云南省江川第二中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

云南省江川第二中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從名學(xué)生志愿者中選擇名學(xué)生參加活動，若采用下面的方法選取：先用簡單隨機(jī)抽樣從人中剔除人，剩下的人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取人，則在人中，每人入選的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且為 D．都相等，且為2．已知函數(shù)在有極大值點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，如果，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．定義在上的函數(shù)，滿足為的導(dǎo)函數(shù)，且，若，且，則有（）A． B．C． D．不確定6．設(shè)，則的值為（）A．－7 B． C．2 D．77．已知，，，若>恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A．或 B．或C． D．8．某班級有男生人，女生人，現(xiàn)選舉名學(xué)生分別擔(dān)任班長、副班長、團(tuán)支部書記和體育班委.男生當(dāng)選的人數(shù)記為，則的數(shù)學(xué)期望為（）A． B． C． D．9．已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，為的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，則的面積為（）A．1 B．2 C． D．410．在20張百元紙幣中混有4張假幣，從中任意抽取2張，將其中一張?jiān)隍?yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假幣，則這兩張都是假幣的概率是()A． B． C． D．以上都不正確11．針對時下的“抖音熱”，某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的12，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的16，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)23，若有99%參考公式：KP0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A．12人 B．18人 C．24人 D．30人12．己知，則向量與的夾角為.A．30 B．60 C．120 D．150.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．由曲線與圍成的封閉圖形的面積是__________．14．一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_________.15．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如下圖，則_____________．16．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，且的最小值為，則常數(shù)__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（其中，且為常數(shù)）.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍；（3）若方程在上有且只有一個實(shí)根，求的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求證：．19．（12分）中央政府為了應(yīng)對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題，擬定出臺“延遲退休年齡政策”.為了了解人們對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責(zé)成人社部進(jìn)行調(diào)研.人社部從網(wǎng)上年齡在15～65歲的人群中隨機(jī)調(diào)查100人，調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示,支持“延遲退休年齡政策”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：年齡（歲）支持“延遲退休年齡政策”人數(shù)155152817（I）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表；年齡低于45歲的人數(shù)年齡不低于45歲的人數(shù)總計(jì)支持不支持總計(jì)（II）通過計(jì)算判斷是否有的把握認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度有差異.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828參考公式：20．（12分）如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,側(cè)面是等腰直角三角形,且,側(cè)面⊥底面.(1)若分別為棱的中點(diǎn),求證:∥平面；(2)棱上是否存在一點(diǎn),使二面角成角，若存在,求出的長；若不存在,請說明理由.21．（12分）在中，，求的值；若，求的面積．22．（10分）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程;（2）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線是否會過某個定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣與系統(tǒng)抽樣方法的定義，結(jié)合概率的意義，即可判斷出每個人入選的概率.【題目詳解】在系統(tǒng)抽樣中，若所給的總體個數(shù)不能被樣本容量整除時，則要先剔除幾個個體，然后再分組，在剔除過程中，每個個體被剔除的概率相等，所以，每個個體被抽到包括兩個過程，一是不被剔除，二是選中，這兩個過程是相互獨(dú)立的，因此，每個人入選的概率為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣方法的應(yīng)用，也考查了概率的意義，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】分析：令，得，，整理得，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在山過的值域問題，令，則即可.詳解：令，得，，整理得，令，則，則令，則在單調(diào)遞減，∴，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，要求熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、把問題等價(jià)轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．3、A【解題分析】

由函數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，把不等式，轉(zhuǎn)化為，即可求解．【題目詳解】由函數(shù)，可得，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，又由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)?，即，所以，解得，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性，合理轉(zhuǎn)化不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】分析：先確定函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，再利用奇偶性與單調(diào)性解不等式.詳解：因?yàn)?，所?為偶函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時，單調(diào)遞增，所以等價(jià)于，即，或，選A.點(diǎn)睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).5、A【解題分析】

函數(shù)滿足，可得.由，易知，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.由，則.當(dāng),則.當(dāng),則,，，即.故選A.6、D【解題分析】

