常州市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研試題含解析

常州市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則等于（）A．B．C．D．2．下列集合中，表示空集的是（）A． B．C． D．3．設(shè)為中的三邊長，且，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．已知，則不等式的解集為（）A． B． C． D．5．設(shè),，，則（）A． B． C． D．6．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=，（a≠1，nN）”時(shí)，在驗(yàn)證n=1成立時(shí)，左邊應(yīng)該是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a37．某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個(gè)醫(yī)療分隊(duì)，平均分到甲、乙兩個(gè)村進(jìn)行義務(wù)巡診，其中每個(gè)分隊(duì)都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士，則不同的分配方案有A．72種 B．36種 C．24種 D．18種8．某校從6名學(xué)生干部（其中女生4人，男生2人）中選3人參加學(xué)校的匯演活動(dòng)，在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中的概率為（）A． B． C． D．9．已知集合，，則=（）A． B． C． D．10．已知點(diǎn)P是曲線C：x=3+cosθ，y=3+sinθ，（θA．[10，13+1] B．[11．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率是0.6，乙勝的概率是0.4.那么采用5局3勝制還是7局4勝制對(duì)乙更有利？（）A．5局3勝制 B．7局4勝制 C．都一樣 D．說不清楚12．設(shè)，是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，滿足不等式，則的取值范圍是________.14．命題，命題，則“或”是__________命題.(填“真”、“假”）15．在正四面體P-ABC，已知M為AB的中點(diǎn)，則PA與CM所成角的余弦值為____.16．設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）現(xiàn)在很多人喜歡自助游,2017年孝感楊店桃花節(jié)，美麗的桃花風(fēng)景和人文景觀迎來眾多賓客.某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解“自助游”是否與性別有關(guān)，在孝感桃花節(jié)期間，隨機(jī)抽取了人，得如下所示的列聯(lián)表：贊成“自助游”不贊成“自助游”合計(jì)男性女性合計(jì)（1）若在這人中，按性別分層抽取一個(gè)容量為的樣本，女性應(yīng)抽人，請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并據(jù)此資料能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過前提下，認(rèn)為贊成“自助游”是與性別有關(guān)系？（2）若以抽取樣本的頻率為概率，從旅游節(jié)大量游客中隨機(jī)抽取人贈(zèng)送精美紀(jì)念品，記這人中贊成“自助游”人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:18．（12分）已知函數(shù)在處取得極值．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．19．（12分）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，，且為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成角的正弦值.20．（12分）某測試團(tuán)隊(duì)為了研究“飲酒”對(duì)“駕車安全”的影響，隨機(jī)選取100名駕駛員先后在無酒狀態(tài)、酒后狀態(tài)下進(jìn)行“停車距離”測試.測試的方案：電腦模擬駕駛，以某速度勻速行駛，記錄下駕駛員的“停車距離”（駕駛員從看到意外情況到車子完全停下所需要的距離）.無酒狀態(tài)與酒后狀態(tài)下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別列于表1和表2.停車距離d（米）頻數(shù)26402482表1平均每毫升血液酒精含量x毫克平均停車距離y米表2統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值例如區(qū)間的中點(diǎn)值為1.5)作為代表；（1）根據(jù)最小二乘法，由表2的數(shù)據(jù)計(jì)算y關(guān)于x的回歸方程；（2）該測試團(tuán)隊(duì)認(rèn)為：駕駛員酒后駕車的平均“停車距離”y大于無酒狀態(tài)下（表1）的停車距離平均數(shù)的3倍，則認(rèn)定駕駛員是“醉駕”.請(qǐng)根據(jù)（1）中的回歸方程，預(yù)測當(dāng)每毫升血液酒精含量大于多少毫克時(shí)為“醉駕”？回歸方程中..21．（12分）已知函數(shù)在處有極值.（1）求的解析式.（2）求函數(shù)在上的最值.22．（10分）（江蘇省南通市高三最后一卷---備用題數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)處的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知，若，函數(shù)的對(duì)稱軸是，所以，故選B.2、C【解題分析】

