2024屆陜西省漢中市龍崗學(xué)校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆陜西省漢中市龍崗學(xué)校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則等于（）A．2 B．0 C．-2 D．-42．長方體中，，，則直線與平面ABCD所成角的大?。ǎ〢． B． C． D．3．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．4．設(shè),則()A． B．C． D．5．設(shè)函數(shù)f（x）＝xlnx的圖象與直線y＝2x+m相切，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．e B．﹣e C．﹣2e D．2e6．若，則（）A．2 B．4 C． D．87．下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）①命題：“、，若，則”，用反證法證明時(shí)應(yīng)假設(shè)或；②若，則、中至少有一個(gè)大于；③若、、、、成等比數(shù)列，則；④命題：“，使得”的否定形式是：“，總有”.A． B． C． D．8．已知服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，在區(qū)間、和內(nèi)取值的概率分別為、、和.某企業(yè)為名員工定制工作服，設(shè)員工的身高（單位：）服從正態(tài)分布，則適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制（）A．套 B．套 C．套 D．套9．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如圖，則常數(shù)c為（）X01PA． B． C．或 D．10．多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，建立下圖的空間直角坐標(biāo)系，已知、、、、、.若為平行四邊形，則點(diǎn)到平面的距離為A． B． C． D．11．已知函數(shù)，若，則（）A．0 B．3 C．6 D．912．已知集合，則=（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．，，則__________.14．設(shè)，若隨機(jī)變量的分布列是：012則當(dāng)變化時(shí)，的極大值是__________．15．已知平面向量，，滿足，，，則的最大值為___________．16．給出定義：對(duì)于三次函數(shù)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.已知函數(shù).設(shè).若則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（a∈R）．（1）討論y＝f（x）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)x1，x2，求實(shí)數(shù)a的范圍并證明．18．（12分）某拋擲骰子游戲中，規(guī)定游戲者可以有三次機(jī)會(huì)拋擲一顆骰子，若游戲者在前兩次拋擲中至少成功一次才可以進(jìn)行第三次拋擲，其中拋擲骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.游戲規(guī)則如下：拋擲1枚骰子，第1次拋擲骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則記為成功，第2次拋擲骰子向上的點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)則記為成功，第3次拋擲骰子向上的點(diǎn)數(shù)為6則記為成功.用隨機(jī)變量表示該游戲者所得分?jǐn)?shù).（1）求該游戲者有機(jī)會(huì)拋擲第3次骰子的概率;（2）求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（12分）小王每天自己開車上班，他在路上所用的時(shí)間（分鐘）與道路的擁堵情況有關(guān).小王在一年中隨機(jī)記錄了200次上班在路上所用的時(shí)間，其頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表，用頻率近似代替概率.（分鐘）15202530頻數(shù)（次）50506040（Ⅰ）求小王上班在路上所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路擁堵情況彼此獨(dú)立，設(shè)一周內(nèi)上班在路上所用時(shí)間不超過的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若存在正實(shí)數(shù)對(duì)，使得當(dāng)時(shí)，能成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)寫出直線l經(jīng)過的定點(diǎn)的直角坐標(biāo)，并求曲線的普通方程；(2)若，求直線的極坐標(biāo)方程，以及直線l與曲線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)．22．（10分）從裝有大小相同的2個(gè)紅球和6個(gè)白球的袋子中，每摸出2個(gè)球?yàn)橐淮卧囼?yàn)，直到摸出的球中有紅球(不放回)，則實(shí)驗(yàn)結(jié)束(1)求第一次實(shí)驗(yàn)恰好摸到1個(gè)紅球和1個(gè)白球的概率；(2)記實(shí)驗(yàn)次數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先求導(dǎo)，算出，然后即可求出【題目詳解】因?yàn)?，所以所以，得所以，所以故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查的是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，較簡單.2、B【解題分析】

