遼寧省錦州市聯(lián)合校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

遼寧省錦州市聯(lián)合校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知的三邊滿足條件，則（）A． B． C． D．2．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（）A．2 B． C． D．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“（，）”的過程中，由推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是（）A． B．C． D．4．設(shè)集合，集合，則（）A． B． C． D．5．“已知函數(shù)，求證：與中至少有一個(gè)不少于.”用反證法證明這個(gè)命題時(shí)，下列假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)且B．假設(shè)且C．假設(shè)與中至多有一個(gè)不小于D．假設(shè)與中至少有一個(gè)不大于6．設(shè)x＝，y＝，z＝－，則x，y，z的大小關(guān)系是()A．x＞y＞z B．z＞x＞yC．y＞z＞x D．x＞z＞y7．若展開式的常數(shù)項(xiàng)為60，則值為()A． B． C． D．8．若全集，集合，則（）A． B． C． D．9．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，反設(shè)正確的是()A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60° B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60°C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60° D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°10．已知，，則的最小值（）A． B． C． D．11．設(shè)是函數(shù)的定義域，若存在，使，則稱是的一個(gè)“次不動點(diǎn)”，也稱在區(qū)間I上存在“次不動點(diǎn)”.若函數(shù)在上存在三個(gè)“次不動點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．12．已知集合，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正六棱柱相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的大小為________14．若復(fù)數(shù)滿足，則的實(shí)部是_________.15．隨機(jī)變量的取值為0,1,2，若，，則________.16．如圖所示是世界20個(gè)地區(qū)受教育程度的人口百分比與人均收入的散點(diǎn)圖，樣本點(diǎn)基本集中在一個(gè)條型區(qū)域，因此兩個(gè)變量呈線性相關(guān)關(guān)系．利用散點(diǎn)圖中的數(shù)據(jù)建立的回歸方程為，若受教育的人口百分比相差10%，則其人均收入相差_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）(本小題滿分12分)某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)（簡稱系統(tǒng)）和，系統(tǒng)和在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和。（Ⅰ）若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求的值；（Ⅱ）設(shè)系統(tǒng)在3次相互獨(dú)立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望。18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)傾斜角為的直線（為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）相交于不同的兩點(diǎn).（1）若，求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，其中，求直線的斜率.19．（12分）如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)．求證：（1）求證：平面（2）求異面直線與所成角的余弦值.20．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知,命題:對,不等式恒成立；命題，使得成立.（1）若為真命題，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若假，為真，求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）若是的極大值點(diǎn)，求．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由題意首先求得的值，然后確定的大小即可.【題目詳解】由可得：，則，據(jù)此可得.本題選擇D選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦定理及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2、D【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定最大值．【題目詳解】，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，∴已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，.故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．解題時(shí)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的增減，從而確定最值，在閉區(qū)間的最值有時(shí)可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，要注意比較．3、D【解題分析】

把用替換后兩者比較可知增加的式子．【題目詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以由推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，掌握數(shù)學(xué)歸納法的概念是解題基礎(chǔ)．從到時(shí)，式子的變化是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵．4、B【解題分析】

求解出集合，根據(jù)并集的定義求得結(jié)果.【題目詳解】本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查集合運(yùn)算中的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】分析：因?yàn)榕c中至少有一個(gè)不少于的否定是且，所以選B.詳解：因?yàn)榕c中至少有一個(gè)不少于的否定是且，故答案為：B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查反證法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于等于a的否定是兩個(gè)數(shù)都小于a.6、D【解題分析】

先對y,z分子有理化，比較它們的大小，再比較x,z的大小得解.【題目詳解】y＝＝，z＝－＝，∵＋＞＋＞0，∴z＞y.∵x－z＝－＝＝＞0，∴x＞z.∴x＞z＞y.故答案為D【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查比較法比較大小，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)比差的一般步驟是：作差→變形（配方、因式分解、通分等）→與零比→下結(jié)論；比商的一般步驟是：作商→變形（配方、因式分解、通分等）→與1比→下結(jié)論.如果兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)，一般用比商，其它一般用比差.7、D【解題分析】

由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出第項(xiàng)，求出常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)，列方程即可求解.【題目詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，令，則，所以常數(shù)項(xiàng)為，即，所以.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.8、C【解題分析】

分別化簡求解集合U,A，再求補(bǔ)集即可【題目詳解】因?yàn)?，，所?故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力.9、B【解題分析】

“至少有一個(gè)”的否定變換為“一個(gè)都沒有”，即可求出結(jié)論.【題目詳解】“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，反設(shè)是假設(shè)三內(nèi)角都大于.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查反證法的概念，注意邏輯用語的否定，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】∵向量，,當(dāng)t=0時(shí)，取得最小值.故答案為.11、A【解題分析】