沒有元素的集合是空集，逐一分析選項(xiàng)，得到答案.【題目詳解】A.不是空集，集合里有一個(gè)元素，數(shù)字0，故不正確；B.集合由滿足條件的上的點(diǎn)組成，不是空集，故不正確；C.，解得：或，都不是自然數(shù)，所以集合里沒有元素，是空集，故正確；D.滿足不等式的解為，所以集合表示，故不正確.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查空集的判斷，關(guān)鍵是理解空集的概念，意在考查分析問題和解決問題的能力.3、B【解題分析】

由，則，再根據(jù)三角形邊長可以證得，再利用不等式和已知可得，進(jìn)而得到，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，即可求解．【題目詳解】由題意，記，又由，則，又為△ABC的三邊長，所以，所以，另一方面，由于，所以，又，所以，不妨設(shè)，且為的三邊長，所以．令，則，當(dāng)時(shí)，可得，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了解三角形，綜合了函數(shù)和不等式的綜合應(yīng)用，以及基本不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于綜合性較強(qiáng)的題，難度較大，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于難題．4、A【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上遞增，而，由此將不等式轉(zhuǎn)化為，然后利用單調(diào)性列不等式，解不等式求得的取值范圍.【題目詳解】由，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由，故不等式可化為，，得，解得．故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

先研究函數(shù)單調(diào)性，再比較大小.【題目詳解】,令，則因此當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.6、C【解題分析】考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法．分析：首先分析題目已知用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1+a+a1+…+an+1=（a≠1）”在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)．把n=1代入等式左邊即可得到答案．解：用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1+a+a1+…+an+1=（a≠1）”在驗(yàn)證n=1時(shí)，把當(dāng)n=1代入，左端=1+a+a1．故選C．7、B【解題分析】

根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生，每個(gè)村一名，3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士，根據(jù)排列組合進(jìn)行計(jì)算即可．【題目詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生，每個(gè)村一名，有2種方法，3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士，平均分成兩組，要求外科醫(yī)生和護(hù)士都有，則分1名外科，2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士，若甲村有1外科,2名護(hù)士,則有C3若甲村有2外科,1名護(hù)士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分組分配問題，解決這類問題的關(guān)鍵是先分組再分配，屬于?？碱}型.8、B【解題分析】

先求出女生甲被選中的情況下的基本事件總數(shù)，再求出在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)為，結(jié)合條件概率的計(jì)算方法，可得.【題目詳解】女生甲被選中的情況下，基本事件總數(shù)，在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)為，則在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中的概率為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了條件概率的求法，考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

利用集合的基本運(yùn)算定義即可求出答案【題目詳解】已知集合，，利用集合的基本運(yùn)算定義即可得：答案：B【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題10、D【解題分析】

將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，可知曲線C是圓x-32+y-3【題目詳解】曲線C表示半圓：x-32+所以PQ≤取A2，3，AQ=2+12【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，在處理點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的問題時(shí)，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，能簡化計(jì)算，考查計(jì)算能力與分析問題的能力，屬于中等題。11、A【解題分析】

分別計(jì)算出乙在5局3勝制和7局4勝制情形下對(duì)應(yīng)的概率，然后進(jìn)行比較即可得出答案.【題目詳解】當(dāng)采用5局3勝制時(shí)，乙可以3:0，3:1，3:2戰(zhàn)勝甲，故乙獲勝的概率為：;當(dāng)采用7局4勝制時(shí)，乙可以4:0，4:1，4:2，4:3戰(zhàn)勝甲，故乙獲勝的概率為：，顯然采用5局3勝制對(duì)乙更有利，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和分析能力，難度中等.12、D【解題分析】

取的中點(diǎn)，利用，可得，從而可得，利用雙曲線的定義及勾股定理，可得結(jié)論．【題目詳解】取的中點(diǎn)，則，，.，是的中點(diǎn)，，，，，，，.故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的離心率，確定是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【題目詳解】解：由，滿足不等式作出可行域如圖，

令，目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)取的最小值，

聯(lián)立，解得時(shí)得最小值，．

目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)取的最大值，

聯(lián)立，解得，此時(shí)取得最大值，．

所以，z＝2x＋y的取值范圍是．

故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．14、真【解題分析】分析：先判斷p,q真假，再判斷“或”真假.詳解：因?yàn)?，所以p為假命題,因?yàn)?，所以q為真命題,因此“或”是真命題，點(diǎn)睛：若要判斷一個(gè)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個(gè)命題的每個(gè)簡單命題的真假，再依據(jù)“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判斷即可.15、【解題分析】分析：取的中點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理可得即為與所成的角或其補(bǔ)角，利用余弦定理可得結(jié)果.詳解：取的中點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理可得，，故即為與所成的角或其補(bǔ)角，因?yàn)槭钦拿骟w，不妨設(shè)令其棱長為，則由正四面體的性質(zhì)可求得，故，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用以及異面直線所成角的求法，求異面直線所成的角的做題步驟分為三步，分別為：作角、證角、求角，尤其是第二步證明過程不可少，是本題易失點(diǎn)分，切記.16、【解題分析】

