高維波動(dòng)方程的初值問題課件

3.2高維波動(dòng)方程的初值問題3.2.1三維波動(dòng)方程的基爾霍夫公式上節(jié)我們討論了一維波動(dòng)方程的初值問題，得到了達(dá)朗貝爾公式。對(duì)于三維波動(dòng)方程，可用球面平均法形式地推出解的表達(dá)式。這表達(dá)式通常被稱為基爾霍夫公式?，F(xiàn)在，我們考察三維波動(dòng)方程的初值問題(27)(28)其中與為已知函數(shù)。1高維波動(dòng)方程的初值問題(27)(28)首先，任意固定點(diǎn)表示以為球心，為半徑的球面。利用球坐標(biāo)，則球面上的點(diǎn)用表示球面的單位外法向，則球面上的點(diǎn)可簡單記作同時(shí)也可被看成單位球面上的點(diǎn)。因此，我們也記球面上的微元為球心，2高維波動(dòng)方程的初值問題(27)(28)此外，記表示以為球心，為半徑的球體，則在上的體積分用球坐標(biāo)可表示為現(xiàn)在引進(jìn)的球面平均數(shù)對(duì)上式兩邊對(duì)取極限得3高維波動(dòng)方程的初值問題(27)(28)微積分里面的奧-高公式其中為簡單閉曲面外法向。所圍成的區(qū)域，是的單位可寫成散度形式4高維波動(dòng)方程的初值問題(27)(28)微積分里面的奧-高公式寫成散度形式為其中為簡單閉曲面外法向。所圍成的區(qū)域，是的單位現(xiàn)將方程(27)兩邊在上積分得5高維波動(dòng)方程的初值問題(27)(28)微積分里面的奧-高公式寫成散度形式為其中為簡單閉曲面外法向。所圍成的區(qū)域，是的單位現(xiàn)將方程(27)兩邊在上積分得6高維波動(dòng)方程的初值問題(27)(28)微積分里面的奧-高公式寫成散度形式為其中為簡單閉曲面外法向。所圍成的區(qū)域，是的單位現(xiàn)將方程(27)兩邊在上積分得7高維波動(dòng)方程的初值問題(27)(28)另一方面，利用則有8高維波動(dòng)方程的初值問題(27)(28)于是兩邊對(duì)求導(dǎo)得因此可得的通解為其中為二階可微函數(shù)。9高維波動(dòng)方程的初值問題(27)(28)上式兩端分別對(duì)求導(dǎo)得(29)(30)上面的兩式中，令得在(29)(30)式中取得10高維波動(dòng)方程的初值問題(27)(28)在上式中取并代入可得11高維波動(dòng)方程的初值問題(27)(28)當(dāng)初始函數(shù)足夠光滑時(shí)，容易驗(yàn)證，由公式(31)所表示的函數(shù)確實(shí)是問題(27)(28)的解。(31)三維波動(dòng)方程的泊松公式12高維波動(dòng)方程的初值問題例1求下列初值問題的解(31)解由公式(31)得13高維波動(dòng)方程的初值問題例1求下列初值問題的解解由公式(31)得(31)14高維波動(dòng)方程的初值問題(32)(33)(34)3.2.2降維法用降維法求解二維波動(dòng)方程的初值問題由于可把二維波動(dòng)方程的初值問題看做是三維波動(dòng)方程初值問題的特殊情況，故可用三維波動(dòng)方程的泊松公式來表示二維波動(dòng)方程初值問題的解，并由此導(dǎo)出二維問題解的表示式的另外一種形式。一種由高維問題的解引出低維問題解的方法。15高維波動(dòng)方程的初值問題(35)(32)(33)(34)利用公式(31)可得二維波動(dòng)方程初值問題(32)-(34)的解為這里的積分是在三維空間中的球面上進(jìn)行的。16高維波動(dòng)方程的初值問題(35)(32)(33)(34)由于及都是與無關(guān)的函數(shù)，因此在球面上的積分可以化為它在平面常數(shù)上的投影上的積分。由于球面上的面積元素和它的投影平面元素之間成立著如下的關(guān)系：17高維波動(dòng)方程的初值問題(35)(32)(33)(34)其中為這兩個(gè)面積元素法線方向間的夾角。因此有注意到上下半球面上的積分都化成同一圓上的積分，因此，應(yīng)取圓上的積分的2倍，18高維波動(dòng)方程的初值問題(35)(32)(33)(34)所以(36)19高維波動(dòng)方程的初值問題(32)(33)(34)(36)上式稱為二維波動(dòng)方程初值問題的泊松公式。由于積分區(qū)域是以為半徑的圓域。為中心，所以我們通常采用極坐標(biāo)來計(jì)算(36)式中的積分。