利用賦值法，令即可確定的值.【題目詳解】題中所給等式中，令可得：，即，令可得：，即，據(jù)此可知：的值為.本題選擇D選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查賦值法及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7、C【解題分析】分析：用“1”的替換先解的最小值，再解的取值范圍。詳解：，所以的解集為，故選C點(diǎn)睛：已知二元一次方程，求二元一次分式結(jié)構(gòu)的最值，用“1”的替換是均值不等式的應(yīng)用，構(gòu)造出的模型，再驗(yàn)證條件。8、C【解題分析】分析：先寫出的取值，再分別求的概率，最后求的數(shù)學(xué)期望.詳解：由題得所以故答案為：C點(diǎn)睛：（1）本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力.(2)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望9、B【解題分析】

根據(jù)題中條件可得到拋物線方程，由直線和拋物線相切得到切點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求得面積.【題目詳解】點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,可得到p=2,方程為：，切點(diǎn)N（x,y）,滿足，過點(diǎn)的直線設(shè)為和拋物線聯(lián)立得到，，取k=1,此時方程為的面積為:故答案為：B.【題目點(diǎn)撥】這個題目考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，當(dāng)直線和拋物線相切時，可以聯(lián)立直線和拋物線，使得判別式等于0，也可以設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)求導(dǎo)得到該點(diǎn)處的斜率.10、A【解題分析】設(shè)事件A表示“抽到的兩張都是假鈔”，事件B表示“抽到的兩張至少有一張假鈔”，則所求的概率即P(A|B).又，由公式.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：條件概率的求解方法：(1)利用定義，求P(A)和P(AB)，則.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得.11、B【解題分析】

設(shè)男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為x2，完善列聯(lián)表，計(jì)算K2【題目詳解】設(shè)男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為x喜歡抖音不喜歡抖音總計(jì)男生1656x女生1316x總計(jì)xx32K男女人數(shù)為整數(shù)故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.12、B【解題分析】

將數(shù)量積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可計(jì)算，從而可求.【題目詳解】因?yàn)?、，所以，則、，所以，所以，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間向量的夾角計(jì)算，難度較易.無論是平面還是空間向量的夾角計(jì)算，都可以借助數(shù)量積公式，對其進(jìn)行變形，先求夾角余弦值，再求夾角.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】分析：由于兩函數(shù)都是奇函數(shù)，因此只要求得它們在第一象限內(nèi)圍成的面積，由此求得它們在第一象限內(nèi)交點(diǎn)坐標(biāo)，得積分的上下限．詳解：和的交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴．故答案為1．點(diǎn)睛：本題考查用微積分定理求得兩函數(shù)圖象圍成圖形的面積．解題關(guān)鍵是確定積分的上下限及被積函數(shù)．14、.【解題分析】此幾何體是一個組合體，由三視圖可知上面正四棱柱的高為,其體積為.15、【解題分析】

利用概率之和為求得的值.解，求得的值，將對應(yīng)的概率相加求得結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)，解得.解得或，故所求概率為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查分布列的概率計(jì)算，考查含有絕對值的方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.16、-2.【解題分析】分析：畫出可行域，將變形為，平移直線由圖可知當(dāng)直經(jīng)過點(diǎn)時，直線在軸上的截距最小，根據(jù)的最小值為列方程求解即可.詳解：畫出表示的可行域，如圖，由可得，將變形為，平移直線,由圖可知當(dāng)直經(jīng)過點(diǎn)時，直線在軸上的截距最小，根據(jù)的最小值為可得，解得，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）在（0,1），上單調(diào)遞增，在（1,2）上單調(diào)遞減（Ⅱ）（Ⅲ）【解題分析】【試題分析】（1）將代入再求導(dǎo)，借助導(dǎo)函數(shù)值的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）借助問題（1）的結(jié)論，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，最終確定參數(shù)的取值范圍；（3）依據(jù)題設(shè)條件將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)的個數(shù)問題，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識及分類整合思想進(jìn)行分析探求：解：⑴函數(shù)的定義域?yàn)橛芍?dāng)時，所以函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,2）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（Ⅱ）由當(dāng)時,對于恒成立,在上單調(diào)遞增,此時命題成立;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,有.這與題設(shè)矛盾,不合.故的取值范圍是（Ⅲ）依題意,設(shè),原題即為若在上有且只有一個零點(diǎn),求的取值范圍.顯然函數(shù)與的單調(diào)性是一致的.?當(dāng)時,因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增,由題意可知解得;?當(dāng)時,因?yàn)?當(dāng)時,總有,此時方程沒有實(shí)根。綜上所述,當(dāng)時,方程在上有且只有一個實(shí)根。點(diǎn)睛：解答本題的第一問時，先將代入再求導(dǎo)，借助導(dǎo)函數(shù)值的符號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；求解第二問時，借助問題（1）的結(jié)論，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，最終確定參數(shù)的取值范圍；解答第三問時，依據(jù)題設(shè)條件將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)的個數(shù)問題，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識及分類整合思想進(jìn)行分析探求，從而求出參數(shù)的取值范圍。18、(1)見解析；(2)證明見解析【解題分析】

