2024屆北京市西城區(qū)北京教育學院附中數(shù)學高二下期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆北京市西城區(qū)北京教育學院附中數(shù)學高二下期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（）A． B． C． D．2．函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則的值為（）A．2B．1C．0D．不能確定3．設全集U＝｛1,3,5,7｝，集合M＝｛1，|a－5|｝，MU，M＝｛5，7｝，則實數(shù)a的值為()A．2或－8 B．－8或－2 C．－2或8 D．2或84．函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．5．在極坐標系中，方程表示的曲線是（）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線6．設是兩個不重合的平面，是兩條不重合的直線，則以下結論錯誤的是（）A．若，，則B．若，則C．若，則D．若，則7．在空間中，給出下列說法：①平行于同一個平面的兩條直線是平行直線；②垂直于同一條直線的兩個平面是平行平面；③若平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等，則；④過平面的一條斜線，有且只有一個平面與平面垂直.其中正確的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③8．函數(shù)f(x)=13ax3A．0<a<1 B．1<a<2 C．0<a<2 D．a(chǎn)>29．函數(shù)f(x)＝x2－ln2x的單調(diào)遞減區(qū)間是()A． B． C．， D．，10．在的展開式中，含項的系數(shù)為（）A．10 B．15 C．20 D．2511．已知，，，若、、三向量共面，則實數(shù)等于（）A． B． C． D．12．已知，，，若，則（）A．-5 B．5 C．1 D．-1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是以為直徑的半圓弧上的動點，為圓心，為中點，若，則__________．14．從長度為、、、的四條線段中任選三條，能構成三角形的概率為.15．某學校擬從2名男教師和1名女教師中隨機選派2名教師去參加一個教師培訓活動，則2名男教師去參加培訓的概率是_______．16．求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在提出的“變害為利，造福人民”的木蘭溪全流域治理系統(tǒng)過程中，莆田市環(huán)保局根據(jù)水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得到木蘭溪某段流域的每年最高水位（單位：米）的頻率分布直方圖（如圖）.若將河流最高水位落入各組的頻率視為概率，并假設每年河流最高水位相互獨立．（1）求在未來3年里，至多有1年河流最高水位的概率（結果用分數(shù)表示）；（2）根據(jù)評估，該流域?qū)ρ睾悠髽I(yè)影響如下：當時，不會造成影響；當時，損失1000萬元；當時，損失6000萬元．為減少損失，莆田市委在舉行的一次治理聽證會上產(chǎn)生了三種應對方案：方案一：布置能防御35米最高水位的工程，需要工程費用380萬元；方案二：布置能防御31米最高水位的工程，需要工程費用200萬元；方案三：不采取措施；試問哪種方案更好，請說明理由．18．（12分）已知函數(shù)的導函數(shù)為，的圖象在點處的切線方程為，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對任意的：，存在零點，求的取值范圍.19．（12分）設函數(shù)．（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，(0，)，求的值；（2）若＝，＝，(0，)，求的值．20．（12分）如圖（1）是某水上樂園擬開發(fā)水滑梯項目的效果圖，考慮到空間和安全方面的原因，初步設計方案如下：如圖（2），自直立于水面的空中平臺的上端點P處分別向水池內(nèi)的三個不同方向建水滑道，，，水滑道的下端點在同一條直線上，，平分，假設水滑梯的滑道可以看成線段，均在過C且與垂直的平面內(nèi)，為了滑梯的安全性，設計要求.（1）求滑梯的高的最大值；（2）現(xiàn)在開發(fā)商考慮把該水滑梯項目設計成室內(nèi)游玩項目，且為保證該項目的趣味性，設計，求該滑梯裝置（即圖（2）中的幾何體）的體積最小值.21．（12分）已知拋物線的焦點為，圓與軸的一個交點為，圓的圓心為，為等邊三角形.（1）求拋物線的方程（2）設圓與拋物線交于、兩點，點為拋物線上介于、兩點之間的一點，設拋物線在點處的切線與圓交于、兩點，在圓上是否存在點，使得直線、均為拋物線的切線，若存在求點坐標（用、表示）；若不存在，請說明理由.22．（10分）函數(shù)．當時，求函數(shù)的極值；若，設，若存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由，得出，計算出基本事件的總數(shù)以及事件所包含的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【題目詳解】，，即，事件“”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個，所有的基本事件數(shù)為，因此，事件“”的概率為.故選：C.【題目點撥】本題考查利用古典概型的概率公式計算事件的概率，解題的關鍵就是求出總的基本事件數(shù)和所求事件所包含的基本事件數(shù)，考查計算能力，屬于中等題.2、A【解題分析】試題分析：∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴，令代入可得，函數(shù)關于對稱，由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，函數(shù)關于對稱從而有，故選A．考點：奇偶函數(shù)圖象的對稱性．【思路點睛】利用奇函數(shù)的定義可把已知轉化為，從而可得函數(shù)關于對稱，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則關于對稱，代入即可求出結果．3、D【解題分析】分析：利用全集，由，列方程可求的值.詳解：由，且，又集合，實數(shù)的值為或，故選D.點睛：本題考查補集的定義與應用，屬于簡單題.研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系.4、B【解題分析】分析：直接利用柯西不等式求函數(shù)的最大值.詳解：由柯西不等式得，所以（當且僅當即x=時取最大值）故答案為B.點睛：（1）本題主要考查柯西不等式求最值，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)二元柯西不等式的代數(shù)形式：設均為實數(shù)，則，其中等號當且僅當時成立.5、B【解題分析】方程，可化簡為：，即.整理得，表示圓心為(0,，半徑為的圓.故選B.6、C【解題分析】試題分析：選項A可由面面平行的性質(zhì)可以得到；B選項，可由線面平行的性質(zhì)定理和判定定理，通過論證即可得到；C選項，，缺少條件和相交，故不能證明面面平行，C錯誤；D選項，，過作平面，，由線面平行的性質(zhì)可得，，，.D正確.考點：直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關系.7、B【解題分析】

