新高考熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)透析-五 統(tǒng)計(jì)與概率

統(tǒng)計(jì)與概率

微專題09統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

高考對(duì)本講內(nèi)容的考查往往以實(shí)際問題為背景,考查樣本數(shù)字特征的計(jì)算、各種統(tǒng)計(jì)圖表、

線性回歸方程的求解及應(yīng)用、獨(dú)立性檢驗(yàn)問題;有時(shí)也會(huì)在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題，如概率與統(tǒng)計(jì)的結(jié)

合等.從考查形式看，大題、小題均有出現(xiàn)，近兩年大題出現(xiàn)比較頻繁，大都屬于中低難度題目.

........................核心要點(diǎn)整合..........................

一、頻率分布直方圖

(1)頻率分布直方圖中橫坐標(biāo)表示領(lǐng)巨，縱坐標(biāo)表示竺二頻率當(dāng)距也.

組距組距

(2)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1.

(3)利用頻率分布直方圖可估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù).

二、頻率分布直方圖中的常見結(jié)論

(1)眾數(shù)的估計(jì)值為最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(2)中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和相等.

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心"，其估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面

積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

三、統(tǒng)計(jì)中的四個(gè)數(shù)據(jù)特征

Q)眾數(shù):在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù).

(2)中位數(shù):在樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)

為偶數(shù)，就取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).

(3)平均數(shù):樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即7+X2+...+x3.

(4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差：

，=；[(質(zhì)或)2+(及4尸++(先R)2],

+(*2-蘇+…+OnA)?].

四、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)

八AA

(1)回歸直線丫=bx+a經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心點(diǎn)&M，若x取某一個(gè)值代入回歸直線方程

AAA

y=bx+a中,可求出y的估計(jì)值.

⑵獨(dú)立性檢驗(yàn)

對(duì)于取值分別是｛所聞和?、榈姆诸愖兞縓和匕其樣本頻數(shù)列聯(lián)表是

yiy2總計(jì)

X1aba+b

X2Cdc+d

總計(jì)a+cb+dn

2

貝!n(ad-bc)（其中+為樣本容量）.

|K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

........................重點(diǎn)逐個(gè)突破................

對(duì)應(yīng)學(xué)生分冊(cè)第33頁(yè)

?重點(diǎn)1用樣本估計(jì)總體

（1）（2021年全國(guó)甲卷）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽

樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）.

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

（2）（2021年新高考全國(guó)/卷）（多選題）有一組樣本數(shù)據(jù)網(wǎng)檢…,A,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)

據(jù)力,以…%其中yi=Xi+《i=L2，…,〃）,c為非零常數(shù)，則（）.

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

?（1）C（2）CD

?（1）因?yàn)轭l率分布直方圖中的組距為L(zhǎng)所以各組的直方圖的高度等于頻率，樣本頻率

分布直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值.

該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計(jì)值為0.02+0.04=0.064%,故A正

確;該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)值為0.04+0.02x3=0.10=10%,故B

正確;該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比率估計(jì)值為

0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,故D正確;該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計(jì)值為

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04

+12x0.02+13x0.02+14*0.02=7.68（萬元），超過6.5萬元，故C不正確.

綜上，選C.

nnn

_E芍_S(陽+c)￡&+nc_1n

(2)x3-,y#------#------=X+CA不正確.y中二x中+CB不正確其二一￡(巧?

n7inn1

_in一

x)2局W￡[(H+CHXT]2=SMC正確第一組數(shù)據(jù)的極差為Xmax-&in,第二組數(shù)據(jù)的極差為

ni=l

(%nax+0"(Amin+G=Amax-Amin^正確.

變式為了了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將200戶農(nóng)戶

家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖:

則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）.

A.a=0.10

B.估計(jì)這200戶農(nóng)戶家庭年收入的中位數(shù)為7.5萬元

C.估計(jì)這200戶農(nóng)戶家庭年收入的眾數(shù)為7.5萬元

D.估計(jì)有40戶農(nóng)戶家庭年收入在8.5萬元至10.5萬元之間

?C

?由直方圖的面積之和為0.02x4+0.04x2+3a+0.14+0.2x2=1,解得a=0.10,所以

A正確；

前五個(gè)矩形的面積之和為0.02+0.04+0.1+0.14+0.2=0.5,所以估計(jì)這200戶農(nóng)戶家庭年

收入的中位數(shù)為7.5萬元，所以B正確；

由圖可估計(jì)這200戶農(nóng)戶家庭年收入的眾數(shù)為7萬元和8萬元，所以C錯(cuò)誤；

因?yàn)檗r(nóng)戶家庭年收入在8.5萬元至10.5萬元之間的頻率為0.1+0.1=0.2,所以估計(jì)收入在

8.5萬元至10.5萬元之間的農(nóng)戶數(shù)為0.2x200=40,所以D正確.

