本題考查微積分基本定理，掌握基本初等函數(shù)的積分公式是解題關鍵．4、A【解題分析】

先將圓的極坐標方程化為直角坐標方程，找到此時的圓心再化為極坐標.【題目詳解】可化簡為：根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式可得：化簡可得：即：圓心為：故圓心的極坐標為：故選：A.【題目點撥】本題主要考查了極坐標和直角坐標的互化和圓的極坐標方程，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.5、C【解題分析】

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，第一步先將4名員工分成3組并去掉甲乙同組的情況，第二步將3組員工安排到3個不同的崗位。【題目詳解】解：由題意可得，完成這件事分兩步，第一步，先將4名員工分成3組并去掉甲乙同組的情況，共有種，第二步，將3組員工安排到3個不同的崗位，共有種，∴根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的安排方法共有種，故選：C．【題目點撥】本題主要考查計數(shù)原理，考查組合數(shù)的應用，考查不同元素的分配問題，通常用除法原理，屬于中檔題．6、A【解題分析】

構造函數(shù)，根據(jù)的單調性得出結論．【題目詳解】解：令，則，在上單調遞增，又，，即，即故選：．【題目點撥】本題考查了導數(shù)與函數(shù)的單調性，考查函數(shù)單調性的應用，屬于中檔題．7、A【解題分析】準線為的拋物線標準方程是，選A.8、D【解題分析】

根據(jù)指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性可確定臨界值，從而得到大小關系.【題目詳解】；；且本題正確選項：【題目點撥】本題考查利用指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性比較大小的問題，屬于基礎題.9、B【解題分析】

根據(jù)莖葉圖看出兩組數(shù)據(jù)，先求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出兩組數(shù)據(jù)的方差，比較兩組數(shù)據(jù)的方差的大小就可以得到兩組數(shù)據(jù)的標準差的大?。绢}目詳解】由莖葉圖可看出甲的平均數(shù)是，乙的平均數(shù)是，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等．甲的方差是乙的方差是甲的標準差小于乙的標準差，故選B．【題目點撥】本題考查兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的意義，是一個基礎題，解題時注意平均數(shù)是反映數(shù)據(jù)的平均水平，而標準差反映波動的大小，波動越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．10、B【解題分析】

判斷幾何體的形狀幾何體是正方體與一個四棱柱的組合體，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可．【題目詳解】由題意可知幾何體是正方體與一個四棱柱的組合體，如圖：幾何體的表面積為：．故選B．【題目點撥】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關鍵，屬于中檔題.11、D【解題分析】

根據(jù)等價轉化的思想，可得在定義域中有兩個不同的實數(shù)根，然后利用根的分布情況，進行計算，可得結果.【題目詳解】，令，方程有兩個不等正根，，則：故選：D【題目點撥】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點求參數(shù)，還考查二次函數(shù)根的分布問題，難點在于使用等價轉化的思想，化繁為簡，屬中檔題.12、D【解題分析】

利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的極值點，可得2kπ2ωπ4ωπ2kπ，或2kπ2ωπ4ωπ2kπ，k∈Z，由此求得ω的取值范圍．【題目詳解】∵函數(shù)＝sin2ωx﹣2?1＝sin2ωxcos2ωx+1＝2sin（2ωx）+1在區(qū)間（π，2π）內沒有極值點，∴2kπ2ωπ4ωπ2kπ，或2kπ2ωπ4ωπ2kπ，k∈Z．解得kω，或kω，令k＝0，可得ω∈故選D．【題目點撥】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的極值點，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意畫出正方體，求出的面積，利用等體積法求解到平面的距離.【題目詳解】由題意，畫出正方體如圖所示，，點是中點，所以，在中，，，，所以，，所以，設到平面的距離為，由，得，解得，.故答案為：【題目點撥】本題主要考查求點到平面距離的方法、棱錐體積公式、余弦定理和三角形面積公式的應用，考查等體積法的應用和學生的轉化和計算能力，屬于中檔題.14、【解題分析】

首先求出在1處的導數(shù)，再求出在1處的函數(shù)值，然后用點斜式求出方程即可.【題目詳解】，∴且，切線方程是，即．【題目點撥】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)在點處的切線方程，屬于基礎題.15、【解題分析】

