9.3向量基本定理及坐標(biāo)表示（十三大題型）

9．3向量基本定理及坐標(biāo)表示課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能解釋正交分解的含義，會(huì)舉出正交分解的實(shí)例，能分析平面向量正交分解與平面向量基本定理的內(nèi)在聯(lián)系．（2）能在平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，得出平面向量的和、差、數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示，并進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算．（3）能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會(huì)進(jìn)行坐標(biāo)表示下的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；能描述兩個(gè)平面向量夾角的含義，會(huì)用坐標(biāo)表示向量的模與夾角．（4）能用坐標(biāo)表示向量共線的條件，并會(huì)用其判斷兩個(gè)向量是否共線；能用坐標(biāo)表示向量垂直的條件，并會(huì)用其判斷兩個(gè)向量是否垂直；體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．（5）在探究平面向量基本定理和坐標(biāo)表示的過程中，感悟聯(lián)系的觀點(diǎn)，體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸的思想，能說出用向量法解決幾何問題的基本路徑，體會(huì)用向量語言、向量方法表述和解決問題的簡捷性．（1）理解平面向量基本定理及其意義．（2）會(huì)運(yùn)用平面向量基本定理解決簡單平面幾何問題．（3）借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示．（4）會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算．（5）能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積和兩個(gè)平面向量的夾角．（6）能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件．知識(shí)點(diǎn)01平面向量基本定理1、平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使，稱為的線性組合．①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解為兩個(gè)向量的和，并且這種分解是唯一的．這說明如果且，那么．③當(dāng)基底是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí)，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，它保證了向量與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，在應(yīng)用時(shí)，構(gòu)成兩個(gè)基底的向量是不共線向量．2、如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面內(nèi)任意一個(gè)向量可以寫成任意兩個(gè)不共線的向量的線性組合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解答幾何問題時(shí)，就可以先把已知和結(jié)論表示為向量的形式，然后通過向量的運(yùn)算，達(dá)到解題的目的．（2）在解具體問題時(shí)，要適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來表示．選擇了不共線的兩個(gè)向量、，平面上的任何一個(gè)向量都可以用、唯一表示為=+，這樣幾何問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為只含有、的代數(shù)運(yùn)算．【即學(xué)即練1】（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，P是線段BD上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，又，∴，∵B，P，D三點(diǎn)共線，∴，∴.故選：A.知識(shí)點(diǎn)02平面向量的坐標(biāo)表示1、正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知識(shí)點(diǎn)詮釋：如果基底的兩個(gè)基向量、互相垂直，則稱這個(gè)基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事實(shí)上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2、平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底，對(duì)于平面上的一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得=．這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作=，x叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)．把叫做向量的坐標(biāo)表示．給出了平面向量的直角坐標(biāo)表示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一有序數(shù)對(duì)唯一表示，從而建立了向量與實(shí)數(shù)的聯(lián)系，為向量運(yùn)算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎(chǔ)，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）由向量的坐標(biāo)定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等，即且，其中，．（2）要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)區(qū)別開來．相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但始點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同．比如，若，，則；若，，則，，顯然A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)各不相同．（3）在直角坐標(biāo)系中有雙重意義，它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量．【即學(xué)即練2】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，設(shè)為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，用這組標(biāo)準(zhǔn)正交基分別表示向量，，，，并求出它們的坐標(biāo)．【解析】由圖可知：，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為；，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為；，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為；，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為.知識(shí)點(diǎn)03平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、平面向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算坐標(biāo)語言加法與減法記，，實(shí)數(shù)與向量的乘積記，則2、如何進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先將平面向量用坐標(biāo)的形式表示出來，再根據(jù)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)．但同時(shí)注意以下幾個(gè)問題：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)是有區(qū)別的，平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)的坐標(biāo)才相等．（2）進(jìn)行平面向量坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，先要分清向量坐標(biāo)與向量起點(diǎn)、終點(diǎn)的關(guān)系．（3）要注意用坐標(biāo)求向量的模與用兩點(diǎn)間距離公式求有向線段的長度是一樣的．（4）要清楚向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)．【即學(xué)即練3】（2024·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期末）已知，，點(diǎn)P是線段MN的一個(gè)三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)M，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】【解析】由題可知，設(shè)，則，，，∴.故答案為：.知識(shí)點(diǎn)04平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示1、平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量，則，即，或．知識(shí)點(diǎn)詮釋：若，則不能表示成因?yàn)榉帜赣锌赡転?．2、三點(diǎn)共線的判斷方法判斷三點(diǎn)是否共線，先求每兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定，即已知，，若則A，B，C三點(diǎn)共線．【即學(xué)即練4】（2024·江蘇無錫·高一江蘇省太湖高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則的值為（