連接，根據(jù)長方體的性質(zhì)和線面角的定義可知：是直線與平面ABCD所成角，在底面ABCD中，利用勾股定理可以求出，在中，利用銳角三角函數(shù)知識(shí)可以求出的大小.【題目詳解】連接，在長方體中，顯然有平面ABCD，所以是直線與平面ABCD所成角，在底面ABCD中，，在中，，故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面角的求法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3、A【解題分析】

根據(jù)題意，分析函數(shù)f（x）的奇偶性以及在區(qū)間（0，）上，有f（x）＞0，據(jù)此分析選項(xiàng)，即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，f（x）＝ln|x|（ln|x|+1），有f（﹣x）＝ln|﹣x|（ln|﹣x|+1）＝ln|x|（ln|x|+1）＝f（x），則f（x）為偶函數(shù)，排除C、D，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝lnx（lnx+1），在區(qū)間（0，）上，lnx＜﹣1，則有l(wèi)nx+1＜0，則f（x）＝lnx（lnx+1）＞0，排除B；故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的圖象分析，一般用排除法分析，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】分析：由題意將替換為，然后和比較即可.詳解：由題意將替換為，據(jù)此可得：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法中由k到k+1的計(jì)算方法，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5、B【解題分析】

設(shè)切點(diǎn)為（s，t），求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切線方程可得s，t，進(jìn)而求得m．【題目詳解】設(shè)切點(diǎn)為（s，t），f（x）＝xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝1+lnx，可得切線的斜率為1+lns＝2，解得s＝e，則t＝elne＝e＝2e+m，即m＝﹣e．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查直線方程的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

通過導(dǎo)數(shù)的定義，即得答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，，故答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義，難度不大.7、C【解題分析】

根據(jù)命題的否定形式可判斷出命題①的正誤；利用反證法可得出命題②的真假；設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用等比數(shù)列的定義和等比中項(xiàng)的性質(zhì)可判斷出命題③的正誤；利用特稱命題的否定可判斷出命題④的正誤.【題目詳解】對(duì)于命題①，由于可表示為且，該結(jié)論的否定為“或”，所以，命題①正確；對(duì)于命題②，假設(shè)且，由不等式的性質(zhì)得，這與題設(shè)條件矛盾，假設(shè)不成立，故命題②正確；對(duì)于命題③，設(shè)等比數(shù)列、、、、的公比為，則，.由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得，則，命題③錯(cuò)誤；對(duì)于命題④，由特稱命題的否定可知，命題④為真命題，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，涉及反證法、等比中項(xiàng)以及特稱命題的否定，理解這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

由可得，，則恰為區(qū)間，利用總?cè)藬?shù)乘以概率即可得到結(jié)果.【題目詳解】由得：，，，又適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制：套本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用正態(tài)分布進(jìn)行估計(jì)的問題，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

根據(jù)所給的隨機(jī)變量的分布列寫出兩點(diǎn)分步的隨機(jī)變量的概率要滿足的條件，一是兩個(gè)概率都不小于0，二是兩個(gè)概率之和是1，解出符合題意的c的值．【題目詳解】由隨機(jī)變量的分布列知，，，，∴，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分布列的應(yīng)用，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】

利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的法向量，結(jié)合，利用空間向量夾角余弦公式求出與所求法向量的夾角余弦，進(jìn)而可得結(jié)果.【題目詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，為平行四邊形，由得，，，，設(shè)為平面的法向量，顯然不垂直于平面，故可設(shè)，，即，，所以，又，設(shè)與的夾角為，則，到平面的距離為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用空間向量求點(diǎn)面距離，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.11、C【解題分析】