由已知得在上有三個(gè)解。即函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求出，利用導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)求解?！绢}目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上存在三個(gè)“次不動點(diǎn)”，所以在上有三個(gè)解，即在上有三個(gè)解，設(shè)，則，由已知，令得，即或當(dāng)時(shí)，，；，，要使有三個(gè)零點(diǎn)，則即，解得；當(dāng)時(shí)，，；，，要使有三個(gè)零點(diǎn)，則即，解得；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)，以及利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于綜合體。12、A【解題分析】分析：根據(jù)題意，求得集合，再利用集合的運(yùn)算，即可求解．詳解：由題意，，所以，故選A．點(diǎn)睛：本題主要考查了集合的運(yùn)算問題，其中正確求解集合是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由正六棱柱的幾何特征可得為正六棱柱相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的平面角，根據(jù)正六邊形的內(nèi)角計(jì)算即可.【題目詳解】解：如圖，由正六棱柱的幾何特征可知，則為正六棱柱相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的平面角，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查二面角的求解，關(guān)鍵是要找到二面角的平面角，是基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由得出，再利用復(fù)數(shù)的除法法則得出的一般形式，可得出復(fù)數(shù)的實(shí)部.【題目詳解】，，因此，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的概念，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的除法，解題時(shí)要利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】設(shè)時(shí)的概率為，則，解得，故考點(diǎn)：方差.16、31.93美元【解題分析】

設(shè)所受教育百分比分別為，且，利用回歸方程計(jì)算即可．【題目詳解】設(shè)所受教育百分比分別為，且根據(jù)回歸方程為，收入相差大約為：

，

即受教育的人口百分比相差，則其人均收入相差約美元．

故答案為：31.93美元．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）E=0.【解題分析】（1）設(shè)：“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1-P（C）=1-P=，解得P=………………4分（2）由題意，P（=0）=[來源:Z+xx+k.Com]P（=1）=P（=2）=P（=3）=所以，隨機(jī)變量的概率分布列為：0123 P故隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為：E=0……12分.[點(diǎn)評]本小題主要考查相互獨(dú)立事件，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、互斥事件、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概念及相關(guān)計(jì)算，考查運(yùn)用概率知識與方法解決實(shí)際問題的能力.18、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)為．直線方程為代入曲線的普通方程，得，由韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，代入直線的參數(shù)方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）把直線的參數(shù)方程代入橢圓的普通方程可得關(guān)于參數(shù)的一元二次方程，由已知條件和韋達(dá)定理可得，求得的值即得斜率.試題解析：設(shè)直線上的點(diǎn)，對應(yīng)參數(shù)分別為，．將曲線的參數(shù)方程化為普通方程．（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)為．直線方程為（為參數(shù)）．代入曲線的普通方程，得，則，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）將代入，得，因?yàn)?，，所以．得．由于，故．所以直線的斜率為．考點(diǎn)：直線的參數(shù)方程與橢圓參數(shù)方程及其在研究直線與橢圓位置關(guān)系中的應(yīng)用.19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，證明四邊形是平行四邊形，從而，進(jìn)而可得平面；（2）設(shè)出正方體的棱長，利用向量的加法和數(shù)量積求出，根據(jù)向量的夾角公式可求出異面直線與所成角的余弦值.【題目詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，則，又，∴四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，∴平面；（2）設(shè)正方體的棱長為2，異面直線與所成角為，則，，，所以異面直線與所成角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查線面平行的判定，以及異面直線所成的角，利用向量的夾角公式，可方便求出異面直線所成的角，不用建系，不用作圖.20、(1)．(2)【解題分析】

（1）利用零點(diǎn)分類討論法解絕對值不等式；（2）由題得對任意成立，即對任意成立，再求實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式可化為．當(dāng)時(shí)，，解得，故；當(dāng)時(shí)，，解得，故；當(dāng)時(shí)，，解得，故．綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．（2）∵對任意成立，∴任意成立，∴對任意成立，所以對任意成立又當(dāng)時(shí)，，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查絕對值不等式的解法和絕對值不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21、（1）；（2）.【解題分析】

（1），即，可解出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）先求出命題為真命題時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，再分析出命題、中一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題，即可的得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】（1）∵對任意，不等式恒成立，，即，即，解得，因此，若為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2），且存在，使得成立，，命題為真時(shí)，.∵且為假，或?yàn)檎妫?、中一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題．當(dāng)真假時(shí)，則，解得；當(dāng)假真時(shí)，，即.綜上所述，的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用命題的真假求參數(shù)，同時(shí)也考查了利用復(fù)合命題的真假求參數(shù)問題，解題的關(guān)鍵就是要確定簡單命題的真假，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.22、（1）見解析（2）【解題分析】分析：（1）求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性證明即可．（2）分類討論和,構(gòu)造函數(shù),討論的性質(zhì)即可得到a的范圍．詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)