湖南省湘南中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末聯(lián)考試題含解析

湖南省湘南中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末聯(lián)考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對兩個變量x，y進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn），則下列說法中不正確的是A．由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程必過樣本點的中心B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用相關指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好D．兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于1.2．己知函數(shù),若,則()A． B． C． D．3．已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復數(shù)的虛部等于（）A．1 B．-1 C．2 D．-24．設圓x2+y2+2x-2=0截x軸和y軸所得的弦分別為AB和CDA．22 B．23 C．25．“指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)”，以上推理（）A．大前提不正確 B．小前提不正確 C．結論不正確 D．正確6．已知三棱錐的頂點都在球的球面上，平面，則球的表面積為（）A． B． C． D．7．某校派出5名老師去?？谑腥袑W進行教學交流活動，每所中學至少派一名教師，則不同的分配方案有（）A．80種 B．90種 C．120種 D．150種8．設為可導函數(shù)，且滿足，則曲線在點處的切線斜率為（）A． B． C．2 D．9．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．16 B．(10＋)π C．4＋(5＋)π D．6＋(5＋)π10．在中，，，分別為角，，所對的邊，若，則（）A．一定是銳角三角形 B．一定是鈍角三角形C．一定是直角三角形 D．一定是斜三角形11．函數(shù)在上的最大值為（）A． B． C． D．12．是虛數(shù)單位，若，則的值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線H的漸近線為x+2y＝1與x﹣2y＝1．若H經(jīng)過點P（2，1），則雙曲線H的方程為_____．14．設，若不等式對任意實數(shù)恒成立，則取值集合是_______.15．為了宣傳校園文化，讓更多的學生感受到校園之美，某校學生會組織了6個小隊在校園最具有代表性的3個地點進行視頻拍攝，若每個地點至少有1支小隊拍攝，則不同的分配方法有_____種（用數(shù)字作答）16．有4個不同的小球，全部放入4個不同的盒子內(nèi)，恰好有兩個盒子不放球的不同放法的總數(shù)為____________________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若恒成立，試求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)的圖像在點處的切線為直線，試求實數(shù)的值.18．（12分）已知復數(shù)為虛數(shù)單位.（1）若復數(shù)對應的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求的共軛復數(shù).19．（12分）甲、乙兩班進行“一帶一路”知識競賽，每班出3人組成甲、乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯或不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為，乙隊每人答對的概率都是，設每人回答正確與否相互之間沒有影響，用表示甲隊總得分.(1)求的概率；(2)求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率.20．（12分）設函數(shù)，．(1)解不等式；(2)設函數(shù)，且在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時，．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）解不等式．22．（10分）計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X（年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和．單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，如將年人流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，假設各年的年入流量相互獨立．（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；（，）（2）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行最多，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關系：年流入量發(fā)電機最多可運行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為4000萬元，若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損600萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程必過樣本中心，正確；殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，正確用相關指數(shù)R2來刻畫回歸效果,R2越大，說明模型的擬合效果越好，不正確，線性相關系數(shù)|r|越大，兩個變量的線性相關性越強，故正確。故選：C.2、D【解題分析】分析：首先將自變量代入函數(shù)解析式，利用指對式的運算性質(zhì)，得到關于參數(shù)的等量關系式，即可求得結果.詳解：根據(jù)題意有，解得，故選D.點睛：該題考查的是已知函數(shù)值求自變量的問題，在求解的過程中，需要對指數(shù)式和對數(shù)式的運算性質(zhì)了如指掌.3、A【解題分析】由題設可得，則復數(shù)的虛部等于，應選答案A。4、C【解題分析】

