n階矩陣可對角化的條件（終稿）

第第頁n階矩陣可對角化的條件摘要：矩陣是一個重要的代數(shù)原理也是對代數(shù)的研究的核心。同時它也是高等代數(shù)里面的一個基本概念。對角矩陣在理論研究以及對矩陣的相關(guān)性質(zhì)的概括中來說非常重要。本文是關(guān)于矩陣可對角化問題的初步研究。首先介紹對角矩陣的定義，矩陣有著如有它的特征值、它的特征向量還有它的矩陣可以進行對角化等概念。在對n階的矩陣進行對角化的時候，要對它的條件進行歸納還有總結(jié)，從而得到其可以對角化的相關(guān)條件和常用方法，如最小多項式的方法，輔之典型例題來加深對定理的認(rèn)識。后面給出了兩種判斷n階矩陣是否可對角化的步驟，一種是通過求解矩陣的特征根對應(yīng)的基礎(chǔ)解析所含解向量的個數(shù)是否等于特征根的重數(shù)來進行判斷。另一種則是對矩陣進行一系列的相似變換后化為對角矩陣。后者為矩陣對角化問題中求得特征值、特征向量,求可逆矩陣,使其對角化,提供了簡便,快捷的方法。關(guān)鍵詞：對角矩陣,矩陣對角化,特征值,特征向量Abstract:Matrix

is

an

important

basic

concept

in

Higher

Algebra

and

a

main

research

object

of

algebra.

As

a

special

kind

of

matrix,

diagonal

matrix

is

of

great

significance

in

theoretical

research

and

matrix

property

generalization.

This

paper

is

a

preliminary

study

on

the

diagonalization

of

n-order

matrices.

Firstly,

the

definition

of

diagonal

matrix,

matrix

eigenvalue,

eigenvector

and

the

concept

of

diagonalization

of

matrix

are

introduced.

Then,

the

conditions

of

diagonalization

of

n-order

matrix

are

summarized,

and

the

common

sufficient

and

necessary

conditions

of

diagonalization

of

matrix

and

the

minimum

polynomial

method

are

obtained,

supplemented

by

typical

examples

to

deepen

the

understanding

of

the

theorem.

Two

steps

to

judge

whether

an

n-order

matrix

can

be

diagonalized

are

given.

One

is

to

determine

whether

the

number

of

solution

vectors

contained

in

the

basic

analysis

corresponding

to

the

eigenvalue

of

the

matrix

is

equal

to

the

multiplicity

of

the

eigenvalue.

The

other

is

to

transform

the

matrix

into

diagonal

matrix

after

a

series

of

similar

transformations.