（1）平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)數(shù)據(jù)的一種簡(jiǎn)明描述，它們所反映的情況有著重

要的實(shí)際意義.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動(dòng)大

小.（2）涉及頻率分布直方圖，要抓住頻率分布直方圖各小長(zhǎng)方形的面積之和為1,這是求解的關(guān)鍵.

本題易混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當(dāng)成頻率，導(dǎo)

致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯(cuò).

I飄飄唇

（2021年遼寧省二模）隨著生活水平的不斷提高，我國(guó)居民的平均身高也在增長(zhǎng).某市為了調(diào)查

本市小學(xué)一年級(jí)男生身高情況,從某小學(xué)一年級(jí)隨機(jī)抽取了100名同學(xué)進(jìn)行身高測(cè)量彳導(dǎo)到如下

頻率分布直方圖，其中右側(cè)三個(gè)小長(zhǎng)方形面積成等差數(shù)列.則下列說法錯(cuò)誤的是（）.

頻率/組距

(cm)

A.這100名同學(xué)的身高在［130,140］范圍內(nèi)的頻率為0.18

B.這100名同學(xué)的身高的眾數(shù)的估計(jì)值為115cm

C.這100名同學(xué)的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為125cm

D.這100名同學(xué)的身高的平均數(shù)的估計(jì)值為121.8cm

?C

?■.前三組的頻率分別為0.04,0.08,0.34,.：后三組的頻率之和為1-

（0.04+0.08+0,34）=0.54.

??右側(cè)三個(gè)小長(zhǎng)方形面積成等差數(shù)列，設(shè)［130,140）的頻率為a,

」3a=0.54,可得a-0.18,而［140,150］的頻率為0.06,則口20,130）的頻率為0.3,故A正確;由

直方圖知瀕率最高的區(qū)間為［110,120）,所以這100名同學(xué)的身高的眾數(shù)的估計(jì)值為115cm,故

B正確面圖知中位數(shù)6在區(qū)間［120,130）內(nèi)，所以0.46+（6-120）x0.03得。=120￡*121.3

cm,故C錯(cuò)誤;由題意知

x=95x0.04+105x0.08+115x0.34+125xQ.3+135x0.18+145x0.06=121.8cm,故D正確.

（2021年新高考全國(guó)〃卷）（多選題）下列統(tǒng)計(jì)量中可用于度量樣本的,及,...,先離散程度的有

（）.

A.&檢…，法的標(biāo)準(zhǔn)差

B.M,及,的中位數(shù)

C.XL及,…，加的極差

%的平均數(shù)

::?AC

?中位數(shù)、平均數(shù)度量的是樣本的集中趨勢(shì)，而極差和標(biāo)準(zhǔn)差度量的是樣本的離散程

度.

?重點(diǎn)2回歸分析

（2021年河南省四模）為弘揚(yáng)勞動(dòng)精神,幫助學(xué)生樹立"勞動(dòng)最美,勞動(dòng)最光榮”

的觀念，某校持續(xù)開展"家庭勞動(dòng)大比拼”活動(dòng).某班統(tǒng)計(jì)了本班同學(xué)1~7月份的人均月勞動(dòng)時(shí)

間（單位:小時(shí)），并建立了人均月勞動(dòng)時(shí)間y關(guān)于月份x的線性回歸方程丫=bx+4j與x的原始數(shù)

據(jù)如表所示：

7

由于某些原因?qū)е虏糠謹(jǐn)?shù)據(jù)丟失,但已知￡x%=452.

i=l

⑴求6,“的值；

（2）求該班6月份人均月勞動(dòng)時(shí)間數(shù)據(jù)的殘差值（殘差即樣本數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)值之差）.

八八zAZx；y-nxyKA_

參考公式:在線性回歸方程y=bx+a中,b———,a=y-bx.

2（3）2

?Q)由表知1=—(1+2+3+4+5+6+7)=4,

70+l+n

y=yx(8+9+6+12+n+19+22)=^i

7_

所以E所以2=(-3)2H-2)2H-1)2+02娼2+22B=28,

i=l

7

￡即「7xy_452.7x4x70+:+n

①

所以b=^---------二28，即/T7+"=43-7b.

i=l

因?yàn)榛貧w直線y=bx+4恒過樣本點(diǎn)的中心點(diǎn)&方）,

所以勺羅=4b+4,即6w=28b42,(2)

A

由②②J導(dǎo)b考,ZT7+"=26.③

7

因?yàn)閤x%=8+18+3/77+48+5〃+114+154=452,

i=l

所以3/77+5/7=110,④

由③④｛導(dǎo)。=10,"=16.