先求出|AB|,|CD|,再求四邊形ABCD的面積.【題目詳解】x2+y令y=0得x=±3-1,則令x=0得y=±2，所以|CD|=2四邊形ACBD的面積S=故答案為：C【題目點撥】本題主要考查直線和圓的位置關系，考查弦長的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.5、A【解題分析】分析：利用三段論和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷.詳解：由三段論可知“指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)”是大前提，但是指數(shù)函數(shù)不一定是增函數(shù)，對于指數(shù)函數(shù)，當a>1時，指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，當0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)是減函數(shù).所以大前提不正確，故答案為：A.點睛：本題主要考查三段論和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學生對這些知識的掌握水平.6、D【解題分析】

根據(jù)題意畫出圖形，結合圖形把三棱錐補充為長方體，則該長方體的外接球即為三棱錐的外接球，計算長方體的對角線，求出外接球的直徑和表面積．【題目詳解】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，

以AB、BD和CD為棱，把三棱錐補充為長方體，

則該長方體的外接球即為三棱錐的外接球，

且長方體的對角線是外接球的直徑；

，

外接球O的表面積為．

故選：D．【題目點撥】本題考查了三棱錐外接球表面積計算問題，將三棱錐補成長方體，是求外接球直徑的關鍵，屬于中檔題．7、D【解題分析】

不同的分配方案有(C8、D【解題分析】

由導數(shù)的幾何意義，結合題設，找到倍數(shù)關系，即得解.【題目詳解】由導數(shù)的幾何意義，可知：故選：D【題目點撥】本題考查了導數(shù)的幾何意義和導數(shù)的定義，考查了學生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.9、C【解題分析】分析：由該幾何體的三視圖判斷出組合體各部分的幾何特征，以及各部分的幾何體相關幾何量的數(shù)據(jù)，由面積公式求出該幾何體的表面積.詳解：該幾何體是兩個相同的半圓錐與一個半圓柱的組合體，其表面積為：S＝π＋4π＋4＋π＝4＋(5＋)π.故選：C.點睛：本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，解題的關鍵是根據(jù)三視圖判斷幾何體的結構特征及相關幾何量的數(shù)據(jù).10、C【解題分析】分析：由已知構造余弦定理條件：，再結合余弦定理，化簡整理得，即一定為直角三角形.詳解：由已知，得①由余弦定理：②將①代入②整理得一定為直角三角形故選C點睛：判斷三角形形狀（1）角的關系：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關系，從而判斷三角形的形狀．①若；則A=B；②若；則A=B或（2）邊的關系：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀．①若，則；②若，則；③若，則．11、A【解題分析】

對函數(shù)求導，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，再結合端點函數(shù)值得出函數(shù)的最大值．【題目詳解】，，令，由于，得.當時，；當時，．因此，函數(shù)在處取得最小值，在或處取得最大值，，，因此，，故選A．【題目點撥】本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)的最值，一般而言，利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的基本步驟如下：（1）求導，利用導數(shù)分析函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性；（2）求出函數(shù)的極值；（3）將函數(shù)的極值與端點函數(shù)值比較大小，可得出函數(shù)的最大值和最小值．12、C【解題分析】

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

設共漸近線的雙曲線系方程后，代入點坐標即可得到答案.【題目詳解】依題意可設所求雙曲線方程為，因為H經(jīng)過點P（2，1），所以，即，所以雙曲線的方程為，即.故答案為：【題目點撥】本題考查了用共漸近線的雙曲線系方程求雙曲線方程，設出共共漸近線的雙曲線系方程是解題關鍵，屬于基礎題.14、【解題分析】

將不等式轉(zhuǎn)化為，分別在、、、的情況下討論得到的最大值，從而可得；分別在、、的情況去絕對值得到不等式，解不等式求得結果.【題目詳解】對任意實數(shù)恒成立等價于：①當時，②當時，③當時，④當時，綜上可知：，即當時，，解得：當時，，無解當時，，解得：的取值集合為：本題正確結果；【題目點撥】本題考查絕對值不等式中的恒成立問題，關鍵是能夠通過分類討論的思想求得最值，從而將問題轉(zhuǎn)化為絕對值不等式的求解，再利用分類討論的思想解絕對值不等式即可得到結果.15、540【解題分析】

