河北省邢臺一中2024屆數(shù)學高二下期末聯(lián)考試題含解析

河北省邢臺一中2024屆數(shù)學高二下期末聯(lián)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．△ABC的兩個頂點坐標A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是()A． B．（y≠0）C． D．（y≠0）2．已知，則（）A． B．186 C．240 D．3043．已知10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件次品，若從中任意抽取5件產(chǎn)品進行檢查，則抽取的5件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有()A．種 B．種 C．種 D．種4．若集合，，若，則的值為（）A． B． C．或 D．或5．已知為拋物線上的不同兩點，為拋物線的焦點，若，則（）A． B．10 C． D．66．下列四個推理中，屬于類比推理的是（）A．因為銅、鐵、鋁、金、銀等金屬能導電，所以一切金屬都能導電B．一切奇數(shù)都不能被2整除，是奇數(shù)，所以不能被2整除C．在數(shù)列中，，可以計算出，所以推出D．若雙曲線的焦距是實軸長的2倍，則此雙曲線的離心率為2，類似的，若橢圓的焦距是長軸長的一半，則此橢圓的離心率為7．如圖，用5種不同的顏色把圖中、、、四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有()A．200種 B．160種 C．240種 D．180種8．設，下列不等式中正確的是（）①②③④A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④9．已知復數(shù)，則共軛復數(shù)()A． B． C． D．10．方程表示雙曲線的一個充分不必要條件是（）A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜311．函數(shù)（，e是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點，則實數(shù)a的取值范圍為()A． B． C． D．12．設為等差數(shù)列的前項和，若，，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若存在兩個正實數(shù)x，y使等式mx（lny﹣lnx）﹣y＝0成立，則實數(shù)m的取值范圍是_____14．《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：，，，則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則______.15．已知向量滿足，，，若對每一確定的，最大值和最小值分別為，則對任意，的最小值是_____.16．已知圓：的兩焦點為，，點滿足，則的取值范圍為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某醬油廠對新品種醬油進行了定價，在各超市得到售價與銷售量的數(shù)據(jù)如下表：單價（元）55.25.45.65.86銷量（瓶）9.08.48.38.07.56.8（1）求售價與銷售量的回歸直線方程；（，）（2）預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（1）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/瓶，為使工廠獲得最大利潤（利潤=銷售收入成本），該產(chǎn)品的單價應定為多少元？相關(guān)公式：，．18．（12分）已知函數(shù).（1）當，時，求函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)在上的最大值為1，求實數(shù)的值.19．（12分）在中，內(nèi)角的對邊分別為.已知（1）求的值（2）若，求的面積.20．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，，O是AC的中點，，，．（1）證明：平面平面ABC；（2）若，，D是AB的中點，求二面角的余弦值．21．（12分）電視傳媒公司為了解世界杯期間某地區(qū)電視觀眾對《戰(zhàn)斗吧足球》節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查，其中女性有55名．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該節(jié)目時間的頻率分布直方圖：(注：頻率分布直方圖中縱軸表示，例如，收看時間在分鐘的頻率是)將日均收看該足球節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“足球迷”．（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否可以認為“足球迷”與性別有關(guān)？如果有關(guān)，有多大把握？非足球迷足球迷合計男女1055合計（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“足球迷”人數(shù)為．若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的分布列、均值和方差．附：，22．（10分）某手機代工廠對生產(chǎn)線進行升級改造評估，隨機抽取了生產(chǎn)線改造前、后100個生產(chǎn)班次的產(chǎn)量進行對比，改造前、后手機產(chǎn)量（單位：百部）的頻率分布直方圖如下：（1）設改造前、后手機產(chǎn)量相互獨立，記表示事件：“改造前手機產(chǎn)量低于5000部，改造后手機產(chǎn)量不低于5000部”，視頻率為概率，求事件的概率；（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為手機產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級改造有關(guān)：手機產(chǎn)量部手機產(chǎn)量部改造前改造后（3）根據(jù)手機產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求改造后手機產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）.參考公式：隨機變量的觀測值計算公式：，其中.臨界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】所以定點的軌跡為以A,B為焦點的橢圓，去掉A,B,C共線的情況，即，選D.2、A【解題分析】

首先令，這樣可以求出的值，然后把因式分解，這樣可以變成兩個二項式的乘積的形式，利用兩個二項式的通項公式，就可以求出的會下，最后可以計算出的值.【題目詳解】令，由已知等式可得：，，設的通項公式為：，則常數(shù)項、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：；設的通項公式為：，則常數(shù)項、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：，，所以，故本題選A.【題目點撥】本題考查了二項式定理的應用，正確求出通項公式是解題的關(guān)鍵.3、C【解題分析】