⑵由Q)知，線性回歸方程為y岑行4,

所以當(dāng)*=6時(shí),預(yù)測(cè)值y=yx6+42券，此時(shí)殘差為19手

(1)求回歸直線方程的關(guān)鍵是正確理解b,a的公式和準(zhǔn)確地計(jì)算.在分析實(shí)際問題中兩個(gè)變量

的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相

關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值.

(2)相關(guān)系數(shù):當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān);當(dāng)r<0時(shí),表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).當(dāng)由微大時(shí)，兩

個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).

為促進(jìn)新能源汽車的推廣,某市逐漸加大充電基礎(chǔ)設(shè)施的建設(shè)，該市統(tǒng)計(jì)了近五年新能源汽車

充電站的數(shù)量(單位:個(gè)〉得到如下表格：

年份編號(hào)X12345

年份20162017201820192020

新能源汽車充

37104147196226

電站數(shù)量〃個(gè)

Q)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；

⑵求P關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)2024年該市新能源汽車充電站的數(shù)量.

5Sfl_,_

參考數(shù)據(jù):X%=710NX%=2600,￡(yry)2?149.89,V10?3.16.

i=li=l1i=l

^(xrx)(yry)

參考公式:相關(guān)系數(shù)rn，回歸直線中斜率、截距的最小二乘估計(jì)

n_9n_2

S(芍?x)2￡(yry)

i=li=l

AA

X(^-x)(yt-y)

1

公式分別為b*Ti----4一,a=y-bx.

E(3)2

?Q)由已知數(shù)據(jù)得i="x(l+2+3+4+5)=3》=黃710=142,

5_

￡(a-x)2=(-2)2+(-1)2+0+1+22=10,

i=l

5__5一

￡(為-x)(j6?y)=￡A7p/-5xy=2600-5*3*142=470,

i=li=l

470

所以2

3.16x149.89*0.99.

因?yàn)閥與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,接近1,說明y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用

線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.

A5__

￡8-x)("-y)47Q

(2)由⑴得b三一二考二47,

1=1

人_A_人

a與-bt=14247x3=L故所求線性回歸方程為y=47x+L

將2024年對(duì)應(yīng)的年份編號(hào)x=9代人回歸方程得y=47*9+1=424,

故預(yù)測(cè)2024年該市新能源汽車充電站的數(shù)量為424個(gè).

◎重點(diǎn)3獨(dú)立性檢驗(yàn)

(2020年山東卷)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù),治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量

進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位口g/m》得下表：

so(50,150(150,475

2[0,50]

PM2.5]]

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

⑴估計(jì)事件"該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150”的概率.

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

SO

2[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃

度有關(guān)？

附/=_____n(ad-bc)2______

HIJ(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

0.0500.0100.001

k03.8416.63510.828

由表格可知，該市天中，空氣中的濃度不超過且濃度不超過

?Q)100PM2.575,SO2

150的天數(shù)有32+6+18+8=64天，

所以該市一天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150的概率為

喘464.

(2)由所給數(shù)據(jù)，可得2x2列聯(lián)表為

SO

2[0,150](150,475]合計(jì)

PM2.5

[0,75]641680

(75,115]101020

合計(jì)7426100

(3)根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，

^=100x(64x10-16x10)

=3600~7484>6,635,

80x20x74x264811

根據(jù)臨界值表可知，有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān).

獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2x2列聯(lián)表;(2)根據(jù)公式計(jì)算R的觀測(cè)值;⑶

查表I:匕較總的觀測(cè)值與臨界值的大小關(guān)系,做統(tǒng)計(jì)判斷.

注意:依的觀測(cè)值％越大,對(duì)應(yīng)假設(shè)事件外成立(兩類變量相互獨(dú)立)的概率越小，從不成立的

概率越大.

ISK'l

(2021年山西省三模)隨著我國(guó)老齡化進(jìn)程不斷加快，養(yǎng)老將會(huì)是未來每個(gè)人都要面對(duì)的問

題，而如何養(yǎng)老則是我國(guó)逐漸進(jìn)入老齡化社會(huì)后，整個(gè)社會(huì)需要回答的問題.為了調(diào)杳某地區(qū)老年

人是否愿意參加個(gè)性化社區(qū)醫(yī)養(yǎng)結(jié)合型養(yǎng)老機(jī)構(gòu)，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老

人，結(jié)果如下：

性別

男女

是否愿意參加

不愿意4030

愿意160270

(1)分別估計(jì)該地區(qū)的男性老年人和女性老年人中，愿意參加個(gè)性化社區(qū)醫(yī)養(yǎng)結(jié)合型養(yǎng)老

機(jī)構(gòu)的比例.

(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)能有多大的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否愿意參加個(gè)性化社區(qū)醫(yī)養(yǎng)結(jié)合型

養(yǎng)老機(jī)構(gòu)與性別有關(guān)?請(qǐng)說明理由.