）A．或 B．或 C．或11 D．或【答案】A【解析】由，，，得，，又，，三點(diǎn)共線，則，即，解得或，故選：A.知識(shí)點(diǎn)05向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示1、已知兩個(gè)非零向量，，2、設(shè)，則或3、如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）．【即學(xué)即練5】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知，，且，則．【答案】1【解析】,解得，故答案為:1.題型一：平面向量基本定理的理解【例1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】對(duì)于A：零向量與任意向量均共線，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；對(duì)于B：因?yàn)椋?，所以，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；對(duì)于C：設(shè)，即，則，所以無解，所以此兩個(gè)向量不共線，可以作為一組基底；對(duì)于D：設(shè)，，所以，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；故選：C.【變式11】（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)?？计谥校┰O(shè)是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】對(duì)于A，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，和共線，不能作為一組基底，C正確；對(duì)于D，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，D錯(cuò)誤.故選：C.【變式12】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【解析】是平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以不共線；所以和不共線，和不共線，和不共線；所以選項(xiàng)A,C,D都可以作為基底；B中，，所以和共線，不能作為基底．故選：B【變式13】（2024·山西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如果表示平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，那么下列四組向量，不能作為一個(gè)基底的是（

）A．、 B．、C．、 D．、【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，因?yàn)?、不共線，則，顯然不成立，A中的兩個(gè)向量可作一個(gè)基底；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，因?yàn)?、不共線，則，顯然不成立，B中的兩個(gè)向量可作一個(gè)基底；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，C中的兩個(gè)向量不能作一個(gè)基底；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，因?yàn)?、不共線，則，顯然不成立，D中的兩個(gè)向量可作一個(gè)基底.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】考查兩個(gè)向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否不共線．此外，一個(gè)平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一線性表示出來．題型二：用基底表示向量【例2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，和相交于點(diǎn)．記，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在平行四邊形中，和相交于點(diǎn)，所以，又是的中點(diǎn)，所以，所以，所以.故選：A【變式21】（2024·陜西·高一校聯(lián)考期中）如圖，在中，設(shè)，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意,故選：D．【變式22】（2024·安徽蕪湖·高一安徽省無為襄安中學(xué)校考期中）在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以．故選：B【方法技巧與總結(jié)】平面向量基本定理的作用以及注意點(diǎn)（1）根據(jù)平面向量基本定理，任何一個(gè)基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，實(shí)質(zhì)上是利用三角形法則或平行四邊形法則，進(jìn)行向量的線性運(yùn)算．（2）基底的選取要靈活，必要時(shí)可以建立方程或方程組，通過方程求出要表示的向量．題型三：平面向量基本定理的應(yīng)用【例3】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖所示，中，AQ為邊BC的中線，，，，，其中，，，．(1)當(dāng)時(shí)，用向量，表示；(2)證明：為定值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)锳Q為邊BC的中線，所以，所以．（2）由（1）可知，所以．而，，，所以，即，整理可得，而，是不共線向量，所以，兩式相加可得，是定值,證畢．【變式31】（2024·海南·高一?？计谀┤鐖D，在中，是邊上的中線，為的中點(diǎn)．(1)用，表示；(2)用，表示．【解析】（1）因?yàn)槭沁吷系闹芯€，所以.（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.【變式32】（2024·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CD，AD的中點(diǎn)(1)以，為基底，分別表示向量，；(2)以，為基底，表示向量.【解析】（1）因?yàn)闉镈C中點(diǎn)，則，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，則；（2）注意到，又為DC中點(diǎn)，則，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，則，則，，則.【變式33】（2024·廣西欽州·高一?？计谀┤鐖D，在中，，，BE與AD相交于點(diǎn)M．(1)用，表示，；(2)若，求的值．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以．?）因?yàn)锳，M，D三點(diǎn)共線，所以．因?yàn)?，所以，即．因?yàn)锽，M，E三點(diǎn)共線，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，解得，從而，，故．【變?4】（2024·高一?？紗卧獪y(cè)試）如圖所示，已知點(diǎn)是的重心.(1)求；(2)若過的重心，且，，，，求證：.【解析】（1）如圖所示，延長交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，∴，∵是的重心，∴，∴；（2）∵是邊的中點(diǎn)，∴，