The

latter

provides

a

simple

and

quick

method

for

finding

the

eigenvalues

and

eigenvectors,

finding

the

invertible

matrix

and

diagonalizing

it.Diagonalmatrix,Matrixdiagonalization,Eigenvalue,Eigenvector矩陣作為一個重要的概念，其在高等代數(shù)里的地位是不能低估的。與此同時，它也是一種用來研究許多數(shù)學(xué)分支的重要的工具。作為一種特殊的矩陣，對角矩陣的形狀可以說的上簡單，所以研究很方便。研究矩陣的對角化和其理論含義也是有意義的。將矩陣對角化，就是給出了一個矩陣更簡單的相似的等價矩陣。他們擁有很多一樣的性質(zhì)，如特征根。這時根據(jù)他們相同的性質(zhì)，我們可以看成他們之間沒有區(qū)別，此時若是需要研究一個可以對角化的矩陣，就只需要研究它的另一個標(biāo)準(zhǔn)化的矩陣。對角矩陣作為最簡單的一種矩陣類型研究起來非常方便。矩陣的一個非常重要的特點就是線性代數(shù)中的矩陣是否能進行相應(yīng)的對角化，。矩陣對角化現(xiàn)象及其理論是在高等代數(shù)和線性代數(shù)中最重要的核心內(nèi)容。人們從這項研究中得出了許多有用的發(fā)現(xiàn)和結(jié)論。比如一些充分和必要條件：是否有個線性無關(guān)的特征向量是一個n階方陣A能夠進行對角化的充分必要條件；方陣可以對角化的必須滿足它的最小多項式?jīng)]有重根等，除此之外還有其他的充分條件。本課題旨在于前人研究的基礎(chǔ)上，由查閱相關(guān)資料和重要的參考文獻等，給出對應(yīng)的證明過程來總結(jié)和歸納對角化的條件。1.準(zhǔn)備知識1.1對角矩陣定義1我們把一個除了對角線之外的數(shù)字全為0的矩陣稱作對角矩陣，對角線上的數(shù)字不做特別規(guī)定。其形狀為,簡記為1.2矩陣的特征值、特征向量的概念定義2若是一個n階矩陣，對于存在數(shù)與n維非零向量，有成立，就稱數(shù)為方陣A的一個特征值，非零向量稱為方陣A的關(guān)于特征值的一個特征向量。若將關(guān)系式改寫為該齊次線性方程組是由n個未知數(shù)n個方程組成的.它有非零解的充要條件是。該關(guān)系式是一個以為變量的一個一元n次方程，這就是方陣A的一個特征方程。是的n次多項式，記成,我們把它稱為方陣A的特征多項式?？梢缘弥珹的特征值即這個方程的解。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)特征方程始終有解，它的個數(shù)就是方程的次數(shù)，如果是重根則按重的次數(shù)計算.從而，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)n階矩陣有n個特征值。在此給出求解方陣的特征值和特征向量的方法：(1)根據(jù)=0求出來的個特征值，設(shè)是的各不相同的特征值,它們的重數(shù)為則。(2)求解齊次線性方程組,其基礎(chǔ)解系()就是所對應(yīng)特征值的線性無關(guān)的特征向量。由上可以看出，矩陣的特征值、特征向量與矩陣能否對角化密切相關(guān)，下面將介紹矩陣對角化的概念。1.3n階矩陣可對角化的概念定義3矩陣是數(shù)域P上的一個級方陣，若有一個n級可逆矩陣X屬于P,可以讓變成對角形的矩陣，就可以說矩陣能夠進行對角化。任何一個方陣的每個特征值都有與之對應(yīng)的特征向量，他們都滿足，則這個方程可以寫成我們定義矩陣,，則上式可寫成,若矩陣是可逆陣，則有2.矩陣能夠進行對角化的條件高等代數(shù)中一個極其重要的內(nèi)容就是矩陣能夠進行對角化，同樣的，這也是實際工程中一個應(yīng)用十分廣泛的手段。本節(jié)將用實例或者證明，介紹一些常用的矩陣對角化條件和方法。2.1利用特征值，特征向量判斷矩陣是否可對角化定理1數(shù)域上的一個階方陣能夠進行對角化的充要條件是有個線性無關(guān)的特征向量。定理2若有，則能夠進行對角化的充要條件就是：(1)的特征根屬于數(shù)域(2)的不同特征根,都有，并且是的重數(shù)值得一提的是，(2)也可描述為以下這樣：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中包含的向量的個數(shù)就等于特征根的重數(shù)(就是代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù))。(2)還可改述為這樣：令有，就是線性無關(guān)的的互異特征根的特征向量總數(shù)為。條件(1)，(2)也等價為:的每個不同特征值的特征子空間的維數(shù)之和為。例1給出的一個方陣A，其階數(shù)為3，它的的3個特征值為1，1，2。對應(yīng)的特征向量分別是,,,求解出矩陣A。分析知道了n階矩陣A的特征值和特征向量，反向求解矩陣A，若A能夠進行矩陣對角化，就可以通過最簡單的計算來完成.實際上來說，當(dāng)有由A的n個線性無關(guān)的特征向量組成的可逆矩陣P，且n階矩陣A能夠進行對角化時，有，那么就是由A的所有特征值組成的對角矩陣，則即為所求。

