2024屆河南省通許縣麗星中學數(shù)學高二第二學期期末達標測試試題含解析

2024屆河南省通許縣麗星中學數(shù)學高二第二學期期末達標測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出的結果是（）A． B． C． D．2．一個圓柱形的罐子半徑是4米，高是9米，將其平放，并在其中注入深2米的水，截面如圖所示，水的體積是（）平方米A． B．C． D．3．圓ρ=8sinθ的圓心到直線A．2 B．3 C．2 D．24．已知，，那么等于（）A． B． C． D．5．小明早上步行從家到學校要經(jīng)過有紅綠燈的兩個路口，根據(jù)經(jīng)驗，在第一個路口遇到紅燈的概率為0.4，在第二個路口遇到紅燈的概率為0.5，在兩個路口連續(xù)遇到紅燈的概率是0.2.某天早上小明在第一個路口遇到了紅燈，則他在第二個路口也遇到紅燈的概率是（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.56．若=（4，2，3）是直線l的方向向量，=（-1，3，0）是平面α的法向量，則直線l與平面α的位置關系是A．垂直 B．平行C．直線l在平面α內 D．相交但不垂直7．函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則的值為（）A．2B．1C．0D．不能確定8．執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入，那么輸出的（）A．B．C．D．9．已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為A． B．C． D．10．已知，，，若>恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是A．或 B．或C． D．11．已知四棱錐的底面是正方形，側棱長均相等，是線段上的點（不含端點），設與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A． B． C． D．12．在中，，，分別是內角，，所對的邊，若，則的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．銳角三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量，且，，則_______.14．已知向量與的夾角為60°，||=2，||=1，則|+2|=______.15．在區(qū)間上隨機地取三個不同的整數(shù),則“這三個數(shù)是一個鈍角三角形的三邊長”的概率為______．16．若，，，且的最小值是___.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米。要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個桶圓形狀（如圖）。（1）若最大拱高為6米，則隧道設計的拱寬是多少米？（2）若最大拱高不小于6米，則應如何設計拱高和拱寬，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：橢圓的面積公式為，本題結果拱高和拱寬精確到0.01米，土方量精確到1米3）18．（12分）如圖，平面，在中，，，交于點，，，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．19．（12分）甲、乙兩人進行象棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽．假設每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立．（1）求甲在4局以內（含4局）贏得比賽的概率；（2）用X表示比賽決出勝負時的總局數(shù)，求隨機變量X的分布列和均值.20．（12分）在二項式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數(shù)項恰是常數(shù)項.（1）求此常數(shù)項是第幾項；（2）求的范圍.21．（12分）如圖，四棱錐中，底面是梯形，，，底面點是的中點．(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)若且與平面所成角的大小為，求二面角的正弦值．22．（10分）m為何值時，函數(shù)（1）在上有兩個零點；（2）有兩個零點且均比-1大．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)題意，運行程序可實現(xiàn)運算求值，從而得答案．【題目詳解】第一次執(zhí)行程序，，第二次執(zhí)行程序，，第三次執(zhí)行程序，，因為，滿足條件，跳出循環(huán)，輸出結果.

故選：B．【題目點撥】本題主要考查了程序框圖，循環(huán)結構，條件分支結構，屬于容易題．2、D【解題分析】分析：由已知可得水對應的幾何體是一個以截面中陰影部分為底，以9為高的柱體，求出底面面積，代入柱體體積公式，可得答案．詳解：由已知中罐子半徑是4米，水深2米，故截面中陰影部分的面積S=平方米，又由圓柱形的罐子的高h=9米，故水的體積V=Sh=48立方米，故選D．點睛：本題考查的知識點是柱體的體積公式，扇形面積公式，弓形面積公式，難度中檔．3、C【解題分析】

先把圓和直線的極坐標方程化成直角坐標方程，再利用點到直線的距離公式求解.【題目詳解】由ρ=8sinθ得x2+y直線tanθ=3的直角坐標方程為所以圓心到直線3x-y=0的距離為0-4故選：C【題目點撥】本題主要考查極坐標方程和直角坐標方程的互化，考查點到直線的距離的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.4、B【解題分析】

