2024屆云南省玉溪市峨山彝族自治縣一中數(shù)學高二第二學期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆云南省玉溪市峨山彝族自治縣一中數(shù)學高二第二學期期末聯(lián)考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在三棱錐中，點D是棱的中點，若，，，則等于（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，且對任意的，都有恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．3．一個袋子中有4個紅球，2個白球，若從中任取2個球，則這2個球中有白球的概率是A． B． C． D．4．已知，則中（）A．至少有一個不小于1 B．至少有一個不大于1C．都不大于1 D．都不小于15．命題“?n∈N*,f(n)∈NA．?n∈N*B．?n∈N*C．?n0D．?n06．設是虛數(shù)單位，則的值為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．8．某同學通過英語聽力測試的概率為，他連續(xù)測試次，要保證他至少有一次通過的概率大于，那么的最小值是()A． B． C． D．9．若,則下列結論正確的是()A． B． C． D．10．以下四個命題中是真命題的是()A．對分類變量x與y的隨機變量觀測值k來說，k越小，判斷“x與y有關系”的把握程度越大B．兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于0C．若數(shù)據(jù)的方差為1，則的方差為2D．在回歸分析中，可用相關指數(shù)的值判斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好11．過雙曲線的一個焦點作垂直于實軸的直線,交雙曲線于,是另一焦點,若,則雙曲線的離心率等于（）A． B． C． D．12．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望為A．100 B．200 C．300 D．400二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將極坐標化成直角坐標為_________.14．已知隨機變量，且，，則_______.15．若展開式中的第7項是常數(shù)項，則n的值為______．16．在的展開式中的所有的整數(shù)次冪項的系數(shù)之和為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在處的切線方程為.（Ⅰ）求的單調區(qū)間：（Ⅱ）關于的方程在范圍內有兩個解，求的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)f(x)=ln(ax)+bx在點（1，f(1)）處的切線是y=0；(I)求函數(shù)f(x)的極值；(II)當恒成立時,求實數(shù)m的取值范圍(e為自然對數(shù)的底數(shù))19．（12分）已知（1）求及的值；（2）求證：（），并求的值.（3）求的值.20．（12分）如圖，在三棱錐中，，為的中點，平面，垂足落在線段上，為的重心，已知，，，.（1）證明：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）設點在線段上，使得，試確定的值，使得二面角為直二面角.21．（12分）在某地區(qū)2008年至2014年中，每年的居民人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：對變量t與y進行相關性檢驗，得知t與y之間具有線性相關關系．（1）求y關于t的線性回歸方程；（2）預測該地區(qū)2016年的居民人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，22．（10分）某中學高中畢業(yè)班的三名同學甲、乙、丙參加某大學的自主招生考核，在本次考核中只有合格和優(yōu)秀兩個等次.若考核為合格，則給予分的降分資格；若考核為優(yōu)秀，則給予分的降分資格.假設甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為、、，他們考核所得的等次相互獨立.（1）求在這次考核中，甲、乙、丙三名同學中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；（2）記在這次考核中，甲、乙、丙三名同學所得降分之和為隨機變量，請寫出所有可能的取值，并求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

利用向量的三角形法則，表示所求向量，化簡求解即可．【題目詳解】解：由題意在三棱錐中，點是棱的中點，若，，，可知：，，，．故選：．【題目點撥】本題考查向量的三角形法則，空間向量與平面向量的轉化，屬于基礎題．2、B【解題分析】

先求出導函數(shù)，再分別討論，，的情況，從而得出的最大值【題目詳解】由題可得：；（1）當時，則，由于，所以不可能恒大于等于零；（2）當時，則在恒成立，則函數(shù)在上單調遞增，當時，，故不可能恒有；（3）當時，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上單調遞減，在上單調遞增，則，對任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，則在上所以單調遞增，在上單調遞減，所以；所以的最大值為；綜述所述，的最大值為；故答案選B【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調性，導數(shù)的應用，滲透了分類討論思想，屬于中檔題。3、B【解題分析】