解取，由知矩陣A有3個線性無關(guān)的特征向量，由定理1可得，則2.2最小多項式法一般來說，如果有一個階矩陣，在有關(guān)對角化時優(yōu)先思考它是否具備個線性無關(guān)的特征向量，這樣的情況就顯得十分復(fù)雜。矩陣的另外一個能夠?qū)腔某浞直匾獥l件可以用最小多項式的方法給出來，同時做到更加簡便的要求。第一，先提出一個公認(rèn)的結(jié)論：階矩陣是它的特征多項式的一個根,就是：.因而對任何一個矩陣來說至少會有一個非零的多項式使，凡是具有這個性質(zhì)的多項式，我們都將其稱為的零化多項式，顯然的零化多項式不只一個，類似的任意乘上一個倍數(shù)式，他們都是的不同的零化多項式?，F(xiàn)在做出如下的定義，把的最小多項式認(rèn)為是一個在階矩陣的零化多項式中,次數(shù)最低同時它的首項系數(shù)是1的多項式，記為.如下是零化多項式和最小多項式之間的關(guān)系：是階矩陣的一個零化多項式，的一個最小多項式即為，則，特別的；為階矩陣，是中所有元素的最大公因式，則有；階復(fù)矩陣相似于它的一個對角矩陣的充要條件即的最小多項式?jīng)]有重根。證明過程必要性通過相似于對角矩陣,特征矩陣的因子里面一定會有一個一次式,多有最后的一項不變因子也必須是不同的一次因式的乘積，這說明了最小多項式不會存在重根。充分性由于不會存在重根,通過|,的所有的不變因子都不可能存在重根，特征矩陣是復(fù)數(shù)域上的一個矩陣,它的初等因子必然是一次式，所以一定相似于對角矩陣。例2設(shè)，則與對角矩陣相似。分析從題目所給的信息中，可以知道的零點，又因A的最小多項式整除A的零化多項式，即，可知A的最小多項式?jīng)]有重根，通過上面的敘述我們知道，一個矩陣A它的最小項不存在重根就是它能夠進行對角化的充分必要條件。因此，矩陣A是能夠進行對角化的操作的。證明因，知是的一個根，有，又由于的最小多項式，同時，不存在重根，有沒有重根，因此由（3）可以得知：相似于對角矩陣。3.判定矩陣A能不能對角化的方法3.1常規(guī)方法首先：我們要先求解出所有是A的特征根來，其次：要是說的特征根都在數(shù)域內(nèi)(否則不能夠進行對角化),那么就有對每個特征根,一次求出來它對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，最后：要是對所有的特征根,的基礎(chǔ)解系內(nèi)所包含的解向量個數(shù)都是的重數(shù)(否則不能夠進行對角化),就有能夠?qū)腔?用全部基礎(chǔ)解系里頭的向量，把它們當(dāng)成列，形成一個階可逆的矩陣P,同時是一個對角陣,的全部特征根就是它的對角線上的元素。例3對矩陣能不能進行對角化進行判斷。分析將矩陣是否可以對角化這一問題與求它的特征值以及基礎(chǔ)解析聯(lián)系起來，通過判斷基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)是否等于對應(yīng)的特征根的重數(shù)來確定矩陣A是否可以對角化，這是一種最基礎(chǔ)的且必須掌握的方法。解的特征多項式===解得的特征值是（2重），（1重），對于特征根-4，求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，對于特征根2，求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，因為基礎(chǔ)解系里面解向量的個數(shù)就是它對應(yīng)的特征根的重數(shù)，通過定理2有能夠進行對角化。令,則得到3.2矩陣對角化方法的新探眾所周知,對數(shù)域上一個階矩陣是否存在一個可逆矩陣,使得為對角形的矩陣,若是有這樣的一個矩陣，要先去求解它。通常情況下，都是先求解出它的一個行列式，再利用行列式求出的特征值,由一系列線性方程組的相關(guān)知識和特征向量的相關(guān)理論來找到方法，它相比我們通常學(xué)的知識來說更加簡單，可以省去不少的麻煩和計算步驟。相關(guān)知識：來看看，若有在數(shù)域上,對階矩陣會有一個可逆的矩陣,讓變?yōu)閷蔷仃?就可以在數(shù)域上對其對角化.如果可以對角化,我們將矩陣A對角化,就是求出矩陣,將變?yōu)閷切尉仃?若矩陣A在數(shù)域上能夠進行對角化,就有在上的可逆矩陣,讓變?yōu)閷切尉仃?所以的主對角線上的數(shù)字,就是的所有的特征值,同時可表示：其中為初等矩陣,i=1,2,...,s,于是,如果同樣是一個初等矩陣,通過矩陣之間種種的關(guān)系和性質(zhì)，我們可以得到有,等價于對分別進行了一次初等行變換和初等列變換.這時,我們就說我們已經(jīng)對進行了一次相似的初等變換，即相似變換。輕而易舉的,我們可以將經(jīng)過多種步驟的相似變換化成.并且,（E在這里代表單位矩陣）可以有下列的初等變換,就能將化成對角矩陣,且可求得：,其中我們只對E進行一部分的初等列變換，當(dāng)A無法對角化時,就能變化化簡A后求出它的特征值,對它能不能對角化進行判斷.同理地,我們可以通過,做出相應(yīng)的初等變換來將A化成對角矩陣B,且可求出T的值或由B求出A的特征值,判斷能否進行對角化：,通過初等行變換矩陣E，在經(jīng)歷相似的一系列變化后，就可以不用再行和列的交替變換，可以直接進行多次的行變換或者是列變換，只要最后變換的矩陣與A差不多就行。例4判定可否對角化,若可以,則將其對角化.分析簡單而言,用代表i第行,代表第i列,代表數(shù)k乘上第j行后再和第i行相加,是k乘上第j列后再與第i列相加。我們通過初等變換該矩陣，將A變形為B，求出T。由于此處不需要計算出行列式和解線性方程組可以有效得避免因數(shù)據(jù)過多而導(dǎo)致計算出現(xiàn)失誤，大大提高計算的效率。解由由上可知,A可對角化,且取,有3.3應(yīng)用舉例3.3.1求方陣的高次冪例5設(shè)，求.分析求方陣的高次冪（k為正整數(shù)），一般來說，對其直接求解是比較困難的。但如果矩陣可對角化，計算是有簡單方法的。實際上，若有，其中，即有，則，而.故解：由，得的特征值，.對于特征值解方程組，由，得，即，（，均為任意常數(shù)），則對應(yīng)的特征向量為，.對于特征值，解方程組，由，得即，（為任意常數(shù)），則對應(yīng)的特征向量為.令，，則.3.3.2利用特征值求行列式的值例6已知3階矩陣的特征值為1，-1，2，設(shè)矩陣.試求：及.分析對于已經(jīng)確定的一個行列式，對行列式的恒等變形常常通過行列式的相關(guān)性質(zhì)來進行，使新的行列式里面有盡可能多的0，將其化成一個三角的行列式，此時我們可以把答案寫出來或按行（列）降低其階數(shù)。解決行列式的辦法不少，要視具體情況具體分析。計算不是非常具體的行列式時，要用行列式的性質(zhì)和計算公式。該題中的A可以進行對角化，則可利用行列式的性質(zhì)，較為簡便得求解出行列式。解：已知3階矩陣有3個特征值，，，故存在可逆