湖南省湖南師大附中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

湖南省湖南師大附中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知關(guān)于的方程為（其中），則此方程實(shí)根的個數(shù)為（）A．2 B．2或3 C．3 D．3或42．觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是（）A． B．C． D．3．復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)等于（）A． B． C． D．4．5名同學(xué)在“五一”的4天假期中，隨便選擇一天參加社會實(shí)踐，不同的選法種數(shù)是（）A． B． C． D．5．若A＝{(x，y)|y＝x}，，則A，B關(guān)系為()A．AB B．BAC．A＝B D．AB6．為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關(guān)系，某研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取60名高中生做問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：作文成績優(yōu)秀作文成績一般總計(jì)課外閱讀量較大221032課外閱讀量一般82028總計(jì)303060由以上數(shù)據(jù)，計(jì)算得到的觀測值，根據(jù)臨界值表，以下說法正確的是()P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.050.0100.005k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879A．在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)C．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)D．在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)7．設(shè)函數(shù)，則（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知各項(xiàng)不為的等差數(shù)列，滿足，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A． B． C． D．9．如圖，在長方體中，若，，則異面直線和所成角的余弦值為（）A． B． C． D．10．設(shè)集合，，，則中的元素個數(shù)為（）A． B． C． D．11．某工廠生產(chǎn)的零件外直徑（單位：）服從正態(tài)分布，今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個，測得其外直徑分別為和，則可認(rèn)為（）A．上、下午生產(chǎn)情況均正常 B．上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常C．上、下午生產(chǎn)情況均異常 D．上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常12．函數(shù)的定義域（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.14．已知函數(shù)，則__________．15．如圖，設(shè)是棱長為的正方體的一個頂點(diǎn)，過從此頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)作截面，對正方體的所有頂點(diǎn)都如此操作，所得的各截面與正方體各面共同圍成一個多面體，則關(guān)于此多面體有以下結(jié)論：①有個頂點(diǎn)；②有條棱；③有個面；④表面積為；⑤體積為．其中正確的結(jié)論是____________．（要求填上所有正確結(jié)論的序號）16．已知拋物線上的點(diǎn)，則到準(zhǔn)線的距離為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的左焦點(diǎn)左頂點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知，是橢圓上的兩點(diǎn)，，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點(diǎn).若，試問直線的斜率是否為定值？請說明理由.18．（12分）已知橢圓：在左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為點(diǎn)，若是面積為的等邊三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，是橢圓上的兩點(diǎn)，且，求使的面積最大時直線的方程（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.19．（12分）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過雙曲線的一個焦點(diǎn)，并且這條準(zhǔn)線與雙曲線的兩焦點(diǎn)的連線垂直，拋物線與雙曲線交于點(diǎn)，求拋物線的方程和雙曲線的方程．21．（12分）某學(xué)習(xí)小組在研究性學(xué)習(xí)中,對晝夜溫差大小與綠豆種子一天內(nèi)出芽數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行研究.該小組在4月份記錄了1日至6日每天晝夜最高、最低溫度(如圖1),以及浸泡的100顆綠豆種子當(dāng)天內(nèi)的出芽數(shù)(如圖2).根據(jù)上述數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,可知綠豆種子出芽數(shù)(顆)和溫差()具有線性相關(guān)關(guān)系.(1)求綠豆種子出芽數(shù)(顆)關(guān)于溫差()的回歸方程；(2)假如4月1日至7日的日溫差的平均值為11,估計(jì)4月7日浸泡的10000顆綠豆種子一天內(nèi)的出芽數(shù).附：，22．（10分）已知等比數(shù)列，的公比分別為，．（1）若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若數(shù)列，滿足，求證：數(shù)列不是等比數(shù)列．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：將原問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)的問題，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得最終結(jié)果.詳解：很明顯不是方程的根，據(jù)此可將方程變形為：，原問題等價于考查函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)的個數(shù)，令，則，列表考查函數(shù)的性質(zhì)如下：++-++單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)在有意義的區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性一致，且函數(shù)的極值繪制函數(shù)圖像如圖所示，觀察可得，與函數(shù)恒有3個交點(diǎn)，即題中方程實(shí)根的個數(shù)為3.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點(diǎn)．2、D【解題分析】

