6.2.16.2.2向量的減法運(yùn)算向量的加法運(yùn)算

&向量的減法運(yùn)算向量的加法運(yùn)算【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：向量加法法則考點(diǎn)二：向量加法的運(yùn)算律考點(diǎn)三：向量加法法則的幾何應(yīng)用考點(diǎn)四：相反向量考點(diǎn)五：向量減法法則考點(diǎn)六：向量減法的運(yùn)算律考點(diǎn)七：向量減法法則的幾何應(yīng)用考點(diǎn)八：向量加減法的綜合問題【考點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一向量加法的定義及其運(yùn)算法則1.向量加法的定義：求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.2.向量求和的法則向量求和的法則三角形法則已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.對于零向量與任意向量a，規(guī)定a＋0＝0＋a＝a平行四邊形法則以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個已知向量a，b為鄰邊作?OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對角線eq\o(OC,\s\up6(→))就是a與b的和.把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則知識點(diǎn)二向量加法的運(yùn)算律交換律a＋b＝b＋a結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)技巧：向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系三角形法則(1)首尾相接(2)適用于任何向量求和三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半知識點(diǎn)三：相反向量1.定義：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.2.性質(zhì)(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)對于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.(3)若a，b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.知識點(diǎn)四：向量的減法1.定義：向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此減去一個向量，相當(dāng)于加上這個向量的相反向量，求兩個向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法.2.幾何意義：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則向量a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))，如圖所示.3.文字?jǐn)⑹觯喝绻褍蓚€向量的起點(diǎn)放在一起，那么這兩個向量的差是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.【題型歸納】題型一：向量加法法則1．（2021下·高一課時練習(xí)）化簡下列各式：①；②；③；④．其中結(jié)果為的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算法則計算，逐一判斷①②③④的正確性，即可得正確答案.【詳解】對于①：，對于②：，對于③：，對于④：，所以結(jié)果為的個數(shù)是，故選：B2．（2021·高一課時練習(xí)）向量化簡后等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量加法運(yùn)算法則直接計算可得結(jié)果.【詳解】故選：C.3．（2021下·云南保山·高一統(tǒng)考期中）如圖，在中，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的加法運(yùn)算求解.【詳解】因為為的中點(diǎn)，所以.故選：A題型二：向量加法的運(yùn)算律4．（2020下·遼寧阜新·高一）下列向量的運(yùn)算結(jié)果為零向量的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)向量加法運(yùn)算規(guī)律，逐項檢驗，即可求得答案.【詳解】對A，；對B，；對C，；對D，.綜上所述，只有C符合題意故選：C.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握向量加法運(yùn)算規(guī)律，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．（2021·高一課時練習(xí)）已知下列各式：①；②；③；④.其中結(jié)果為的是.(填序號)【答案】①④/④①【分析】利用向量加法的運(yùn)算法則化簡各項向量的線性表達(dá)式，即可確定結(jié)果是否為.【詳解】①;②;③;④.故答案為：①④.6．（2021下·高一課時練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，O是和的交點(diǎn).（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】【分析】根據(jù)向量加法法則計算．【詳解】（1）由平行四邊形法則，；（2）由向量加法的三角形法則，；（3）由向量加法法則得，；（4）由向量加法法則得，．故答案為：；；；．題型三：向量加法法則的幾何應(yīng)用7．（2023下·山西陽泉·高一統(tǒng)考期末）菱形中，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)菱形的幾何性質(zhì)結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】因為菱形中，，若，所以為等邊三角形，且，因為，所以.故選：B.8．（2022·高一課時練習(xí)）已知是正三角形，則下列等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則及是正三角形，逐一判斷即可.【詳解】解：對于A，因為，,所以，故正確；對于B，因為,(為中點(diǎn))，故錯誤；對于C，因為(為中點(diǎn)),(為中點(diǎn)),所以，故正確；對于D，因為，，所以，故正確.故選：B.9．（2022下·廣東廣州·高一廣州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)P在內(nèi)部，滿足，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別取、的中點(diǎn)、，連接，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算確定點(diǎn)的位置，由此可求得的值.【詳解】分別取、的中點(diǎn)、，連接，因為，，所以，，同理可得，因為，所以，，所以，，所以，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，故，，，因此，.故選：C.題型四：相反向量10．（2021下·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）設(shè)點(diǎn)分別是的三邊的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算和中點(diǎn)的向量表示進(jìn)行計算，即得結(jié)果.【詳解】由已知可得，故選：A.11．（2020·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，且，那么A． B． C． D．【答案】A【分析】所給等式可整理為，再由為的中點(diǎn)得，推出，得解.【詳解】因為，所以，因為為的中點(diǎn)，所以，則.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.12．（2010下·遼寧本溪·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，已知在中，是邊上的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意得，再由，即可得到答案.【詳解】由于是邊上的中點(diǎn)，則..故選：B.題型五：向量減法法則13．（2023下·山東泰安·高一統(tǒng)考期中）下列向量的運(yùn)算結(jié)果不正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的加減法法則逐個分析判斷即可.【詳解】對于A，，所以A正確，對于B，，所以B錯誤，對于C，，所以C正確，對于D，，所以D正確，故選：B14．（2023下·湖南長沙·高一湖南師大附中?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，對角線與交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡，即可求解.【詳解】因為為的中點(diǎn)，可得，所以.故選：C.15．（2023·高一課時練習(xí)）下面四個式子不能化簡成的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量加減法的運(yùn)算規(guī)則求解.【詳解】對于A，，點(diǎn)D和A的位置不詳，不可繼續(xù)計算，錯誤；對于B，，正確；對于C，，正確；對于D，，正確；故選：A.題型六：向量減法的運(yùn)算律16．（2023下·天津和平·高一天津市第五十五中學(xué)校考階段練習(xí)）下列各式中不能化簡為的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計算可得.【詳解】對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：，故D正確；故選：B17．（2021下·云南昆明·高一云南師大附中校考期中）已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則將變形即可求出．【詳解】因為，所以，，得．故選：C．18．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，、、、是平面上的任意四點(diǎn)，下列式子中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的加法減法運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】故選：B題型七：向量減法法則的幾何應(yīng)用19．（2022下·湖南長沙·高一長郡中學(xué)?？计谥校┤鐖D為正八邊形，其中為正八邊形的中心，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正八邊形的幾何性質(zhì)可知，結(jié)合向量的減法運(yùn)算，可得答案.【詳解】因為，所以，故選:A.20．（2021·高一課時練習(xí)）如圖，向量，，，則向量可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的加減法法則結(jié)合圖形即可得到答案.【詳解】如圖，.故選：D.21．（2021下·北京·高一清華附中?？计谥校┮阎?，A，，，在同一平面內(nèi)，，且，則的最大值為（