由題意可知，在上的最小值大于在上的最小值，分別求出兩個函數(shù)的最小值，即可求出m的取值范圍.【題目詳解】由題意可知，在上的最小值大于在上的最小值.，當時，，此時函數(shù)單調遞減；當時，，此時函數(shù)單調遞增.，即函數(shù)在上的最小值為-1.函數(shù)為直線，當時，，顯然不符合題意；當時，在上單調遞增，的最小值為，則，與矛盾；當時，在上單調遞減，的最小值為，則，即，符合題意.故實數(shù)m的取值范圍是.【題目點撥】本題考查了不等式恒成立問題與存在解問題，考查了函數(shù)的單調性的應用，考查了函數(shù)的最值，屬于中檔題.16、,【解題分析】

由題可知,再對開根號求的兩個平方根即可.【題目詳解】由題,故,即,故復數(shù)的兩個平方根為與故答案為：,【題目點撥】本題主要考查了復數(shù)的基本運算,運用即可聯(lián)系與的關系,屬于基礎題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3），【解題分析】

（1）令由得進而求解；（2）由（1）知在上單調遞增，進而求解；（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象特征，將不等式恒成立轉化為函數(shù)圖象的交點問題．【題目詳解】（1）令，則，解得，即（2）由（1）知，，在上單調遞增，，，解得或（舍。（3），即令，，由和函數(shù)圖象可知，對，恒成立，，在，為增函數(shù)，且圖象是由向右平移3個單位得到的，所以在，恒成立，只需，即，的取值范圍為，.【題目點撥】本題考查指數(shù)型不等式、二次函數(shù)的圖象和性質、不等式恒成立問題，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.18、（1）；（2），證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)已知條件，計算出的值；（2）由（1）猜想，根據(jù)數(shù)學歸納法證明方法，對猜想進行證明.【題目詳解】（1）計算，，，（2）猜想.證明：①當時，左邊，右邊，猜想成立.②假設猜想成立.即成立，那么當時，，而，故當時，猜想也成立.由①②可知，對于，猜想都成立.【題目點撥】本小題主要考查合情推理，考查利用數(shù)學歸納法證明和數(shù)列有關問題，屬于中檔題.19、（1）極小值為，極大值為；（2）或【解題分析】

(1)直接利用導數(shù)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間和極值.(2)設切點為，再根據(jù)求得，再求b的值.【題目詳解】(1)因為令=0，得，解得=或=1．1-0+0-↘極小值↗極大值↘所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，極小值為，極大值為．（2）因為，直線是的切線，設切點為，則，解得，當時，，代入直線方程得，當時，，代入直線方程得．所以或.【題目點撥】(1)本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間和極值，考查利用導數(shù)求曲線的切線方程，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)與曲線的切線方程有關的問題，如果不知道切點，一般設切點坐標，再解答.20、(Ⅰ)(Ⅱ)(ⅰ)(ⅱ)見證明【解題分析】

(Ⅰ)對函數(shù)進行求導，然后求出在處的切線的斜率，求出切線方程，把點代入切線方程中，求出的值；(Ⅱ)(ⅰ)，，，分類討論函數(shù)的單調性；當時，可以判斷函數(shù)沒有極值，不符合題意；當時，可以證明出函數(shù)有兩個極值點，，故可以求出的取值范圍；由(ⅰ)知在上單調遞減，，且，由得，，又，.法一：先證明（）成立，應用這個不等式，利用放縮法可以證明出成立；法二：令()，求導，利用單調性也可以證明出成立.【題目詳解】解:(Ⅰ)，又在處的切線方程為，即切線過點，(Ⅱ)(ⅰ)，，，當時，，在上單調遞增，無極值，不合題意，舍去當時，令，得，()，或;，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，恰有個極值點，，符合題意，故的取值范圍是(ⅱ)由(ⅰ)知在上單調遞減，，且，由得，，又，法一:下面證明（），令（），，在上單調遞增，，即（），，綜上法二:令()，則，在上單調遞增，，即，綜上【題目點撥】本題考查了曲線切線方程的求法，考查了函數(shù)有極值時求參數(shù)取值范圍問題，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的性質.21、（I）；（II）.【解題分析】分析：(1)先求切線的斜率和切點的坐標，再求切線的方程.(2)分類討論求，再解≥0，求出實數(shù)a的取值范圍.詳解：（Ⅰ）當時，，，，即曲線在處的切線的斜率為，又，所以所求切線方程為.