先計算從中任取2個球的基本事件總數(shù)，然后計算這2個球中有白球包含的基本事件個數(shù)，由此能求出這2個球中有白球的概率．【題目詳解】解：一個袋子中有4個紅球，2個白球，將4紅球編號為1，2，3，4；2個白球編號為5，1．從中任取2個球，基本事件為：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，1}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，1}，{3，4}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}，共15個，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“兩個球中有白球”這一事件，則A包含的基本事件有：{1，5}，{1，1}，{2，5}，{2，1}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}共9個，這2個球中有白球的概率是．故選B．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4、B【解題分析】

用反證法證明，假設同時大于，推出矛盾得出結果【題目詳解】假設，，，三式相乘得，由，所以，同理，，則與矛盾，即假設不成立，所以不能同時大于，所以至少有一個不大于，故選【題目點撥】本題考查的是用反證法證明數(shù)學命題，把要證的結論進行否定，在此基礎上推出矛盾，是解題的關鍵，同時還運用了基本不等式，本題較為綜合5、D【解題分析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，可知命題“?n∈N*,fn∈N故選D.考點：命題的否定6、B【解題分析】

利用錯位相減法、等比數(shù)列的求和公式及復數(shù)的周期性進行計算可得答案.【題目詳解】解：設,可得：，則，，可得：，可得：，故選：B.【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的求和公式，錯位相減法、及復數(shù)的乘除法運算，屬于中檔題.7、C【解題分析】

根據(jù)圖像最低點求得，根據(jù)函數(shù)圖像上兩個特殊點求得的值，由此求得函數(shù)解析式，進而求得的值.【題目詳解】根據(jù)圖像可知，函數(shù)圖像最低點為，故，所以，將點代入解析式得，解得，故，所以，故選C.【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式，并求三角函數(shù)值，屬于中檔題.8、B【解題分析】

由題意利用次獨立試驗中恰好發(fā)生次的概率計算公式以及對立事件發(fā)生的概率即可求得結果．【題目詳解】由題意可得，，求得，∴，故選B．【題目點撥】本題主要考查次獨立試驗中恰好發(fā)生次的概率計算公式的應用，屬于基礎題．9、C【解題分析】

先用作為分段點，找到小于和大于的數(shù).然后利用次方的方法比較大小.【題目詳解】易得，而，故，所以本小題選C.【題目點撥】本小題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式比較大小，考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質，屬于基礎題.10、D【解題分析】

依據(jù)線性相關及相關指數(shù)的有關知識可以推斷，即可得到答案.【題目詳解】依據(jù)線性相關及相關指數(shù)的有關知識可以推斷，選項D是正確的．【題目點撥】本題主要考查了線性相指數(shù)的知識及其應用，其中解答中熟記相關指數(shù)的概念和相關指數(shù)與相關性之間的關系是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.11、B【解題分析】

根據(jù)對稱性知是以點為直角頂點，且，可得，利用雙曲線的定義得出，再利用銳角三角函數(shù)的定義可求出雙曲線的離心率的值.【題目詳解】由雙曲線的對稱性可知，是以點為直角頂點，且，則，由雙曲線的定義可得，在中，，，故選B.【題目點撥】本題考查雙曲線的離心率的求解，要充分研究雙曲線的幾何性質，在遇到焦點時，善于利用雙曲線的定義來求解，考查邏輯推理能力和計算能力，屬于中等題．12、B【解題分析】

試題分析：設沒有發(fā)芽的種子數(shù)為，則，，所以考點：二項分布【方法點睛】一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項分布X～B（n，p）），則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

試題分析：由題意得，，所以直角坐標為故答案為：考點：極坐標與直角坐標的互化.14、【解題分析】

利用隨機變量，關于對稱，結合已知求出結果【題目詳解】隨機變量滿足，圖象關于對稱，則故答案為【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布，由正態(tài)分布的對稱性即可計算出結果15、【解題分析】

