2024屆浙江省嘉興市七校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆浙江省嘉興市七校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線（是正常數(shù)）上有兩點(diǎn)、，焦點(diǎn)，甲：；乙：；丙：；?。?以上是“直線經(jīng)過焦點(diǎn)”的充要條件有幾個(gè)（）A． B． C． D．2．設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記此曲線在點(diǎn)點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則可能是（）A． B． C． D．3．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則的通項(xiàng)公式可能是（）A． B． C． D．4．設(shè)，則“”是“”成立的（）A．充要不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充要也不必要條件5．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．6．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上，恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，已知當(dāng)時(shí)，在上是“凸函數(shù)”，則在上()A．既有極大值,也有極小值 B．既有極大值,也有最小值C．有極大值,沒有極小值 D．沒有極大值,也沒有極小值7．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，則a的值為()A．1 B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榈膶?dǎo)函數(shù)，且，若，則函數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知集合A=A．x0<x≤3 B．x0≤x≤3 C．x10．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，弦過，若的內(nèi)切圓的周長為，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則（）A． B． C． D．11．命題“，”的否定為（）A．， B．，C．， D．，12．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，，點(diǎn)在線段上，若，則________.14．已知方程有兩個(gè)根、，且，則的值為______.15．已知點(diǎn)，，，，復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)、，若，則的最大值是__________.16．已知中，角．．的對(duì)邊分別為．．，且，，，則____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合U＝R，集合A＝{x|（x－2）（x－3）<0}，函數(shù)y＝lg的定義域?yàn)榧螧．（1）若a＝，求集合A∩（?UB）；（2）命題p：x∈A，命題q：x∈B，若q是p的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．（12分）數(shù)列滿足.（1）計(jì)算，并由此猜想通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.19．（12分）如圖，矩形中，，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值．20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且，過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為.（1）證明：為定值；（2）設(shè)的面積為，寫出的表達(dá)式，并求的最小值．21．（12分）《西游記女兒國》是由星皓影業(yè)有限公司出品的喜劇魔幻片，由鄭保瑞執(zhí)導(dǎo)，郭富城、馮紹峰、趙麗穎、小沈陽、羅仲謙、林志玲、梁詠琪、劉濤等人領(lǐng)銜主演，該片于2017年電影之夜獲得年度最受期待系列電影獎(jiǎng)，于2018年2月16日（大年初一）在中國內(nèi)地上映.某機(jī)構(gòu)為了了解年后社區(qū)居民觀看《西游記女兒國》的情況，隨機(jī)調(diào)查了當(dāng)?shù)匾粋€(gè)社區(qū)的60位居民，其中男性居民有25人，觀看了此片的有10人，女性居民有35人，觀看了此片的有25人.（1）完成下面列聯(lián)表：性別觀看此片未觀看此片合計(jì)男女合計(jì)（2）根據(jù)以上列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“該社區(qū)居民是否觀看《西游記女兒國》與性別有關(guān)”？請(qǐng)說明理由.參考公式：.附表：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828|22．（10分）在中，角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求角的大??；（2）若，求的面積的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)結(jié)論成立時(shí)，實(shí)數(shù)的值，可以得出“直線經(jīng)過焦點(diǎn)”的充要條件的個(gè)數(shù).【題目詳解】設(shè)直線的方程為，則直線交軸于點(diǎn)，且拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得，，由韋達(dá)定理得，.對(duì)于甲條件，，得，甲條件是“直線經(jīng)過焦點(diǎn)”的必要不充分條件；對(duì)于乙條件，，得，此時(shí)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，乙條件是“直線經(jīng)過焦點(diǎn)”的充要條件；對(duì)于丙條件，，即，解得或，所以，丙條件是“直線經(jīng)過焦點(diǎn)”的必要不充分條件；對(duì)于丁條件，，化簡得，得，所以，丁條件是“直線經(jīng)過焦點(diǎn)”的必要不充分條件.綜上所述，正確的結(jié)論只有個(gè)，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，以及直線與拋物線的綜合問題，同時(shí)也考查了充分必要條件的判定，解題時(shí)要假設(shè)直線的方程，并將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于中等題.2、B【解題分析】分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用基本不等式求出導(dǎo)函數(shù)的值域，結(jié)合直線的斜率是直線傾斜角的正切值求解．詳解：由，得