根據(jù)題意，分2步進行分析，第一步從3件次品中抽取2件次品，第二步從7件正品中抽取3件正品，根據(jù)乘法原理計算求得結(jié)果．【題目詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：①.從3件次品中抽取2件次品，有種抽取方法，;②.從7件正品中抽取3件正品，有種抽取方法，則抽取的5件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有種；故選：C．【題目點撥】本題考查排列組合的實際應用，注意是一次性抽取，抽出的5件產(chǎn)品步需要進行排列．4、A【解題分析】

先解出集合，由，得出，于此可得知實數(shù)的值.【題目詳解】解方程，即，得，由于，，則，，，，故選：A.【題目點撥】本題考查集合間的包含關(guān)系，利用包含關(guān)系求參數(shù)的值，解本題的關(guān)鍵就是將集合表示出來，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。5、C【解題分析】

設，根據(jù)，可求得這些坐標間的關(guān)系，再結(jié)合兩點在拋物線上，可求得，而，由此可得結(jié)論．【題目詳解】設，則，又，∴，∴，，∴，由，得，∴.故選C．【題目點撥】本題考查向量的數(shù)乘的意義，考查拋物線的焦點弦問題．掌握焦點弦長公式是解題基礎(chǔ)：即對拋物線而言，，是拋物線的過焦點的弦，則．6、D【解題分析】由推理的定義可得A,C為歸納推理，B為演繹推理，D為類比推理.本題選擇D選項.點睛：一是合情推理包括歸納推理和類比推理，所得到的結(jié)論都不一定正確，其結(jié)論的正確性是需要證明的．二是在進行類比推理時，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑；否則只抓住一點表面現(xiàn)象甚至假象就去類比，就會犯機械類比的錯誤．7、D【解題分析】

根據(jù)題意可知，要求出給四個區(qū)域涂色共有多少種方法，需要分步進行考慮；對區(qū)域A、B、C、D按順序著色，推出其各有幾種涂法，利用分步乘法計數(shù)原理，將各區(qū)域涂色的方法數(shù)相乘，所得結(jié)果即為答案．【題目詳解】涂有5種涂法，有4種，有3種，因為可與同色，故有3種，∴由分步乘法計數(shù)原理知，不同涂法有種．故答案選D．【題目點撥】本題考查了排列組合中的涂色問題，處理區(qū)域涂色問題的基本方法為分步乘法計數(shù)原理．8、C【解題分析】分析：利用絕對值三角不等式等逐一判斷.詳解：因為ab>0,所以a,b同號.對于①，由絕對值三角不等式得，所以①是正確的；對于②，當a,b同號時，，所以②是錯誤的；對于③，假設a=3,b=2,所以③是錯誤的；對于④，由絕對值三角不等式得，所以④是正確的.故答案為：C.點睛：（1）本題主要考查絕對值不等式，意在考查學生對該知道掌握水平和分析推理能力.(2)對于類似這樣的題目，方法要靈活，有的可以舉反例，有的可以直接證明判斷.9、B【解題分析】分析：首先求得復數(shù)z，然后求解其共軛復數(shù)即可.詳解：由題意可得：，則其共軛復數(shù).本題選擇B選項.點睛：本題主要考查復數(shù)的運算法則，共軛復數(shù)的概念等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.10、A【解題分析】由題意知，，則C，D均不正確，而B為充要條件，不合題意，故選A.11、A【解題分析】

函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)，存在唯一的零點等價于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，由，，可得函數(shù)與函數(shù)唯一交點為，的單調(diào)，根據(jù)單調(diào)性得到與的大致圖象，從圖形上可得要使函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，則，即可解得實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】解：函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)，存在唯一的零點等價于：函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，，，函數(shù)與函數(shù)唯一交點為，又，且，，在上恒小于零，即在上為單調(diào)遞減函數(shù)，又是最小正周期為2，最大值為的正弦函數(shù)，可得函數(shù)與函數(shù)的大致圖象如圖：要使函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，則，，，，解得，又，實數(shù)的范圍為．故選：．【題目點撥】本題主要考查了零點問題，以及函數(shù)單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是把唯一零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，通過圖象進行分析研究，屬于難題．12、B【解題分析】分析：首先設出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿足的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，之后應用等差數(shù)列的通項公式求得，從而求得正確結(jié)果.詳解：設該等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項公式的應用，在解題的過程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項公式得到與的關(guān)系，從而求得結(jié)果.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

將原方程轉(zhuǎn)化為，令換元后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究的單調(diào)性，由此求得的值域，進而求得的取值范圍.【題目詳解】兩邊同時除以可得，令題意即為存在使得成立，顯然時等式不成立，故當時，存在使得成立。記由得在上為減函數(shù)，在為減函數(shù)，在為增函數(shù)；且，從而，故.【題目點撥】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、值域，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.14、24【解題分析】

觀察所告訴的式子，找出其中的規(guī)律，可得n的值.【題目詳解】解：觀察所給式子的規(guī)律可得：，，，故可得：.故答案為：24.【題目點撥】本題主要考查歸納推理，注意根據(jù)題中所給的式子找出規(guī)律進行推理.15、【解題分析】