說法①：可以根據(jù)線面平行的判定理判斷出本說法是否正確；說法②：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和面面平行的判定定理可以判斷出本說法是否正確；說法③：當與相交時，是否在平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等，進行判斷；說法④：可以通過反證法進行判斷.【題目詳解】①平行于同一個平面的兩條直線可能平行、相交或異面，不正確；易知②正確；③若平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等，則與可能平行，也可能相交，不正確；易知④正確.故選B.【題目點撥】本題考查了線線位置關系、面面位置關系的判斷，分類討論是解題的關鍵，反證法是經(jīng)常用到的方程.8、D【解題分析】

函數(shù)f(x)=13ax3-x2+5(a>0)在(0,1)【題目詳解】f'(x)=ax2-2x，函數(shù)f(x)=13ax3-x2+5(a>0)在(0,1)上不單調(diào)，即故答案為D.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了學生分析問題與解決問題的能力，屬于中檔題.9、A【解題分析】

先求出f(x)的導數(shù)f′(x)，令f′(x)≤0即可解出答案（注意定義域）【題目詳解】由題意知，函數(shù)f(x)定義域為x>0，因為f′(x)＝2x－＝，由f′(x)≤0得解得0<x≤.【題目點撥】本題主要考察利用導數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性的問題．屬于基礎題10、B【解題分析】分析：利用二項展開式的通項公式求出的第項，令的指數(shù)為2求出展開式中的系數(shù)．然后求解即可．詳解：6展開式中通項

令可得，，

∴展開式中x2項的系數(shù)為1，

在的展開式中，含項的系數(shù)為：1．

故選：B．點睛：本題考查二項展開式的通項的簡單直接應用．牢記公式是基礎，計算準確是關鍵．11、C【解題分析】

由題知，、、三個向量共面,則存在常數(shù)，使得，由此能求出結果.【題目詳解】因為，，，且、、三個向量共面,所以存在使得.所以，所以，解得.故選:C.【題目點撥】本題主要考查空間向量共面定理求參數(shù)，還運用到向量的坐標運算.12、A【解題分析】

通過平行可得m得值，再通過數(shù)量積運算可得結果.【題目詳解】由于，故，解得，于是，，所以.故選A.【題目點撥】本題主要考查共線與數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先用中點公式的向量式求出，再用數(shù)量積的定義求出的值．【題目詳解】，【題目點撥】本題主要考查向量中的中點公式應用以及數(shù)量積的定義．14、【解題分析】試題分析：這是的道古典概率題，其基本事件有共4個，由于是任意選取的，所以每個基本事件發(fā)生的可能性是相等的，記事件A為“所選三條線段能構成三角形”，則事件A包含2個基本事件，根據(jù)概率公式得：．考點：古典概率的計算15、【解題分析】