2

參老公才?依-n(ad-bc)_______

/專Zx工UN-(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d).

0.0500.0100.0050.001

ko3.8416.6357.87910.828

AQ)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，男性老年人中愿意參加個(gè)性化社區(qū)醫(yī)養(yǎng)結(jié)合型養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的

人數(shù)為160,調(diào)查的男性老年人總?cè)藬?shù)為200,故調(diào)查的男性老年人中愿意參加個(gè)性化社區(qū)醫(yī)養(yǎng)結(jié)

合型養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的比例為擺芝.

由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，女性老年人中愿意參加個(gè)性化社區(qū)醫(yī)養(yǎng)結(jié)合型養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的人數(shù)為270,調(diào)查

的女性老年人總?cè)藬?shù)為300,故調(diào)查的女性老年人中愿意參加個(gè)性化社區(qū)醫(yī)養(yǎng)結(jié)合型養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的

比例為舒磊

所以估計(jì)該地區(qū)的男性老年人和女性老年人中，愿意參加個(gè)性化社區(qū)醫(yī)養(yǎng)結(jié)合型養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的

比例分別為觸.

1/2._500X(4°X270-3°X16°)_3000?°,7Q7Q

⑵《-70x430x200x300-耐血間》7.879,

所以有99.5%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否愿意參加個(gè)性化社區(qū)醫(yī)養(yǎng)結(jié)合型養(yǎng)老機(jī)構(gòu)與

性別有關(guān).

過關(guān)?題組訓(xùn)練

對(duì)應(yīng)專題訓(xùn)練卷第17頁(yè)

基礎(chǔ)過關(guān)

我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“米谷粒分”問題.糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來米1534石,

驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）.

A.134石B.169石C.338石D.340石

?B

?設(shè)這批米內(nèi)夾谷約為萬石，根據(jù)題意可得照=亳廨得*二竺等。169.

民航部門統(tǒng)計(jì)的2021年春運(yùn)期間12個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格以及相比去年同期變

化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表如圖所示，根據(jù)圖表，下面敘述不正確的是（）.

A.深圳的變化幅度最小，北京的平均價(jià)格最高

B.天津和重慶在春運(yùn)期間的往返機(jī)票價(jià)格同去年相比有所上升

C.平均價(jià)格從高到低居于前三位的城市分別為北京、深圳、廣州

D.平均價(jià)格的漲幅從高到低居于前三位的城市分別為天津、西安、廈門

?D

?從折線圖看，深圳的漲幅最接近0%,從條形圖看,北京的平均價(jià)格最高，故A正確；

從折線圖看，天津和重慶的漲幅都在0%以上渚B是正值，故B正確；

從條形圖看，平均價(jià)格排在前三位的分別是北京、深圳、廣州，故C正確；

從折線圖看，漲幅排在前三位的分別是天津、西安、南京，廈門的漲幅接近-7.50%,故D錯(cuò)

誤.

故選D.

某網(wǎng)絡(luò)銷售平臺(tái)，實(shí)施對(duì)口扶貧,銷售某縣扶貧農(nóng)產(chǎn)品.根據(jù)2020年全年該縣扶貧農(nóng)產(chǎn)品的銷

售額（單位:萬元）和扶貧農(nóng)產(chǎn)品銷售額占總銷售額的百分比，繪制了如圖所示的雙層餅圖.根據(jù)雙層

餅圖（季度和月份后面標(biāo)注的是銷售額或銷售額占總銷售額的百分比），下列說法正確的是（）.

11月：10%

3月：6%

4月：6%

2季度

260

6月：11%

7月：8%

A.2020年的總銷售額為1000萬元

B.2月份的銷售額為8萬元

C.4季度的銷售額為260萬元

D.12個(gè)月的銷售額的中位數(shù)為90萬元

?A

?對(duì)于A,根據(jù)雙層餅圖得3季度的銷售額為300萬元,3季度的銷售額占總銷售額的

百分比為30%,所以2020年的總銷售額為費(fèi);=1000（萬元），故A正確；

對(duì)于B,2月份的銷售額為1000x（盤xl00%-5%-6%）=50（萬元），故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,4季度的銷售額為1000x28%=280（萬元），故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,根據(jù)雙層餅圖得12個(gè)月的銷售額（單位:萬元）按從小到大的順序排列為

50,50,60,60,60,80,90,100,100,110,120,120,12個(gè)月的銷售額的中位數(shù)為

導(dǎo)（80+90）=85（萬元），故D錯(cuò)誤.

故選A.

侈選題）已知變量x和y的取值如下表所示，且2.5<6.5，則由該數(shù)據(jù)知其線性回歸方程

可能是（）.