在頻率等高條形圖中，與相差很大時，我們認(rèn)為兩個分類變量有關(guān)系，即可得出結(jié)論．【題目詳解】在頻率等高條形圖中，與相差很大時，我們認(rèn)為兩個分類變量有關(guān)系，四個選項(xiàng)中，即等高的條形圖中x1，x2所占比例相差越大，則分類變量x，y關(guān)系越強(qiáng)，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)內(nèi)容，使用頻率等高條形圖，可以粗略的判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，是基礎(chǔ)題3、B【解題分析】

由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則求解.【題目詳解】故選．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

根據(jù)乘法原理得到答案.【題目詳解】5名同學(xué)在“五一”的4天假期中，隨便選擇一天參加社會實(shí)踐，不同的選法種數(shù)是答案為D【題目點(diǎn)撥】本題考查了乘法原理，屬于簡單題.5、B【解題分析】

分別確定集合A,B的元素，然后考查兩個集合的關(guān)系即可.【題目詳解】由已知，故，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合的表示方法，集合之間的關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】分析：根據(jù)臨界值表，確定犯錯誤的概率詳解：因?yàn)楦鶕?jù)臨界值表，9.643>7.879，在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)．選D.點(diǎn)睛：本題考查卡方含義，考查基本求解能力.7、C【解題分析】

根據(jù)的取值計(jì)算的值即可.【題目詳解】解：，故，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)求值問題，考查對數(shù)以及指數(shù)的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得：，變?yōu)椋?，解得（舍去），所以，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，故選B.9、D【解題分析】

連結(jié)，可證明是平行四邊形，則，故的余弦值即為異面直線和所成角的余弦值，利用余弦定理可得結(jié)果.【題目詳解】連結(jié)，由題得，故是平行四邊形，，則的余弦值即為所求，由，可得，，故有，解得，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線的夾角的余弦值和余弦定理，常見的方法是平移直線，讓兩條直線在同一平面中，再求夾角的余弦值.10、C【解題分析】分析：由題意列表計(jì)算所有可能的值，然后結(jié)合集合元素的互異性確定集合M，最后確定其元素的個數(shù)即可.詳解：結(jié)合題意列表計(jì)算M中所有可能的值如下：2341234246836912觀察可得：，據(jù)此可知中的元素個數(shù)為.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查集合的表示方法，集合元素的互異性等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11、D【解題分析】

根據(jù)生產(chǎn)的零件外直徑符合正態(tài)分布，根據(jù)原則，寫出零件大多數(shù)直徑所在的范圍，把所得的范圍，同兩個零件的外直徑進(jìn)行比較，得到結(jié)論.【題目詳解】解：∵零件外直徑，

∴根據(jù)原則，在與之外時為異常.

∵上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個，測得其外直徑分別為和，，

∴下午生產(chǎn)的產(chǎn)品異常，

故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查原則，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

解不等式即得函數(shù)的定義域.【題目詳解】由題得所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的定義域的求法，考查對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的定義域，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)，確定參數(shù)的取值范圍.【題目詳解】若滿足，則.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)集合的包含關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍，屬于簡單題型.14、26【解題分析】