又∵是的重心，∴，

∴，

而，∵、、三點(diǎn)共線，∴有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，∴，∴，∵與不共線，∴且消去，得.【方法技巧與總結(jié)】若直接利用基底表示向量比較困難，可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量(一般需建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式)，再利用待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得．題型四：平面向量的坐標(biāo)表示【例4】（2024·全國·高一課堂例題）如圖，是夾角為120°的兩個(gè)單位向量，，且，．求在基下的坐標(biāo)．【解析】如圖，作平行四邊形OBAC，則．因?yàn)?，，所以，在中，，．所以，即．因此在基下的坐?biāo)為．【變式41】（2024·全國·高一課堂例題）如圖，設(shè)，，，P（x，y）是平面直角坐標(biāo)系中的4個(gè)點(diǎn)，且，．求在基下的坐標(biāo)．【解析】，分別是x軸和y軸上的單位向量，并且相互垂直，因此不共線，則，組成平面上的一組基．在軸上取與橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)，則與軸平行或共線．在軸上取與縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)，則與軸平行或共線．因此．由，的坐標(biāo)可知，，因此，即在基下的坐標(biāo)為．【變式42】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，向量、、的方向和長度如圖所示，分別求它們的坐標(biāo)．【解析】根據(jù)題意，直角坐標(biāo)系中，，，，,,；,,．,,；【方法技巧與總結(jié)】在表示點(diǎn)、向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用向量的相等、加減法運(yùn)算等求坐標(biāo)，也可以利用向量、點(diǎn)的坐標(biāo)定義求坐標(biāo)．題型五：平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例5】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知，，求，，的坐標(biāo)．【解析】由題意，，，.【變式51】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知，，求，的坐標(biāo)．【解析】因?yàn)椋?，則，.【變式52】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知向量、的坐標(biāo)，求、的坐標(biāo)．(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【解析】（1）因?yàn)?，，則，.（2）因?yàn)?，，則，.（3）因?yàn)椋瑒t，.（4）因?yàn)?，，則，.【變式53】（2024·新疆·高一校考期末），求，的坐標(biāo).【解析】因?yàn)?，所?.【方法技巧與總結(jié)】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧（1）若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行．（2）若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．題型六：平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例6】（2024·高一單元測(cè)試）已知點(diǎn)，()，試求當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，的取值范圍．【答案】【解析】設(shè)，∵，∴，∵，∴，∴，解得，∵點(diǎn)在第三象限，∴，解得，故答案為：.【變式61】（2024·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知，，，若，則.【答案】【解析】根據(jù)題意，由向量的坐標(biāo)表示，列出方程，求出，，即可得出結(jié)果.因?yàn)?，，，若，則，解得，所以.故答案為：.【變式62】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，，，，若，則的值為．【答案】1【解析】由題知，，，由得，∴∴∴．故答案為：1【變式63】（2024·高一單元測(cè)試）已知,若,則的坐標(biāo)是【答案】【解析】設(shè)，則，，，，，∴的坐標(biāo)是，故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧（1）若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行．（2）若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．（3）向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行．題型七：向量共線的判定【例7】（2024·廣東佛山·高一佛山市三水區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，則（

）A．，，三點(diǎn)共線 B．，，三點(diǎn)共線C．，，三點(diǎn)共線 D．，，三點(diǎn)共線【答案】D【解析】由題意可得：，則有.則A，C，D三點(diǎn)共線.故選：D.【變式71】（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知向量不共線，，，，則（

