第二講直線與圓位置關(guān)系知識(shí)歸納課件(人教A選修41)建筑文檔

1/1第二講直線與圓位置關(guān)系知識(shí)歸納課件(人教A選修4-1)-建筑文檔

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近兩年高考中，主要考查圓的切線定理，切割線定理，相交弦定理，圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)等.題目

難度不大，以簡(jiǎn)單題為主.對(duì)于與圓有關(guān)的比例線段問題通常要考慮利用相交弦定理、割線定理、切割線定理、相像三角形的判定和性質(zhì)等；弦切角是溝通圓內(nèi)已知和未知的橋梁，它在解決圓內(nèi)有關(guān)等角問題中可以大顯身手；證明四點(diǎn)共圓也是常見的考查題型，常見的證明方法有：①到某定點(diǎn)的距離都相等；②假如某

兩點(diǎn)在一條線段的同側(cè)時(shí)，可證明這兩點(diǎn)對(duì)該線段的張角相等；③證明凸四邊形的內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)(或外角等于它的內(nèi)對(duì)角)等.

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1.(2023天津高考)如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D.過點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E,與AB相交于3點(diǎn)F,AF=3,FB=1,EF=,2則線段CD的長(zhǎng)為________.

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3解析：由于AB與CE相交于F點(diǎn)，且AF=3,EF=,FB2AFFB31=1,所以CF=EF==2,由于EC∥BD,所以△ACF32AFCFACAD-CD3∽△ABD,所以AB=BD=AD=AD=,所以BD=4CFAB248AF=3=3,且AD=4CD,又由于BD是圓的切線，所422以BD=CDAD=4CD,所以CD=.34答案：3

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2.(2023北京高考)如圖，AD,AE,BC分別與圓O切于點(diǎn)D,E,F,延長(zhǎng)AF與圓O交于另一點(diǎn)G.給出下列三個(gè)結(jié)論：①AD+AE=AB+BC+CA;

②AFAG=ADAE;③△AFB∽△ADG.其中正確結(jié)論的序號(hào)是A.①②C.①③B.②③D.①②③()

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解析：逐個(gè)推斷：由切線定理得CE=CF,BD=BF,所以AD+AE=AB+BD+AC+CE=AB+AC+BC,即①正確；由切割線定理得AFAG=AD2=ADAE,即②正確；由于△ADF∽△AGD,所以③錯(cuò)誤.答案：A

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3.(2023新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，D,E分

別為△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn)，且不與△ABC的頂點(diǎn)重合.已知AE的長(zhǎng)為m,AC的長(zhǎng)為n,AD,AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2-14x+mn=0的兩個(gè)根.(1)證明：C,B,D,E四點(diǎn)共圓；(2)若∠A=90,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圓的半徑.

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解：(1)證明：連接DE,則在△ADE和△ACB中，ADAB=mn=AEAC,ADAE即AC=AB.又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB.因此∠ADE=∠ACB,所以C,B,D,E四點(diǎn)共圓.

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(2)m=4,n=6時(shí)，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12.故AD=2,AB=12.取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F,分別過G,F作AC,AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連接DH.由于C,B,D,E四點(diǎn)共圓，所以C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的圓心為H,半徑為DH.由于∠A=90,故GH∥AB,HF∥AC.1從而HF=AG=5,DF=(12-2)=5.2故C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑為52.

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圓內(nèi)接四邊形是中學(xué)教

學(xué)的主要討論問題之一，近幾年各地的高考選做題中常涉及圓內(nèi)接四邊形的判定和性質(zhì).[例1]已知四邊形ABCD為平行四邊形，過點(diǎn)A和

點(diǎn)B的圓與AD、BC分別交于E、F.求證：C、D、E、F四點(diǎn)共圓.

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[證明]連接EF,由于四邊形ABCD為平行四邊形，所以∠B+∠C=180.由于四邊形ABFE內(nèi)接于圓，所以∠B+∠AEF=180.

所以∠AEF=∠C.所以C、D、E、F四點(diǎn)共圓.

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[例2]

如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四

邊形，延長(zhǎng)BC到E,已知∠BCD∶∠ECD=3∶2,那么∠BOD等于A.120C.144()

B.136D.150

[解析]由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)知∠A=∠DCE,而∠BCD∶∠ECD=3∶2,且∠BCD+∠ECD=180,∠ECD=72.又由圓周角定理知∠BOD=2∠A=144.[答案]C

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直線與圓有三種位置關(guān)系，即相交、相切、相離；其中直線與圓相切的位置關(guān)系特別重要，結(jié)合此學(xué)問點(diǎn)

所設(shè)計(jì)的有關(guān)切線的判定與性質(zhì)、弦切角的性質(zhì)等問題是高考選做題熱點(diǎn)之一，解題時(shí)要特殊留意.

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[例3]

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，

∠ABC=90,點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A,且PA=PB.(1)求證：PB是⊙O的切線；(2)已知PA=3,BC=1,求⊙O的半徑.

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[解]

(1)證明：如圖，連接OB.

∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∵PA=PB,∴∠PAB=∠PBA.∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA,即∠PAO=∠PBO.

又∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO=90.∴∠PBO=90.∴OB⊥PB.又OB是⊙O半徑，∴PB是⊙O的切線.

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(2)連接OP,交AB于點(diǎn)D.如圖.∵PA=PB,∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.∵OA=OB,∴點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上.∴OP垂直平分線段AB.∴∠PAO=∠PDA=90.又∵∠APO=∠OPA,∴△APO∽△DPA.APPO∴DP=PA.∴AP2=PODP.11又∵OD=BC=,∴PO(PO-OD)=AP2.2212即PO-PO=(3)2,解得PO=2.2在Rt△APO中，OA=PO2-PA2=1,即⊙O的半徑為1.

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圓的切線、割線、相交弦可以構(gòu)成很多相像三角形，結(jié)合相像三角形的性質(zhì)，又可以得到一些比例式、乘積式，在解題中，多聯(lián)系這些學(xué)問，能夠計(jì)算或證明角、線段的有關(guān)結(jié)論.

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[例4]

(2023陜西高考)如圖，已知Rt△

ABC的兩條直角邊AC,BC的長(zhǎng)分別為3cm,BD