X2345

y6.5mn2.5

A.y=-1.4x+9.4B.y=-2x+14.2

AA

C.y=1.5x+8.8D.y=-1.6x+10.6

?AD

?.2.5.變量y與變量x成負(fù)相關(guān)排除C.

q=2+3:+5=35方=6S+m：n+2.5日3555)榛=3.5分別代入A,B,D可得A,D滿足

±6(355.5).

已知某地區(qū)人口總數(shù)為125萬，具體分布如圖所示.近期，衛(wèi)健委擬針對(duì)18到60歲的人群開展

新冠疫苗接種工作，抽樣發(fā)現(xiàn)，他們中有98%的人符合接種的健康要求.截至3月底，已有30%的

符合健康要求的人接種了第一劑,據(jù)要求，這部分人需要在4月份接種第二劑，剩余70%的符合健

康要求的人需在4月份接種第一劑,5月份接種第二劑.則該地區(qū)4月份需要萬劑疫

苗.

18歲以下II

18-60歲II

60歲以上II

?85.75

?由圖可知,該地區(qū)18至!!60歲的人數(shù)為125x0.7=87.5萬，

其中符合接種健康要求的人數(shù)為87.5x0.98=85.75萬，

所以該地區(qū)4月份需要85.75萬劑疫苗.

在山東省實(shí)行的新高考中，某校在一次高三模擬考試中使用賦分制對(duì)學(xué)生的物理成績(jī)(滿分

100分)進(jìn)行賦分，按照分?jǐn)?shù)從高到低，相應(yīng)等級(jí)和所占人數(shù)比例分別為：/等級(jí)(7%),8等級(jí)

(33%)(等級(jí)(40%),。等級(jí)(15%),F等級(jí)(5%).現(xiàn)從全年級(jí)隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的物理原始成

績(jī)進(jìn)行分析，其頻率分布直方圖如圖所示,則圖中a值為；采用分層抽樣的方法從原始成

績(jī)?cè)冢?0,50)和［50,60)中共抽取10人廁需從［50,60沖抽取人.

?0.0306

?由(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)xlO=1解得a-0.030.原始成績(jī)?cè)?/p>

［40,50)和［50,60)中的學(xué)生人數(shù)的比例為2;3,所以應(yīng)在［50,60)中抽取的人數(shù)為10人=6.

2021年2月，山東某高中為了預(yù)防疫情提前進(jìn)入寒假，采取了"停課不停學(xué)"的線上授課措施.

為了解學(xué)生線上學(xué)習(xí)情況，該校進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)摸底測(cè)試,若評(píng)分不低于120分視為“優(yōu)秀"，不

低于90分視為"良好"，低于90分視為“需要加油"，隨機(jī)抽取了該校的120名學(xué)生的成績(jī)，統(tǒng)

計(jì)圖表如下：

等級(jí)優(yōu)秀良好需要加油

得分[120,150][90,120)[0,90)

頻數(shù)127236

⑴若測(cè)試分?jǐn)?shù)90分及以上認(rèn)定為優(yōu)良抽取的120名學(xué)生中，分?jǐn)?shù)段在

[120,150U90,120),[0,90)內(nèi)女生的人數(shù)分別為4,40,20,完成下面的2*2歹！]聯(lián)表,并判斷是否有

95%以上的把握認(rèn)為性別與數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)良有關(guān).

是否優(yōu)

良優(yōu)良非優(yōu)良總計(jì)

性別

男生

女生

總計(jì)

(2)如果在“優(yōu)秀”的同學(xué)中抽取3人，在"良好"的同學(xué)中抽取2人,再?gòu)倪@5人中任選3人組

成一個(gè)線上優(yōu)秀學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì),求組成的團(tuán)隊(duì)中恰有2名同學(xué)的等級(jí)為優(yōu)秀的概率.

2

附表及公式//麗舞捻而浮中n=a+b+c+d.

0.150.100.050.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

?(1)2*2列聯(lián)表如下:

是否優(yōu)

良優(yōu)良非優(yōu)良總計(jì)

性別

男生401656

女生442064

總計(jì)8436120

則依」20x(40x20-44x16)2

人JK~-84x36x56x64—~0.1,

故沒有95%以上的把握認(rèn)為性別與數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)良有關(guān).

⑵在"優(yōu)秀"的同學(xué)中抽取3人，在"良好”的同學(xué)中抽取2人,再?gòu)倪@5人中任選3人組

成一個(gè)線上優(yōu)秀學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì),共有理=10種選法，

其中組成的團(tuán)隊(duì)中恰有2名同學(xué)的等級(jí)為"優(yōu)秀”的選法有釐?=6種，

所以所組成的團(tuán)隊(duì)中恰有2名同學(xué)的等級(jí)為"優(yōu)秀”的概率戶磊=0.6.