根據(jù)條件概率公式得出可計算出結果.【題目詳解】由條件概率公式得，故選B.【題目點撥】本題考查條件概率的計算，利用條件概率公式進行計算是解本題的關鍵，屬于基礎題.5、D【解題分析】

根據(jù)條件概率，即可求得在第一個路口遇到紅燈，在第二個路口也遇到紅燈的概率．【題目詳解】記“小明在第一個路口遇到紅燈”為事件，“小明在第二個路口遇到紅燈”為事件“小明在第一個路口遇到了紅燈，在第二個路口也遇到紅燈”為事件則，，故選D.【題目點撥】本題考查了條件概率的簡單應用，屬于基礎題．6、D【解題分析】

判斷直線的方向向量與平面的法向量的關系，從而得直線與平面的位置關系．【題目詳解】顯然與不平行，因此直線與平面不垂直，又，即與不垂直，從而直線與平面不平行，故直線與平面相交但不垂直．故選D．【題目點撥】本題考查用向量法判斷直線與平面的位置關系，方法是由直線的方向向量與平面的法向量的關系判斷，利用向量的共線定理和數(shù)量積運算判斷直線的方向向量與平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直線與平面的位置關系．7、A【解題分析】試題分析：∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴，令代入可得，函數(shù)關于對稱，由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，函數(shù)關于對稱從而有，故選A．考點：奇偶函數(shù)圖象的對稱性．【思路點睛】利用奇函數(shù)的定義可把已知轉化為，從而可得函數(shù)關于對稱，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則關于對稱，代入即可求出結果．8、B【解題分析】分析：由題意結合流程圖運行程序即可確定程序的輸出結果.詳解：結合所給的流程圖運行程序如下：首先初始化數(shù)據(jù)：，第一次循環(huán)：，,，此時不滿足；第二次循環(huán)：，,，此時不滿足；第三次循環(huán)：，,，此時不滿足；一直循環(huán)下去，第十次循環(huán)：，,，此時滿足，跳出循環(huán).則輸出的.本題選擇B選項.點睛：識別、運行程序框圖和完善程序框圖的思路(1)要明確程序框圖的順序結構、條件結構和循環(huán)結構．(2)要識別、運行程序框圖，理解框圖所解決的實際問題．(3)按照題目的要求完成解答并驗證．9、B【解題分析】∵y2=2px的焦點坐標為,∴過焦點且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準線方程為x=-1.故選B.10、C【解題分析】分析：用“1”的替換先解的最小值，再解的取值范圍。詳解：，所以的解集為，故選C點睛：已知二元一次方程，求二元一次分式結構的最值，用“1”的替換是均值不等式的應用，構造出的模型，再驗證條件。11、D【解題分析】

分別作出線線角、線面角以及二面角，再構造直角三角形，根據(jù)邊的大小關系確定角的大小關系.【題目詳解】設為正方形的中心，為中點，過作的平行線，交于，過作垂直于，連接、、，則垂直于底面，垂直于，因此從而因為，所以即，選D.【題目點撥】線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面.12、B【解題分析】

利用正弦定理和兩角和的正弦化簡可得，從而得到即.【題目詳解】因為，所以，所以即，因為，故，故，所以，為直角三角形，故選B.【題目點撥】在解三角形中，如果題設條件是邊角的混合關系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關系式轉化為邊的關系式或角的關系式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用隨機變量，關于對稱，結合已知求出結果【題目詳解】隨機變量滿足，圖象關于對稱，則故答案為【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布，由正態(tài)分布的對稱性即可計算出結果14、【解題分析】