）．A． B． C． D．4【答案】B【分析】由向量加減運(yùn)算幾何意義及向量的模的幾何意義分析即可得出答案．【詳解】解：，，又，．，當(dāng)、同向，且與反向時，取得最大值，故選：B．題型八：向量加減法的綜合問題22．（2023下·新疆·高一?？计谥校┗喯铝懈飨蛄康谋磉_(dá)式：(1)；(2)；(3)；【答案】(1).(2).(3)【分析】根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算和減法運(yùn)算法則可求出結(jié)果.【詳解】（1）.（2）.（3）.23．（2023下·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，，，，，用，表示下列各式．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算求解即可.（2）根據(jù)平面向量的加法、減法運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）由題知：．（2）

．24．（2023下·河南南陽·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形中，，分別為邊和的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)．(1)若，則四邊形是什么特殊的平行四邊形？說明理由．(2)化簡，并在圖中作出表示該化簡結(jié)果的向量．【答案】(1)菱形，理由見解析(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)平面向量加法的運(yùn)算法則，結(jié)合菱形的定義進(jìn)行求解判斷即可；（2）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合平面向量運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由條件知，即，又四邊形是平行四邊形，故四邊形是菱形．（2）由平行四邊形及三角形中位線的性質(zhì)可知．所以．作出向量如圖所示．【雙基達(dá)標(biāo)】25．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算化簡，求解即可．【詳解】由題意可得：.故選：C．26．（2023下·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）在中，，則是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根據(jù)向量加減法法則及模的定義判斷.【詳解】因為，，，，所以，所以是等邊三角形．故選：A．27．（2022下·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期末）如圖所示，在中，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解.【詳解】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得：.故選：A.28．（2023下·安徽六安·高一六安二中?？计谥校┫铝姓f法錯誤的是（

）A．若ABCD為平行四邊形，則 B．若，，則C．互為相反向量的兩個向量模相等 D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念和線性運(yùn)算逐項分析判斷.【詳解】對于A：若ABCD為平行四邊形，則，故A正確；對于B：若，則與任何向量均平行，可得，，但不一定平行，故B錯誤；對于C：相反向量：模長相等，方向相反的向量互為相反向量，所以互為相反向量的兩個向量模相等，故C正確；對于D：因為，故D正確；故選：B.29．（2023·高一課前預(yù)習(xí)）化簡下列各式：(1)(＋)＋()；(2)；(3)；(4)；(5)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及運(yùn)算律計算可得.【詳解】（1）法一：原式；法二：原式；（2）法一：原式法二：原式（3）方法一：；方法二：；（4）（5）30．（2021下·高一課時練習(xí)）如圖，已知，，，，，試用，，，，表示以下向量：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】由向量減法法則依次計算即可得出各小問的結(jié)果.【詳解】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.【高分突破】一、單選題31．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)?？计谥校┫铝惺阶又?，不能化簡為的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量加減法法則化簡各式，即可得答案.【詳解】A：；B：；C：；D：；故選：B32．（2023下·四川達(dá)州·高一達(dá)州中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)是平行四邊形的對角線的交點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形對角線平分及向量加減法計算可得.【詳解】是平行四邊形的對角線的交點(diǎn)，則,所以.故選：A.33．（2023下·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在中，若，則的形狀為（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)向量的減法法則可得，由三邊相等關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】解：因為，，所以，所以為等邊三角形．故選：D34．（2023下·北京順義·高一牛欄山一中?？茧A段練習(xí)）下列說法不正確的是（