綜合提升

某城市的環(huán)保部門試圖探究車流量與空氣質(zhì)量的相關(guān)性，以確定是否對(duì)車輛實(shí)施限行.為此，環(huán)

保部門采集到該城市過去一周內(nèi)某時(shí)段車流量(單位:萬輛)與空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)，如表所示：

時(shí)間周一周二周三周四周五周六周日

車流量

1099.510.51188.5

M萬輛)

空氣質(zhì)

78767779807375

量指數(shù)y

(1)根據(jù)表中周一到周五的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于*的線性回歸方程；

(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2,則認(rèn)為得到的線性

回歸方程是可靠的.請(qǐng)根據(jù)周六^周日的數(shù)據(jù)，判定所得的線性回歸方程是否可靠.

""AAS(xW)(yB)A_A_

注:回歸方程y=bx+a中斜率、截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b士、~—-,a=y-bx.

Z(3)2

i=l

?(1)由表格中的數(shù)據(jù),可得"xQO+9+9.5+10.5+11)=10,

一1

y鼻*（78+76+11+79+80）=78,

5__5

所以E（為一）e?y）=5，E（為*）2=25

i=li=l

A5__

S（Xi-x）（y1y）

所以b士！一2.5一乙

I（許1）2

i=l

可得a=y-bx=78-2xl0=58,

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=2n58.

(2)當(dāng)x=8時(shí),y=2x8+58=74,滿足〃4-73/=l<2;

A

當(dāng)x=8.5時(shí),y=2x8.5+58=75,滿足〃5-75/=0<2.

所以所得的線性回歸方程是可靠的.

隨著改革開放的不斷深入,祖國(guó)不斷富強(qiáng)，人民生活水平逐步提高,為了進(jìn)一步改善民生,2019

年1月1日起我國(guó)實(shí)施了個(gè)人所得稅的新政策,新政策的主要內(nèi)容包括:8價(jià)稅起征點(diǎn)為5000

元;②每月應(yīng)納稅所得額(含稅)=收入?稅起征點(diǎn)-專項(xiàng)附加扣除;冬專項(xiàng)附加扣除包括贍養(yǎng)老

人、子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療等.新個(gè)稅政策下贍養(yǎng)老人的扣除標(biāo)準(zhǔn)為獨(dú)生子女每月扣除

2000元,非獨(dú)生子女與其兄弟姐妹按照每月2000元的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)偪鄢?，但每個(gè)人的分?jǐn)傤~度不能

超過1000元.子女教育的扣除標(biāo)準(zhǔn)為每個(gè)子女每月扣除1000元(可由父母中的一方扣除,或者父

母雙方各扣除500元),稅率表如下：

級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率

1不超過3000元的部分3%

超過3000元至12000元的部

210%

分

超過12000元至25000元的

320%

部分

超過25000元至35000元的

425%

部分

（1）稅務(wù)部門在小李所在公司用分層抽樣的方法抽取某月100位不同層次員工的稅前收入，并制

成如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該公司員工稅前收入的中位數(shù).

（ii）同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表，在不考慮他們的專項(xiàng)附加扣除的情況

下，甲、乙兩位同學(xué)用如下兩種方法估計(jì)小李所在的公司員工該月的平均納稅金額,請(qǐng)判斷哪位同

學(xué)的方法是正確的，不需說明理由.

甲同學(xué):0.24%0+0.32x30+0.2x90+0.12x290+0.08x490+0.04x690=129.2（元）.

乙同學(xué):先計(jì)算收入的均值

x=0.24x4000+0.32^6000+0.2x8000+0.12xlOOOO+0.08*12000+0.04^14000=7200（元）

，再利用均值，計(jì)算平均納稅金額為（7200-5000）x0.03=66（元）.

（2）為研究某城市月薪為20000元群體的納稅情況，現(xiàn)收集了該城市500名公司白領(lǐng)（每人至多1

個(gè)孩子）的相關(guān)資料,通過整理數(shù)據(jù)知道這500人中有一個(gè)孩子符合子女教育專項(xiàng)附加扣除（假定

由他們各自全部扣除）的有400人，不符合子女教育專項(xiàng)附加扣除的人有100人，符合子女專項(xiàng)附

加扣除的人中有300人也符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除,不符合子女專項(xiàng)附加扣除的人中有50人

符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除，并且他們均不符合其他專項(xiàng)附加扣除（統(tǒng)計(jì)的500人中，任］可兩人均

不在一個(gè)家庭且為獨(dú)生子女）.若他們的月收入均為20000元，依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，試估計(jì)在

新個(gè)稅政策下這類人群每月應(yīng)繳納個(gè)稅金額*單位:元）的分布列與期望RA）.