（1）由f（x）含有參數(shù)a，單調(diào)性和a的取值有關(guān)，通過分類討論說明導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到結(jié)論；（2）法一：將已知變形，對a分類討論研究的正負(fù)，當(dāng)與時，通過單調(diào)性可直接說明，當(dāng)時，可得g（x）的最大值為,利用導(dǎo)數(shù)解得結(jié)論．法二：分析時，且使得已知不成立；當(dāng)時，利用分離變量法求解證明.【題目詳解】（1），①當(dāng)時，由得，得，所以在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，由得，解得，所以在上單調(diào)遞增，在在上單調(diào)遞減；（2）法一：由得（*），設(shè)，則，①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，，可知且時，，，可知（*）式不成立；②當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，，可知（*）式成立；③當(dāng)時，由得，所以在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞減，所以，由（*）式得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，而，h（1）=1-2=-1<0，所以存在t，使得h（t）=0，由得；綜上所述，可知．法二：由得（*），①當(dāng)時，得，且時，，可知（*）式不成立；②當(dāng)時，由（*）式得，即，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以，（**），當(dāng)時，，得，所以在上遞增，同理可知在上遞減，所以，結(jié)合（**）式得，所以，綜上所述，可知．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題，涉及到了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、分類討論、構(gòu)造函數(shù)等方法技巧，屬于較難題．19、（I）列聯(lián)表見解析；（II）有.【解題分析】

（I）先根據(jù)頻率分布直方圖算出各數(shù)據(jù)，再結(jié)合支持“延遲退休年齡政策”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)表求解；（II）算出觀測值與3.841比較.【題目詳解】（I）由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫的列聯(lián)表如下：年齡低于45歲的人數(shù)年齡不低于45歲的人數(shù)總計(jì)支持354580不支持15520總計(jì)5050100（II）計(jì)算觀測值，有的把握認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的同人群對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度有差異.【題目點(diǎn)撥】本題考查頻率分布直方圖與獨(dú)立性檢驗(yàn).20、(1)見解析(2)【解題分析】

分析：（1）取中點(diǎn),連結(jié),由三角形中位線定理可得,可證明四邊形為平行四邊形,可得,由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）取中點(diǎn),連結(jié)、,先證明、、兩兩垂直.以為原點(diǎn),分別以、、正方向?yàn)檩S、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組，求出平面的法向量，平面的法向量為，由空間向量夾角余弦公式列方程可得結(jié)果.詳解：(1)取中點(diǎn),連結(jié),∵分別為、中點(diǎn)，∴//,,又點(diǎn)為中點(diǎn),∴且,∴四邊形為平行四邊形,∴∥,又平面,平面,∴∥平面.(2)取中點(diǎn),連結(jié)、,∵是以為直角的等腰直角三角形,又為的中點(diǎn),∴,又平面⊥平面,由面面垂直的性質(zhì)定理得⊥平面,又平面,∴⊥,由已知易得:、、兩兩垂直.以為原點(diǎn),分別以、、正方向?yàn)閤軸