20高維波動(dòng)方程的初值問題例2求下列問題的解解由公式(36)得(36)21高維波動(dòng)方程的初值問題(31)3.2.3解的物理意義假設(shè)初始擾動(dòng)僅發(fā)生在空間某個(gè)有限域內(nèi).在區(qū)域外任取一點(diǎn)我們考察在點(diǎn)處在各個(gè)不同時(shí)刻所受到初始擾動(dòng)影響的情況.我們知道解在點(diǎn)和時(shí)刻的值是由初值函數(shù)在球面和上的值所決定,所以只有當(dāng)球面和區(qū)域相交時(shí),(31)式中的積分才不為0，從而在區(qū)域外任取一點(diǎn)22高維波動(dòng)方程的初值問題(31)圖3.7用分別表示點(diǎn)到區(qū)域當(dāng)時(shí)，的最近和最遠(yuǎn)距離，如圖還有一段距離，積分為0，處所以該球面上的和這時(shí)擾動(dòng)還未達(dá)到點(diǎn)因而球面與區(qū)域值為0，和當(dāng)時(shí)，初始擾動(dòng)在處于擾動(dòng)狀態(tài)。積分的值一般不為0，此時(shí)點(diǎn)相交，球面一直與區(qū)域的值一般也不為0，那以瞬間達(dá)到點(diǎn)處。23高維波動(dòng)方程的初值問題(31)圖3.7用分別表示點(diǎn)到區(qū)域當(dāng)時(shí)，的最近和最遠(yuǎn)距離，如圖初始擾動(dòng)區(qū)域開始又取零值，不再與它相交，和這說明擾動(dòng)已經(jīng)越過了球面已越過了因此，在中任一點(diǎn)處的擾動(dòng)引起的波以速度有界區(qū)域向周圍傳播，從中擾動(dòng)影響的區(qū)域，秒時(shí)受到初始時(shí)刻區(qū)域點(diǎn)，點(diǎn)處恢復(fù)到原來的靜止?fàn)顟B(tài)。就是所有以為中心，因此，在中擾動(dòng)影響的區(qū)域，秒時(shí)受到初始時(shí)刻區(qū)域就是所有以為中心，24高維波動(dòng)方程的初值問題(31)圖3.7因此，在中任一點(diǎn)處的擾動(dòng)引起的波以速度有界區(qū)域向周圍傳播，中擾動(dòng)影響的區(qū)域，秒時(shí)受到初始時(shí)刻區(qū)域就是所有以為中心，為半徑的球面的全體。當(dāng)足夠大時(shí)，這種球面簇有內(nèi)外兩個(gè)包絡(luò)面。25高維波動(dòng)方程的初值問題(31)圖3.7當(dāng)足夠大時(shí)，這種球面簇有內(nèi)外兩個(gè)包絡(luò)面。外包絡(luò)面稱為傳播波的前陣面(簡稱波前)，內(nèi)包絡(luò)面稱為傳播波的后陣面(簡稱波后)。這前后陣面的中間部分就是受到初始擾動(dòng)影響的部分。26高維波動(dòng)方程的初值問題(31)圖3.7前陣面以外的部分表示波尚未傳到的區(qū)域，而后陣面以內(nèi)的部分式波已傳過并恢復(fù)了原來狀態(tài)的區(qū)域。因此，當(dāng)初始擾動(dòng)限制在空間某局部范圍內(nèi)時(shí)，波的傳播由清晰的前陣面和后陣面，現(xiàn)象在物理學(xué)中稱為惠更斯原理或無后效現(xiàn)象。這種27高維波動(dòng)方程的初值問題(31)圖3.7由于在點(diǎn)

這種現(xiàn)象在物理學(xué)中稱為惠更斯原理或無后效現(xiàn)象。時(shí)它的影響是在為中心，為半徑的球面處的擾動(dòng)，在以上，故解(31)稱為球面波。28高維波動(dòng)方程的初值問題(36)對(duì)于二維波動(dòng)方程初值問題的解(36)也可作類似的討論。但有一點(diǎn)值得注意，由于積分是在這個(gè)圓域上進(jìn)行的，所以對(duì)任一點(diǎn)隨著時(shí)間的增加，由等于0變?yōu)椴坏扔?之后，就不會(huì)像空間情形那樣又由不等于0變?yōu)榈扔?了，但將從某一時(shí)刻起逐漸減小。所以二維情形與三維情形有明顯不同之處。29高維波動(dòng)方程的初值問題(36)對(duì)于二維問題，可以把它看作所給初始擾動(dòng)坐標(biāo)的空間問題。對(duì)于二維情形，傳播波只有前陣面，而無后陣面，惠更斯原理不再成立。這種現(xiàn)象稱為波的彌散，或者說，這種波具有后效現(xiàn)象。是在一個(gè)無限長的柱體內(nèi)發(fā)生，而且不依賴于這樣在點(diǎn)處的初始擾動(dòng)，應(yīng)看作是過點(diǎn)且平行于軸的無限長直線上的初始擾動(dòng)，在時(shí)它的影響是在以該直線為軸，為半