?（l）（i）由頻率分布直方圖知，中位數(shù)落在第二組，不妨設(shè)中位數(shù)為x千元，

貝!I有0.12x2+0.16（x-5）=0.5,解得x=6.625,

故估計(jì)該公司員工收入的中位數(shù)為6.625千元.

（ii）甲同學(xué)的方法是正確的.

（2）符合子女教育專項(xiàng)附加扣除且符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額（含

稅）為20000-5000-1000-2000=12000（元），

每月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為90?900=990阮）.

符合子女教育專項(xiàng)附加扣除但不符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額（含

稅）為20000-5000-1000=14000阮），

每月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為90?900+400=1390（元）.

不符合子女教育專項(xiàng)附加扣除但符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額（含

稅）為20000-5000-2000=13000阮），

每月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為90+900+200=1190（元）.

不符合子女教育專項(xiàng)附加扣除且不符合贍養(yǎng)老人專項(xiàng)附加扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額（含

稅）為20000-5000=15000（元），

每月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為90+900+600=1590（元）.

所以X的所有可能取值為990,1190,1390,1590,

RX=990)=|,/X=1190)q,RX=1390)=|,/^%=1590)$

故X的分布列為

X990119013901590

3111

P

510510

所以RR=990x|+1190+1390x|+1590喘="50.

微專題10概率、隨機(jī)變量及其分布列

計(jì)數(shù)原理、古典概型的考查多以選擇或填空的形式命題，屬于中低檔難度;概率模型多考查獨(dú)

立重復(fù)試驗(yàn)、相互獨(dú)立事件、互斥事件及對(duì)立事件等;對(duì)離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的考查

是重點(diǎn)中的"熱點(diǎn)"，多在解答題的前三題或壓軸題的位置呈現(xiàn)，常考查獨(dú)立事件的概率,超幾何

分布和二項(xiàng)分布的期望等.

.......................核心要點(diǎn)整合........................

一、概率模型公式及相關(guān)結(jié)論

(1)古典概型的概率公式

m事件4中所包含的基本事件數(shù)

n試驗(yàn)的基本事件總數(shù)

(2)條件概率

在/發(fā)生的條件下8發(fā)生的概率RB網(wǎng)=需.

(3)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

若48相互獨(dú)立，則RAB)=R4Hb.

⑷若事件AB互斥，則=f\A]+f\B),P(M=l-f\A}.

二、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是R那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生Z次的概

率々(4=然"(1-夕)"”,%=0,1,2，…,〃.用X表示事件/在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則X服

從二項(xiàng)分布，即X~B[n,而且

三、超幾何分布

在含有用件次品的/V件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則

心=自富過k01,2，…,6,其中m=min{M〃},且〃42傕可〃,例/\/61\1",此時(shí)稱隨機(jī)變量X

CN

服從超幾何分布.超幾何分布的模型是不放回抽樣，超幾何分布中的參數(shù)是MNn.

四、離散型隨機(jī)變量的均值、方差

(1)離散型隨機(jī)變量的分布列為

(X1X2X3...Xj...Xn

PPl因內(nèi)…P<…Pn

離散型隨機(jī)變量f的分布列具有兩個(gè)性質(zhì):郎心0；

②Pl+P2+…+Pi+…+夕〃=1(/'=1,2,3,???,/7).

(2)84)=X1P1+x2Pl為上人“場(chǎng)外為隨機(jī)變量t的數(shù)學(xué)期望或均值.

么0=(為-&8)2?6)(及-&8)2?.+…+(Xi-R0)2p+...+(%-88)2必叫作隨機(jī)變量4的方差.

(3)數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)

①RaW+b)+bRa￡+bj二a2"?.

潴X/〃，⑼，則口刀=npRX)=npJN

③若X服從兩點(diǎn)分布，則&R=pRX)=p(l-p).

重點(diǎn)?逐個(gè)突破

對(duì)應(yīng)學(xué)生分冊(cè)第36頁(yè)

@重點(diǎn)1古典概型

(1)從L236中隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字，則數(shù)字2是這三個(gè)數(shù)字的平均數(shù)的概率是

().

A11C13

4-B.3-2-D.4-

(2)(2021年廣東省高三模擬)從包括甲、乙在內(nèi)的7名學(xué)生中選派4名學(xué)生排序參加演講

比賽,則甲和乙參加，且演講順序不相鄰的概率為().

2121

A-C

B.7-7-D.2-

21

答

至1⑵B

)A

?⑴從1,2,3,6中隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字，總的基本事件為(123),(126),(136),(2,3,6),

共4個(gè),則數(shù)字2是這三個(gè)數(shù)字的平均數(shù)所包含的基本事件為Q23),共1個(gè).故數(shù)字2是這三個(gè)

數(shù)字的平均數(shù)的概率是/

(2)甲和乙參加的概率為甲和乙演講順序不相鄰的概率為空，所求概率為

^7A4

C5_102x6_1成吉按■為人辦馬_1柏沖R

逐If一礪而方或直接為K方故選B.