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式“=”成立．，即曲線在點(diǎn)點(diǎn)處的切線的斜率小于等于-1．

則，

又，故選：B．點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．3、D【解題分析】

由等差數(shù)列的求和公式，轉(zhuǎn)化為，故，分析即得解【題目詳解】由題意，等差數(shù)列，且可得故所以當(dāng)時(shí)，則的通項(xiàng)公式可能是故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.4、C【解題分析】試題分析：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)一正一負(fù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故選C．考點(diǎn)：充分必要條件．5、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，首先判斷函數(shù)的奇偶性，利用可判斷時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象列不等式組可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)，則的導(dǎo)數(shù)為，因?yàn)闀r(shí)，，即成立，所以當(dāng)時(shí)，恒大于零，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，又，函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，又函數(shù)的圖象性質(zhì)類似如圖，數(shù)形結(jié)合可得，不等式，或，可得或，使得成立的的取值范圍是故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于綜合題.聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，常可使問題變得明了，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項(xiàng)的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).6、C【解題分析】此題考查函數(shù)極值存在的判定條件思路：先根據(jù)已知條件確定m的值，然后在判定因?yàn)闀r(shí)，在上是“凸函數(shù)”所以在上恒成立，得在是單調(diào)遞減，的對(duì)稱軸要滿足與單調(diào)遞增單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值所以在上有極大值無極小值7、D【解題分析】

根據(jù)分布列中所有概率和為1求a的值.【題目詳解】因?yàn)镻(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，所以，選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查分布列的性質(zhì)，考查基本求解能力.8、B【解題分析】分析：根據(jù)題意求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而得到的解析式，然后根據(jù)函數(shù)的特征求得最值．詳解：由，得，∴，設(shè)（為常數(shù)），∵，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)x=0時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)．綜上可得，即函數(shù)的取值范圍為．故選B．點(diǎn)睛：解答本題時(shí)注意從所給出的條件出發(fā)，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則利用構(gòu)造法求出函數(shù)的解析式；求最值時(shí)要結(jié)合函數(shù)解析式的特征，選擇基本不等式求解，求解時(shí)注意應(yīng)用不等式的條件，確保等號(hào)能成立．9、A【解題分析】

先化簡求出集合A，B，進(jìn)而求出A∩B．【題目詳解】∵集合A={x|x-3xB={x|x≥0}，∴A∩B={x|0＜x≤3}．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10、A【解題分析】

設(shè)△ABF1的內(nèi)切圓的圓心為G．連接AG，BG，GF1．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則1πr=π，解得r=．可得==?|F1F1|，即可得出．【題目詳解】由橢圓=1，可得a=5，b=4，c==2．如圖所示，設(shè)△ABF1的內(nèi)切圓的圓心為G．連接AG，BG，GF1．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則1πr=π，解得r=．則==?|F1F1|，∴4a=|y1﹣y1|×1c，∴|y1﹣y1|==．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程定義及其性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．11、A【解題分析】

全稱命題的否定為特稱命題，易得命題的否定為，.【題目詳解】因?yàn)槊}“，”為全稱命題，所以命題的否定為特稱命題，即，，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，注意“任意”要改成“存在”.12、B【解題分析】

化簡得到，得到答案.【題目詳解】，故，故對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡，對(duì)應(yīng)象限，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)題意，由于題目中給出了較多的邊和角，根據(jù)題目列出對(duì)應(yīng)的正余弦定理的關(guān)系式，能較快解出BD的長度.【題目詳解】根據(jù)題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系。過點(diǎn)B作垂直AC交AC于點(diǎn)E，則,又因?yàn)樵谥校?所以,,故.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查學(xué)生對(duì)于正余弦定理的掌握，將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系下的問題是解決本題的關(guān)鍵.14、或1【解題分析】