∵平面向量與的夾角為，∴.∴故答案為.點睛：(1)求向量的夾角主要是應用向量的數(shù)量積公式．(2)常用來求向量的模．15、【解題分析】分析：由題意，從的六個數(shù)字中隨機取出3個數(shù)，共有種方法，設三角形的三邊分別為，列舉其中滿足的共有5種，利用古典概型概率的計算公式即可求解．詳解：由題意，在區(qū)間中隨機地取三個不同的整數(shù)，即從的六個數(shù)字中隨機取出3個數(shù)，共有種方法，設三角形的三邊分別為，其中滿足的共有：，共有5種，所以概率為．點睛：本題主要考查了古典概型及其概率的計算問題，其中中正確理解題意，確定基本時間的額總數(shù)和得出事件中所包含的基本時間的個數(shù)是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力．16、9【解題分析】

根據(jù)基本不等式的性質，結合乘“1”法求出代數(shù)式的最小值即可．【題目詳解】∵，，，,當且僅當時“=”成立，故答案為9.【題目點撥】本題考查了基本不等式的性質，考查轉化思想，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)33.26；(2)拱高約為6.36米、拱寬約為31.11米時，土方工程量最小．最小土方量為立方米.【解題分析】

（1）根據(jù)題意，建立坐標系，可得的坐標并設出橢圓的方程，將與點坐標代入橢圓方程，得，依題意，可得，計算可得答案；（2）根據(jù)題意，設橢圓方程為，將代入方程可得，結合基本不等式可得，分析可得當且，時，，進而分析可得答案．【題目詳解】（1）如圖建立直角坐標系，則點，橢圓方程為．將與點坐標代入橢圓方程，得，此時此時因此隧道的拱寬約為33.26米；（2）由橢圓方程，根據(jù)題意，將代入方程可得．因為即且，，所以當取最小值時，有，得，此時，故當拱高約為6.36米、拱寬約為31.11米時，土方工程量最?。钚⊥练搅繛榱⒎矫?【題目點撥】本題考查橢圓的實際運用，注意與實際問題相結合，建立合適的坐標系，設出點的坐標，結合橢圓的有關性質進行分析、計算、解題．18、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

過D作平行線DH，則可得兩兩垂直，以它們?yōu)樽鴺溯S建立空間直角坐標，求出長，寫出的坐標．求出相應向量，（1）由，證得垂直；（2）求出平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值等于向量和夾角余弦值的絕對值．由向量的數(shù)量積運算易求．【題目詳解】（1）過D作平行線DH，以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，為軸，建立空間坐標系，如圖，在中，，，，，交于點，，；,，，；（2）由（1）可知，，，設平面BEF的法向量為，所以，，取，，設直線與平面所成角為，所以=.【題目點撥】本題考查證明空間兩直線垂直，考查求直線與平面所成的角，解題方法是建立空間直角坐標系，由向量法證明線線垂直，求線面角，這種方法主要考查學生的運算求解能力，思維量很少，解法固定．19、（1）；（2）分布列見解析，.【解題分析】

（1）根據(jù)概率的乘法公式，求出對應的概率，即可得到結論．（2）利用離散型隨機變量分別求出對應的概率，即可求X的分布列以及數(shù)學期望．【題目詳解】用A表示“甲在4局以內（含4局）贏得比賽”，表示“第k局甲獲勝”，表示“第k局乙獲勝”則，，.（1）.（2）X的所有可能取值為.，，，.∴X的分布列為X2345P∴【題目點撥】本題考查了相互獨立事件、互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列與數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20、（1）5；（2）≤≤.【解題分析】分析：（1）求出通項，由以及，即可求出答案；（2）由只有常數(shù)項為最大項且，可得，即可得到答案.詳解：(1)設Tr+1=(axm)12-r·(bxn)r=a12-r·brxm(12-r)+nr為常數(shù)項,則有m(12-r)+nr=0,因為2m+n=0,所以m(12-r)-2mr=0,解得r=4,故可知常數(shù)項是第5項.(2)因為第5項又是系數(shù)最大的項,所以因為a>0,b>0,所以由①②可得點睛：本題主要考查二項式定理，二項展開