首先將6個小隊分成三組，有三種組合，然后再分配，即可求出結果．【題目詳解】（1）若按照進行分配有種方案；（2）若按照進行分配有種方案；（3）若按照進行分配有種方案；由分類加法原理，所以共有種分配方案．【題目點撥】本題主要考查分類加法計數(shù)原理，以及排列組合的相關知識應用．易錯點是平均分配有重復，注意消除重復．16、84【解題分析】

四個不同的球全部放入4個不同的盒子內(nèi)，恰有兩個盒子不放球的不同放法的求法，分為兩步來求解，先把四個球分為兩組，再取兩個盒子，作全排列，由于四個球分兩組有兩種分法，一種是2，2，另一種是3，1，故此題分為兩類來求解，再求出它們的和，即可得到答案【題目詳解】四個球分為兩組有兩種分法，（2，2），（3，1）

若兩組每組有兩個球，不同的分法有種，恰有兩個盒子不放球的不同放法是3×A42=36種

若兩組一組為3，一組為1個球，不同分法有C43=4種恰有兩個盒子不放球的不同放法是4×A42=48種

綜上恰有兩個盒子不放球的不同放法是36+48=84種即答案為84.【題目點撥】題考查察排列、組合的實際應用，解題的關鍵是理解事件“四個不同的球全部放入4個不同的盒子內(nèi)，恰有兩個盒子不放球”，宜先將四個球分為兩組，再放入，分步求不同的放法種數(shù)三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）由恒成立，分離參數(shù)可得恒成立，設，對其求導，可得的最大值，可得的取值范圍；（2）求出，對其求導，可得切在的切線方程，又切線方程為，可得與的方程組，可得，設，對其求導可得的單調(diào)性與最小值，可得的值唯一，可得答案.【題目詳解】解：（1）由題意得：定義域為，恒成立.設，則，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)，所以.（2），.因為切點為，則切線方程為，整理得：，又切線方程為，所以，設，則，因為在單調(diào)遞增，且，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，所以，所以的值唯一，為.【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值及利用導數(shù)求切線等問題，關鍵是能夠利用導數(shù)的幾何意義確定曲線的切線方程，從而構造方程求得結果.綜合性大，屬于難題.18、（1）；（2）【解題分析】試題分析：（1）求出復數(shù)的代數(shù)形式，根據(jù)第四象限的點的特征，求出的范圍；（2）由已知得出，代入的值，求出．試題解析;（I）=，由題意得解得（2）19、（1）；（2）.【解題分析】

(1)ξ＝2，則甲隊有兩人答對，一人答錯，計算得到答案.(2)甲隊和乙隊得分之和為4，則甲可以得1,2,3分三種情況，計算其概率，再根據(jù)條件概率公式得到結果，【題目詳解】(1)ξ＝2，則甲隊有兩人答對，一人答錯，故.(2)設甲隊和乙隊得分之和為4為事件A，甲隊比乙隊得分高為事件B.設乙隊得分為η，則η～，，，，，，，∴所求概率為.【題目點撥】本題考查了概率的計算和條件概率，意在考查學生的計算能力.20、（1）；（2）【解題分析】試題分析：本小題主要考查不等式的相關知識，具體涉及到絕對值不等式及不等式證明以及解法等內(nèi)容.(1)利用數(shù)軸分段法求解；（2）借助數(shù)形結合思想，畫出兩個函數(shù)的圖像，通過圖像的上下位置的比較，探求在上恒成立時實數(shù)的取值范圍.試題解析：(1)由條件知，由，解得.(5分)(2)由得，由函數(shù)的圖像可知的取值范圍是.(10分)考點：（1）絕對值不等式；（2）不等式證明以及解法；（3）函數(shù)的圖像.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）當時，，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以可得；，進而求出解析式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式．【題目詳解】（Ⅰ）當時，，因為是定義在上的奇函數(shù)所以；當時