利用二項展開式得出第七項x的指數(shù)，利用指數(shù)為零，求出的值．【題目詳解】解：的展開式的第七項為，由于第七項為常數(shù)項，則，解得，故答案為：1．【題目點撥】本題考查二項式定理，考查對公式的理解與應用，屬于基礎題．16、122【解題分析】分析：根據(jù)二項式定理的通項公式，寫出所有的整數(shù)次冪項的系數(shù)，再求和即可。詳解：所以整數(shù)次冪項為為整數(shù)是，所以系數(shù)之和為122點睛：項式定理中的具體某一項時，寫出通項的表達式，使其滿足題目設置的條件。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）函數(shù)單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)，，可解出，再求導判斷即可．（Ⅱ）由（I）可知在單調遞減，在單調遞增.，，畫出草圖即可得出答案．【題目詳解】解：（I）函數(shù)，則且.因為函數(shù)在處的切線方程為，所以則，則.所以，.當時故為單調遞減，當時故為單調遞增.所以函數(shù)單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.（II）因為方程在范圍內有兩個解，所以與在又兩個交點由（I）可知在單調遞減，在單調遞增.所以在有極小值為，且.又因為當趨于正無窮大時，也趨于正無窮大.所以.【題目點撥】本題考查根據(jù)函數(shù)的切線方程求函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．18、(1)的極大值為，無極小值；(2).【解題分析】分析：（1）先根據(jù)導數(shù)幾何意義得解得b,再根據(jù)得a，根據(jù)導函數(shù)零點確定單調區(qū)間，根據(jù)單調區(qū)間確定極值，（2）先化簡不等式為，再分別求左右兩個函數(shù)最值得左邊最小值與右邊最大值同時取到，則不等式轉化為，解得實數(shù)m的取值范圍.詳解：（1）因為，所以因為點處的切線是，所以，且所以，即所以，所以在上遞增，在上遞減，所以的極大值為，無極小值（2）當恒成立時,由（1），即恒成立，設，則，，又因為，所以當時，；當時，.所以在上單調遞減，在上單調遞增，；在上單調遞增，在上單調遞減，.所以均在處取得最值，所以要使恒成立，只需，即解得，又，所以實數(shù)的取值范圍是.點睛：利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.19、（1）；（2）見解析；（3）.【解題分析】

（1）用賦值法可求解，令可求得，令可求得．（2）左邊用階乘展開可證．再由己證式結合裂項求和，可求解（3）法一：先證公式再用公式化簡可求值．法二：將兩邊求導，再賦值x=1和x=-1可求解．【題目詳解】（1）當時，（*）在（*）中，令得在（*）中，令得，所以（2）證明：因為，由二項式定理可得所以因為，所以（3）法一：由（2）知因為，所以+則，所以法二：將兩邊求導，得令得；①令得.②①②得解得，所以.【題目點撥】本題考查二項式定理中的賦值法求值問題，這是解決與二項式定理展開式中系數(shù)求和中的常用方法．20、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解題分析】

（1）方法一：由重心的性質得出，再由，結合相似三角形的性質得出，再利用直線與平面平行的判定定理得出平面；方法二：以為原點，以射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標系，利用重心的坐標公式計算出點的坐標，可計算出，可證明出，再利用直線與平面平行的判定定理得出平面；（2）計算出和，利用向量的坐標運算計算出，即可得出異面直線與所成角的余弦值；（3）由，得出，可求出的坐標，然后可計算出平面（即平面）的一個法向量和平面的一個法向量，由題意得出，結合空間向量數(shù)量積的坐標運算可求出實數(shù)的值.【題目詳解】（1）方法一：如圖，連接，因為是的重心，是的中點，即，，，，所以，，又因為平面，平面，平面；方法二：以為原點，以射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標系，則、、、、、，是的重心，則點的坐標為，，，即，又因為平面，平面，平面；（2），，，所以異面直線與所成角的余弦值；（3），，，，，，，，設平面的法向量為，平面的法向量為，由，得，即，令，可得，，所以，平面的一個法向量為，由，得，得，取，則，，所以，平面的一個法向量為，由于二面角為直二面角，所以，，則，解得，合乎題意.【