根據(jù)古典概型概率計算公式求解即可.【題目詳解】從名教師中選派名共有：種選法名男教師參加培訓有種選法所求概率：本題正確結果：【題目點撥】本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎題.16、或【解題分析】

求的導函數(shù)，利用，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【題目詳解】解：由，得令，可得故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是故答案為或.【題目點撥】本題考查導數(shù)知識的運用，函數(shù)求導，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）先在頻率分布直方圖中找出河流最高水位在區(qū)間的頻率，然后利用獨立重復試驗的概率公式計算出所求事件的概率；（2）計算出三種方案的損失費用期望，在三種方案中選擇損失最小的方案．【題目詳解】（1）由題設得，所以，在未來3年里，河流最高水位發(fā)生的年數(shù)為，則～，記事件“在未來3年里，至多有1年河流水位”為事件，則，∴未來3年里，至多有1年河流水位的概率為．（2）由題設得，，用分別表示方案一、方案二、方案三的損失，由題意得萬元，的分布列為：20062000.990.01萬元，的分布列為：0100060000.740.250.01∴萬元，三種方案采取方案二的損失最小，采取方案二好．【題目點撥】本題考查獨立重復試驗概率的計算，考查離散型隨機變量分布列及其數(shù)學期望，在求解時要弄清隨機變量所服從的分布列類型，考查計算能力，屬于中等題．18、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)切線、函數(shù)值、導數(shù)值計算解析式；（2）計算出在時的值域，再根據(jù)求解出的范圍.【題目詳解】解：（1）∵，∴，，∵，∴，①∵的圖象在點處的切線方程為，∴當時，，且切線斜率，則，②.，③，聯(lián)立解得，，，即；（2）當時，當時，當時，又，，，.所以因為對任意的，存在零點，所以，即，所以【題目點撥】對于形如的函數(shù)零點問題，可將其轉化為的方程根的問題，或者也可以利用與的函數(shù)圖象交點來解決問題.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)得，根據(jù)的范圍即可求得結果；（2）利用已知函數(shù)值和可得：，利用同角三角函數(shù)可求得；利用二倍角公式求得和，將整理為，利用兩角和差余弦公式求得結果.【題目詳解】（1）為奇函數(shù)又當時，是奇函數(shù)，滿足題意（2），又；【題目點撥】本題考查根據(jù)奇偶性求解函數(shù)解析式、三角恒等變換和同角三角函數(shù)的求解，涉及到二倍角、兩角和差余弦公式的應用，關鍵是能夠通過配湊的方式，將所求函數(shù)值轉化為兩角和差的形式.20、（1）m（2）562.5.【解題分析】

（1）分別設出CB、CA、PC的長，分別表示出面積，再利用不等關系求解即可；（2）利用已知條件，求得體積是關于x的函數(shù)，再利用導函數(shù)判別單調(diào)性求得最小值即可.【題目詳解】（1）設.由題意知，由及平分得，所以.因為，所以，所以.所以滑道的高的最大值為m.（2）因為滑道的坡度為，所以.由（1）知，即.又，所以.所以三棱錐P-ABC的體積，所以，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，，所以該滑梯裝置的體積最小為562.5m3.【題目點撥】本題考查了解三角形和立體幾何應用實際問題，熟悉題意，仔細分析，結合導函數(shù)的應用求最值是解題的關鍵，屬于中檔題目.21、（1）；（2）存在圓上一點滿足、均為為拋物線的切線，詳見解析.【解題分析】

（1）將圓的方程表示為標準方程，得出其圓心的坐標，求出點的坐標，求出拋物線的焦點的坐標，然后由為等邊三角形得出為圓的半徑可求出的值，進而求出拋物線的方程；（2）設、，設切線、的方程分別為和，并寫出拋物線在點的切線方程，設，并設過點的直線與拋物線相切，利用可求出、的表達式，從而可用表示直線、，然后求出點的坐標，檢驗點的坐標滿足圓的方程，即可得出點的存在性，并得出點的坐標.【題目詳解】（1）圓的標準方程為，則點，拋物線的焦點為，為等邊三角形，則，即，解得，因此，拋物線；（2）設、.過點、作拋物線的兩條切線