分別討論當(dāng)和時(shí)帶入即可得出，從而得出【題目詳解】當(dāng)時(shí)（舍棄）．當(dāng)時(shí)，所以，所以選擇C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分段函數(shù)求值的問題，分段函數(shù)問題需根據(jù)函數(shù)分段情況進(jìn)行討論，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解題分析】分析：直接利用交集的定義求解.詳解：集合，，故選D.點(diǎn)睛：研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.本題需注意兩集合一個(gè)是有限集，一個(gè)是無限集，按有限集逐一驗(yàn)證為妥.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】分析：由，可得，直接利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求解即可得，計(jì)算過程注意避免計(jì)算錯(cuò)誤.詳解：由，可得，則，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，意在考查對(duì)基本概念與基本運(yùn)算掌握的熟練程度.14、.【解題分析】分析：先求，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求極大值.詳解：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此的極大值是.點(diǎn)睛：本題考查數(shù)學(xué)期望公式以及方差公式：考查基本求解能力.15、【解題分析】

只有不等號(hào)左邊有，當(dāng)為定值時(shí)，相當(dāng)于存在的一個(gè)方向使得不等式成立．適當(dāng)選取使不等號(hào)左邊得到最小值，且這個(gè)最大值不大于右邊．【題目詳解】當(dāng)為定值時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)取最小值，此時(shí)，所以．因?yàn)?，所以，所以所以，?dāng)且僅當(dāng)且與同向時(shí)取等號(hào)．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考察平面向量的最值問題，需要用到轉(zhuǎn)化思想、基本不等式等，綜合性很強(qiáng)，屬于中檔題．16、-4037【解題分析】

由題意對(duì)已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù),令二階導(dǎo)數(shù)為零,即可求得函數(shù)的中心對(duì)稱,即有,,借助倒序相加的方法,可得進(jìn)而可求的解析式,求導(dǎo),當(dāng)代入導(dǎo)函數(shù)解得,計(jì)算求解即可得出結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由得解得,而故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故，兩式相加得，則.同理,,,令,則,,故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,,兩式相加得,則.所以當(dāng)時(shí),解得:,所以則.故答案為:-4037.【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)新定義的理解,考查二階導(dǎo)數(shù)的求法,仔細(xì)審題是解題的關(guān)鍵,考查倒序法求和,難度較難.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2），證明見解析【解題分析】

（1）先求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)分成兩種情況，分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）令，分離常數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間和最大值，結(jié)合圖像求得的取值范圍.構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)證得在成立，從而證得在上成立.根據(jù)的單調(diào)性證得.【題目詳解】函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，，有，在有，即，綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，.（2）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的根，即即有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；，，，當(dāng)時(shí)，故.由上設(shè)令（）當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，，從而有，即，而則，又因?yàn)樗?，又，，故，即證.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，綜合性很強(qiáng)，屬于難題.18、（1）（2）見解析【解題分析】分析：⑴該游戲者拋擲骰子成功的概率分別為、、，該游戲者有機(jī)會(huì)拋擲第3次骰子為事件．則；(2)由題意可知，的可能取值為、、、、，分別求出，，，，得到的分布列及數(shù)學(xué)期望．詳解：⑴該游戲者拋擲骰子成功的概率分別為、、，該游戲者有機(jī)會(huì)拋擲第3次骰子為事件．則；答：該游戲者有機(jī)會(huì)拋擲第3次骰子的概率為(2)由題意可知，的可能取值為、、、、，，，，，，所以的分布列為所以的數(shù)學(xué)期望點(diǎn)睛：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用．19、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析.【解題分析】分析：（Ⅰ）先由題得到x=15,20,25,30，再求出其對(duì)應(yīng)的概率，最后得到X的分布列和期望.（Ⅱ）利用二項(xiàng)分布求的分布列及數(shù)學(xué)期望.詳解：（Ⅰ），，，，的分布列為15202530所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，每天上班在路上所用時(shí)間不超過的概率為，依題意，，分布列為，，012345.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查二項(xiàng)分布，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)若～則利用該公式可以提高計(jì)算效率.20、（1）4（2）【解題分析】

（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出的范圍，（2）根據(jù)題意可得，