）A．若向量方向相反，則與為相反向量B．C．在平行四邊形中，一定有D．若兩個非零向量滿足，則與一定是共線向量【答案】A【分析】根據(jù)相反向量的定義判斷A，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則判斷B，根據(jù)向量相等的定義判斷C，根據(jù)共線向量的定義判斷D.【詳解】若，為非零向量，則向量方向相反，但與不是相反向量，A錯誤；，B正確；因為四邊形為平行四邊形，所以向量方向相同，且，所以，C正確；因為，故，又向量為非零向量，所以與方向相反，所以與一定是共線向量，D正確；故選：A.35．（2023·高一課時練習(xí)）已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形的性質(zhì)分析求解.【詳解】在中，設(shè)，則，因為，即，所以為等邊三角形，以為鄰邊作平行四邊形，設(shè)交于點(diǎn)，可得，則，因為，取的起點(diǎn)為，可知的終點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，如圖，當(dāng)點(diǎn)為的延長線與圓的交點(diǎn)時，的最大值為；當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時，的最小值為；所以.故選：A.二、多選題36．（2023下·湖南懷化·高一?？计谥校┫铝懈魇街薪Y(jié)果一定為零向量的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用向量的加法運(yùn)算，結(jié)合零向量的意義逐項計算判斷作答.【詳解】對于A，，A是；對于B，，不一定是零向量，B不是；對于C，，C是；對于D，，D是.故選：ACD37．（2023上·遼寧·高一沈陽二中校聯(lián)考期末）《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生二儀，二儀生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會現(xiàn)象．如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形如圖2中的正八邊形，其中O為正八邊形的中心，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．和不能構(gòu)成一組基底【答案】BCD【分析】根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)性質(zhì)及向量的共線、線性運(yùn)算逐項判斷即可得解.【詳解】因為正八邊形中，，所以，但方向不同，所以不正確，故A錯誤；由，所以正確，故B正確；由正八邊形知，，且,根據(jù)向量加法法則可知：為以為鄰邊的正方形中以為始點(diǎn)的一條對角線所對應(yīng)的向量，所以，又，與以為始點(diǎn)的一條對角線所對應(yīng)的向量共線，所以，故C正確；在正八邊形中，，和平行，所以和共線，故和不能構(gòu)成一組基底，故D正確.故選：BCD38．（2023下·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，分別是邊上的兩個三等分點(diǎn)，則下列選項正確的有（

）.A． B．C． D．【答案】AC【分析】結(jié)合圖形，用向量共線的知識和三等分點(diǎn)的性質(zhì)即可判斷選項A；用向量的加法法則和向量的性質(zhì)即可判斷選項B和選項C；用向量的加法法則和減法法則即可判斷選項D.【詳解】對選項A：，正確；對選項B：，錯誤；對選項C：，正確；對選項D：，錯誤.故選：AC39．（2023下·河北邢臺·高一沙河市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）以下四個選項中，正確的有（

）A．若向量，則B．若非零向量滿足，則表示的有向線段可以構(gòu)成三角形C．若四邊形滿足，且，則四邊形為矩形D．為四邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則四邊形為平行四邊形【答案】CD【分析】當(dāng)時，無法確定的方向，即可判斷A；當(dāng)共線時，即可判斷B；由，可得且，再根據(jù)結(jié)合平面向量的減法的三角形法則即可判斷C；根據(jù)，可得，即可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時，無法確定的方向，故不能判斷是否平行，故A錯誤；對于B，若非零向量滿足，則，當(dāng)共線時，則表示的有向線段不可以構(gòu)成三角形，故B錯誤；對于C，若四邊形滿足，則且，則四邊形為平行四邊形，因為，即，所以平行四邊形為矩形，故C正確；對于D，因為，所以，即，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故D正確.故選：CD.三、填空題40．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）化簡：（1）；

（2）；（3）；

（4）．【答案】【分析】根據(jù)向量加減法的幾何意義進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）.故答案為：