對(duì)方程的兩根分成實(shí)根和虛根兩種情況討論，再利用韋達(dá)定理和求根公式分別求解．【題目詳解】當(dāng)△時(shí)，，；當(dāng)△時(shí)，，故答案為：或1．【題目點(diǎn)撥】此題考查實(shí)系數(shù)二次方程根的求解，考查分類討論思想的運(yùn)用，求解的關(guān)鍵在于對(duì)判別式分大于0和小于0兩種情況．15、【解題分析】

由題意可知，點(diǎn)在曲線內(nèi)，點(diǎn)在圓上，利用三角不等式得出，可求出的最大值.【題目詳解】由題意知，點(diǎn)在曲線內(nèi)，點(diǎn)在圓上，如下圖所示：由三角不等式得，當(dāng)點(diǎn)為正方形的頂點(diǎn)，且點(diǎn)、方向相反時(shí)，取最大值，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)模的最值，解題時(shí)充分利用三角不等式與數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解，能簡化計(jì)算，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.16、【解題分析】，∴，由余弦定理得，∴，故答案為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）;（2）【解題分析】

（1）由一元二次不等式可解得集合．根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0可得,將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式可解得集合,從而可得．畫數(shù)軸分析可得．（2）將是的必要條件轉(zhuǎn)化為．分析可得關(guān)于的不等式組,從而可解得的范圍．【題目詳解】（1）集合，因?yàn)椋院瘮?shù)，由，可得集合．或，故．（2）因?yàn)槭堑谋匾獥l件等價(jià)于是的充分條件，即，由，而集合應(yīng)滿足>0，因?yàn)?，故，依題意就有：，即或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．考點(diǎn)：1集合的運(yùn)算;2充分必要條件．18、（1）；（2）見解析【解題分析】分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件，可求a1，a2，a3，a4的值，猜想{an}的通項(xiàng)公式．（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟對(duì)這個(gè)猜想加以證明．詳解：（1）根據(jù)數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；同理，由此猜想；（2）當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；假設(shè)（為大于等于1的正整數(shù)）時(shí)，結(jié)論成立，即，那么當(dāng)（大于等于1的正整數(shù)）時(shí)，∴，∴，即時(shí)，結(jié)論成立，則.點(diǎn)睛：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個(gè)步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）由，即可得面，即可證明平面平面；（2）過作，垂直為，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．求得平面的法向量為．則，即可求出與平面所成角的正弦值．【題目詳解】（1）在中，，又，，平面則平面，從而，又，，則平面又平面，從而平面平面.（2）過作，垂足為，由（1）知平面.以為原點(diǎn)，為軸正方向如圖建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，.則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，設(shè)，則故與平面所成角的正弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面垂直，面面垂直判定定理的應(yīng)用，以及利用向量法求直線與平面所成角的大小，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．20、（Ⅰ）定值為0；（2）S=，S取得最小值1．【解題分析】分析：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），根據(jù)拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0求得和，根據(jù)曲線1y=x2上任意一點(diǎn)斜率為y′=，可得切線AM和BM的方程，聯(lián)立方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，求得和，進(jìn)而可求得的結(jié)果為0，進(jìn)而判斷出AB⊥FM．（2）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)的關(guān)系式求得k和λ的關(guān)系式，進(jìn)而求得弦長AB，可表示出△ABM面積．最后根據(jù)均值不等式求得S的范圍，得到最小值．詳解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線方程為y=﹣1，顯然AB斜率存在且過F（0，1）設(shè)其直線方程為y=kx+1，聯(lián)立1y=x2消去y得：x2﹣1kx﹣1=0，判別式△=16（k2+1）＞0，x1+x2=1k，x1x2=﹣1.于是曲線1y=x2上任意一點(diǎn)斜率為y′=，則易得切線AM，BM方程分別為y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中1y1=x12，1y2=x22，聯(lián)立方程易解得交點(diǎn)M坐標(biāo)，xo==2k，yo==﹣1，即M（，﹣1）,從而=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命題得證．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而S=|AB||FM|．∵，∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，而1y1=x12，1y2=x22，則x22=，x12=1λ，|FM|=因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y=﹣1的距離，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=．于是S=|AB||FM|=，由≥2知S≥1，且