分別令、、，根據(jù)已知條件判斷出A、B、C三點的位置關(guān)系，及的幾何意義，進而得到答案.【題目詳解】因為，所以令（為坐標原點），則點必在單位圓上因為，所以令，則點必在線段的中垂線上令，因為，所以點在以線段為直徑的圓上所以可得就是圓的直徑顯然，當點在線段的中點時，取最小值故答案為：【題目點撥】本題考查的是平面向量的運算及圓中的最值問題，屬于較難題，解題的關(guān)鍵是找出每個式子的幾何意義.16、【解題分析】

點滿足則點在橢圓內(nèi),且不包含原點.故根據(jù)橢圓定義再分析即可.【題目詳解】由題有點在橢圓內(nèi),且不包含原點.故,又當在線段上（不包含原點）時取得最小值2.故.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了橢圓的定義及其性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）．（2）6.75元【解題分析】

（1）根據(jù)回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程.（2）求得利潤的表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得為使工廠獲得最大利潤（利潤=銷售收入成本），該產(chǎn)品的單價.【題目詳解】解：（1）因為，，所以，，從而回歸直線方程為．（2）設工廠獲得的利潤為元，依題意得當時，取得最大值故當單價定為6.75元時，工廠可獲得最大利潤．【題目點撥】本小題主要考查回歸直線方程的計算，考查實際應用問題，考查運算求解能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)對稱軸為可知，，進而得到函數(shù)值域；（2）由解析式知函數(shù)對稱軸為，分別在、和三種情況下，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定最大值點，利用最大值構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【題目詳解】（1）當時，.又，所以，，的值域為.（2）由函數(shù)解析式知：開口方向向上，對稱軸為.①當，即時，，解得：；②當，即時，，解得：（舍去）；③當，即時，此時，令，解得：（舍去），令，解得：（舍去）.綜上所述：.【題目點撥】本題考查二次函數(shù)值域的求解、根據(jù)二次函數(shù)最值求解參數(shù)值的問題；求解參數(shù)值的關(guān)鍵是能夠根據(jù)二次函數(shù)對稱軸位置，確定最值點，進而利用最值構(gòu)造方程求得結(jié)果.19、（1）（2）【解題分析】

（1）正弦定理得邊化角整理可得，化簡即得答案．（2）由（1）知，結(jié)合題意由余弦定理可解得，，從而計算出面積．【題目詳解】（1）由正弦定理得，所以即即有，即所以（2）由（1）知，即，又因為，所以由余弦定理得：，即，解得,所以，又因為，所以，故的面積為=.【題目點撥】正弦定理與余弦定理是高考的重要考點，本題主要考查由正余弦定理解三角形，屬于一般題．20、(1)證明見解析；(2)【解題分析】

（1）利用PO⊥AC，OP2+OB2＝PB2，即PO⊥OB．可證明PO⊥面ABC，即可得平面PAC⊥平面ABC；（2）由（1）得PO⊥面ABC，過O作OM⊥CD于M，連接PM，則∠PMO就是二面角P﹣CD﹣B的補角．解三角形POM即可．【題目詳解】（1）∵AP＝CP，O是AC的中點，∴PO⊥AC，∵PO＝1，OB＝2，．∴OP2+OB2＝PB2，即PO⊥OB．∵AC∩OB＝O，∴PO⊥面ABC，∵PO?面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC；（2）由（1）得PO⊥面ABC，過O作OM⊥CD于M，連接PM，則∠PMO就是二面角P﹣CD﹣B的平面角的補角．∵OC1，∴AC＝2，AB，∴CD．∴S△COD∴，∴OM．PM．∴∴二面角P﹣CD﹣B的余弦值為．【題目點撥】本題考查了空間面面垂直的證明，空間二面角的求解，作出二面角的平面角是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．21、（1）；（2），.【解題分析】

⑴由所給的頻率分布直方圖計算出“足球迷”人數(shù)和“非足球迷”人數(shù)，填入列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得到答案⑵由頻率分布直方圖知，抽到“足球迷”的頻率為，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“足球迷”的概率為，由于，從而給出分布列，再由公式計算出均值和方差【題目詳解】(1)由所給的頻率分布直方圖知，“足球迷”人數(shù)為100(100.020＋100.005)＝25，“非足球迷”人數(shù)為75，從而22列聯(lián)表如下非足球迷足球迷合計男301545女451055合計7525100將22列聯(lián)表的數(shù)據(jù)代入公式計算：，因為2.706<3.030<3.841，所以有90%的把握認為“足球迷”與性別有關(guān)．(2)由頻率分布直方圖知，抽到“足球迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“足球迷”的概率為.由題意，X～B，從而X的分布列為X0123PEX＝np＝3＝，DX＝np(1－p)＝3.【題目