先畫出可行域，根據(jù)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，即可求出最小值?！绢}目詳解】作出不等式組表示的可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形區(qū)域（包括邊界），表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，由圖可知，該距離的最小值為點(diǎn)到直線的距離，故.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)贊成“自助游”不贊成“自助游”合計(jì)男性女性合計(jì)在犯錯(cuò)誤的概率不超過前提下，不能認(rèn)為贊成“自助游”與性別有關(guān)系.（2）的分布列為：期望.【解題分析】試題分析：(1)根據(jù)分層抽樣比為，可知女性共55人，從而可以知難行45人，即可填表，計(jì)算卡方，得出結(jié)論；（2）由題意知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，從而利用公式計(jì)算分布列和期望．試題解析：(1)贊成“自助游”不贊成“自助游”合計(jì)男性女性合計(jì)將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入計(jì)算，得的觀測值：，在犯錯(cuò)誤的概率不超過前提下，不能認(rèn)為贊成“自助游”與性別有關(guān)系．(2)的所有可能取值為：,依題意，的分布列為：18、(1)；(2)．【解題分析】

（Ⅰ）函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，在處取得極值，可得，求得值；

（Ⅱ）由知，得令則關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為上恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，對(duì)對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，從而求出的范圍；【題目詳解】（Ⅰ）時(shí)，取得極值，故解得.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．（Ⅱ）由知，得令則在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于上恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，，于是上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞增；依題意有.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及單調(diào)性以及方程的實(shí)數(shù)根問題，解題過程中用到了分類討論的思想，分類討論的思想也是高考的一個(gè)重要思想，要注意體會(huì)其在解題中的運(yùn)用，屬中檔題．19、(1)見解析；（2）.【解題分析】分析：（1）由題意得，又，從而即可證明；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，即可運(yùn)用空間向量的方法求得答案.詳解：（1）證明：因?yàn)?，為線段的中點(diǎn)，所以.又兩兩垂直，且所以平面，則.因?yàn)椋云矫?（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.∵，∴可設(shè)，則，∴，則，設(shè)平面的法向量為，則，即令，得.平面的一個(gè)法向量為，則.故平面與平面所成二面角的正弦值為.點(diǎn)睛：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．20、（1）；（2）當(dāng)每毫升血液酒精含量大于80毫克時(shí)認(rèn)定為“醉駕”.【解題分析】

（1）計(jì)算表格中數(shù)據(jù)的、，并將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式計(jì)算出和，于此可得出回歸直線方程；（2）在表格中，將每組的數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)組的頻率，將這些乘積相加后可得出，令，解該不等式可得出的取值范圍，于是可對(duì)問題作出解答?！绢}目詳解】（1）依題意，可知，，，所以回歸直線方程為．（2）停車距離的平均數(shù)為當(dāng)，即時(shí)認(rèn)定駕駛員是“醉駕”，令，得，解得，所以當(dāng)每毫升血液酒精含量大于80毫克時(shí)認(rèn)定為“醉駕”.【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸直線的求法、頻率分布直方表中平均數(shù)的計(jì)算，計(jì)算回歸直線方程，關(guān)鍵準(zhǔn)確代入最小二乘法公式，計(jì)算量較大，在計(jì)算時(shí)可以借助表格來簡化計(jì)算，屬于中等題。21、(1)(2)最大值為為【解題分析】分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，聯(lián)立方程組解出的值，即可得到的解析式；（2）求出，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，利用單調(diào)性可得函數(shù)的極值，然后求出的值，與極值比較大小即可求得函數(shù)的最值.詳解：（1）由題意：，又由此得：經(jīng)驗(yàn)證：∴（2）由（1）知，又所以最大值為為點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值與最值，屬于中檔題.求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)（左增右