由題意結(jié)合函數(shù)的解析式求解函數(shù)值即可.【題目詳解】由函數(shù)的解析式可得：，，則.【題目點(diǎn)撥】(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．15、①②⑤【解題分析】解：如圖，原來的六個面還在只不過是變成了一個小正方形，再添了八個頂點(diǎn)各對應(yīng)的一個三角形的面，所以總計(jì)6+8=14個面，故③錯；每個正方形4條邊，每個三角形3條邊，4×6+3×8=48，考慮到每條邊對應(yīng)兩個面，所以實(shí)際只有×48=24條棱．②正確；所有的頂點(diǎn)都出現(xiàn)在原來正方體的棱的中點(diǎn)位置，原來的棱的數(shù)目是1，所以現(xiàn)在的頂點(diǎn)的數(shù)目是1．或者從圖片上可以看出每個頂點(diǎn)對應(yīng)4條棱，每條棱很明顯對應(yīng)兩個頂點(diǎn)，所以頂點(diǎn)數(shù)是棱數(shù)的一半即1個．①正確；三角形和四邊形的邊長都是a，所以正方形總面積為6××a2=3a2，三角形總面積為8××a2sin60°=a2，表面積（3+）a2，故④錯；體積為原正方形體積減去8個三棱錐體積，每個三棱錐體積為8×（）3=a2，剩余總體積為a3-a3=a3⑤正確．故答案為①②⑤．16、【解題分析】

利用點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線方程，求出，然后求解準(zhǔn)線方程，即可推出結(jié)果?！绢}目詳解】由拋物線上的點(diǎn)可得，所以拋物線方程：，準(zhǔn)線方程為，則到準(zhǔn)線的距離為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線方程，需熟記拋物線準(zhǔn)線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析.【解題分析】分析：（Ⅰ）根據(jù)條件依次求得，和，從而可得方程；（Ⅱ）當(dāng)∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，PA的直線方程為y-3=k（x-2），PB的直線方程為y-9=-k（x-2），由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出AB的斜率為定值.詳解：（Ⅰ）由題意可得，，由，得所以橢圓的方程為.（Ⅱ）當(dāng)時，，的斜率之和為，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，設(shè)，的方程為.聯(lián)立消得.所以同理所以，.所以.所以的斜率為定值點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,解答此類題目，通常利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，確定函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，此類問題易錯點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯漏百出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.18、解（1）；（2）或.【解題分析】

（1）由是面積為的等邊三角形，結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于、的方程組，求出、，即可得結(jié)果;（2）先證明直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，利用弦長公式可得，化簡得.原點(diǎn)到直線的距離為，的面積，當(dāng)最大時，的面積最大.由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】（1）由是面積為的等邊三角形，得，所以，，從而，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，當(dāng)軸時，，則為橢圓的短軸，故有，，三點(diǎn)共線，不合題意.所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，點(diǎn)，聯(lián)立方程組消去，得，所以有，，則，即，化簡得.因?yàn)椋杂星?原點(diǎn)到直線的距離為，的面積，所以當(dāng)最大時，的面積最大.因?yàn)?，而，所以?dāng)時，取最大值為3，面積的最大值.把代入，得，所以有，即直線的方程為或.【題目點(diǎn)撥】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組，解出從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會更簡單.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（I）將已知條件轉(zhuǎn)化為，由此求得的值，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式.（II）利用求得的表達(dá)式，由此求得的表達(dá)式，利用分組求和法求的值.【題目詳解】（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比即，解得：或，又的各項(xiàng)為正，，故（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列前n項(xiàng)和為.由解得..,.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查分組求和法，所以中檔題.20、,.【解題分析】試題分析：首先根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的焦點(diǎn)，可得p=2c，再利用拋物線與雙曲線同過，求出c、p的值，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的性質(zhì)即可求解．試題解析：依題意，設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，∵點(diǎn)P在拋物線上，∴6＝2p×.∴p＝2，∴所求拋物線的方程為y2＝4x.∵雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1.又點(diǎn)P在雙曲線上，∴，解方程組,得或(舍去)．∴所求雙曲線的方程為4x2－＝1.21、(1)(2)5125顆.【解題分析】

（1）根據(jù)題中信息，作出溫差與出芽數(shù)（顆）之