方法歸

求古典概型的概率,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù).常常用到

排列、組合的有關(guān)知識(shí)，計(jì)數(shù)時(shí)要正確分類，做到不重不漏.

針時(shí)訓(xùn)練

（2021年佛山市聯(lián)考）在全球新冠肺炎疫情仍在蔓延的背景下，我國(guó)新冠病毒疫苗研發(fā)取得可喜

進(jìn)展，已有多款疫苗獲批使用.目前我國(guó)正在按照"應(yīng)接盡接、梯次推進(jìn)、突出重點(diǎn)、保障安全"

的原則，積極組織實(shí)施疫苗接種，穩(wěn)步提高疫苗接種人群覆蓋率.小王想從甲、乙、丙、丁四位好

友中，隨機(jī)邀請(qǐng)兩位一起接種新冠病毒疫苗，則甲和乙中至少有一人被邀請(qǐng)的概率是（）.

A.1B.|C.|D.1

6336

?A

?基本事件總數(shù)/7C=i=6,其中甲和乙中至少有一人被邀請(qǐng)包含的基本事件個(gè)數(shù)

=5,則甲和乙中至少有一人被邀請(qǐng)的概率P彳=1.

（2021年江西省模擬）2020年是脫貧攻堅(jiān)決戰(zhàn)決勝之年，某市為早日實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，現(xiàn)將甲、乙、

丙、丁四名干部派遣到C三個(gè)貧困縣扶貧，要求每個(gè)貧困縣至少分到一人,則甲、乙兩名干部

不被分到同一個(gè)貧困縣的概率為.

答案，|

?每個(gè)貧困縣至少分到一人，四名干部分到三個(gè)縣有C*A：36種方案，

其中甲、乙兩名干部被分到同一個(gè)貧困縣的方案有的=6種，

所以甲、乙兩名干部不被分到同一個(gè)貧困縣的概率P

聾0O今U

◎重點(diǎn)2條件概率與相互獨(dú)立事件的概率

（1）（2021年山東省二模）為慶祝建黨100周年，某單位組織開展黨史知識(shí)競(jìng)賽活

動(dòng)，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中（有3道選擇題和2道填空題）,不放回地依次

抽取2道題作答，設(shè)事件/為"第1次抽到選擇題"，事件8為“第2次抽到選擇題"，則下列結(jié)

論中不正確的是（）.

A./VD0B./VI向京

CRB網(wǎng)含D.R8如專

（2）（2021年新高考全國(guó)/卷）有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字123,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)

取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件”第一次取出的球的數(shù)字是1",乙表示事件"第二次取出的

球的數(shù)字是2",丙表示事件"兩次取出的球的數(shù)字之和是8",丁表示事件”兩次取出的球的數(shù)

字之和是7"很!!（）.

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

?（1）D（2）A

?(1)取)與J故Z正確於明嚼鼎故8正確;凡的I)岑符二串今故C正

確;麗等|而向嗡品氏颯=需4=|,故D不正確.故選D.

(2)事件甲是否發(fā)生不會(huì)影響事件丙的發(fā)生，故選A.

Q)求復(fù)雜事件的概率,要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，是否是條件概率，看復(fù)雜事件是能轉(zhuǎn)化為

幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件，還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件,然后用概率公

式求解.

(2)注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征:⑦在每次試驗(yàn)中,試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情

況;②在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.

⑶牢記公式P腦=晶"(1仰-k,k=Q\2，…,77,并深刻理解其含義和對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)類型.

(2021年山東省一模)從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出2張,將其中1張放到驗(yàn)鈔

機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔，則另1張也是假鈔的概率為().

A焉B.《C4D.g

?C

?記事件/為"抽到的鈔票中至少1張鈔票是假鈔"，記事件8為"抽到的2張鈔

票都是假鈔"，

則取)翼警L篝噬/明噌磊

因此氏昭1)=翳磊播得

(2021年新高考全國(guó)/卷)某學(xué)校組織“一帶一路"知識(shí)競(jìng)賽，有48兩類問題.每位參加比賽

的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若

回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.4類

問題中的每個(gè)問題回答正確得20分,否則得0分;8類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則

得0分.

已知小明能正確回答力類問題的概率為08能正確回答6類問題的概率為0.6,且能正確回答問

題的概率與回答次序無關(guān).

(1)若小明先回答力類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?并說明理由.

?(1)由題意得*的所有可能取值為0,20,100,

RX=0)=108=0.2,

f\X=20)=0.8x(l-0.6)=0.32,

&T=100)-0.8x06=0.4