）A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，C，D三點(diǎn)共線C．A，B，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線【答案】C【解析】因?yàn)椴还簿€，，，，易得互不共線，所以A，B，C三點(diǎn)不共線，B，C，D三點(diǎn)不共線，故AD錯(cuò)誤；又，易得不共線，則A，C，D三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；而，所以A，B，D三點(diǎn)共線，故C正確.故選：C.【變式72】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┰O(shè)是平面內(nèi)的一組基底，，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．三點(diǎn)共線C．三點(diǎn)共線 D．三點(diǎn)共線【答案】C【解析】A選項(xiàng)，設(shè)，則，無解，故三點(diǎn)不共線，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)，則，無解，故三點(diǎn)不共線，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，，故，故三點(diǎn)共線，C正確；D選項(xiàng)，，設(shè)，則，無解，故三點(diǎn)不共線，D錯(cuò)誤.故選：C【方法技巧與總結(jié)】向量共線的判定應(yīng)充分利用向量共線定理或向量共線的坐標(biāo)表示進(jìn)行判斷，特別是利用向量共線的坐標(biāo)表示進(jìn)行判斷時(shí)，要注意坐標(biāo)之間的搭配．題型八：利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)【例8】（2024·江蘇泰州·高一校考期末）設(shè)，為平面內(nèi)一個(gè)基底，已知向量，，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以有，即因?yàn)?，為平面?nèi)一個(gè)基底，所以，不是共線向量，因此有，故選：D【變式81】（2024·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，，若B，C，D三點(diǎn)共線，則（

）A．－16 B．16 C． D．【答案】A【解析】由題意得，，因?yàn)锽，C，D三點(diǎn)共線，所以，則，得.故選：A.【變式82】（2024·新疆·高一八一中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，則，，即，則，解得.故選：C【方法技巧與總結(jié)】利用向量平行的條件處理求值問題的思路（1）利用向量共線定理列方程組求解．（2）利用向量平行的坐標(biāo)表達(dá)式直接求解．提醒：當(dāng)兩向量中存在零向量時(shí)，無法利用坐標(biāo)表示求值．題型九：定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式及應(yīng)用【例9】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，點(diǎn)P在線段AB的延長線上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【答案】【解析】點(diǎn)在線段的延長線上，且，，,,,．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故答案為：.【變式91】（2024·浙江寧波·高一寧波市北侖中學(xué)?？计谀┮阎獌牲c(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】或/或；【解析】若點(diǎn)在線段的反向延長線上，又因?yàn)椋瑒t有，設(shè)，則，所以，解得，即；若點(diǎn)在線段上，又因?yàn)?，則有設(shè)，則，所以，解得，即；若點(diǎn)在線段的延長線上，又因?yàn)?，則顯然不成立；故答案為:或.【變式92】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，若點(diǎn)分所成的比為，則，.【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)分所成的比為，所以，因?yàn)?，，，所以，，所以所以解得故答案為：；【方法技巧與總結(jié)】用有向線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，可以求解有向線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)及定點(diǎn)分有向線段所成的比．事實(shí)上用這個(gè)公式，還可巧妙地用于解決其它一些問題．如用得好，會(huì)使解題過程顯得別具一格，簡捷明快，充分展現(xiàn)我們思維的獨(dú)創(chuàng)性．定比分點(diǎn)公式也是判定或證明兩向量是否共線、平行的有效方法．題型十：數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【例10】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在平行四邊形中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則.【答案】【解析】，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，則，有，，，，，.故答案為：【變式101】（2024·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第四中學(xué)?？计谀┮阎蛄浚瑒t.【答案】【解析】，，，故答案為：.【變式102】（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是．【答案】2【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，由圖可得，，，，，即有．即，，則．故答案為：2．【變式103】（2024·吉林長春·高一長春市第二十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量，，且，則m＝．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，解?故答案為：【方法技巧與總結(jié)】進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，要正確使用公式，并能靈活運(yùn)用以下幾個(gè)關(guān)系．題型十一：平面向量的?！纠?1】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知向量，非零向量與的夾角為，，則.【答案】【解析】因?yàn)椋裕址橇阆蛄颗c的夾角為，，所以，即，所以，解得（舍去）或.故答案為：【變式111】（2024·安徽阜陽·高一校考階段練習(xí)）設(shè)平面向量，，則．【答案】【解析】，則.故答案為：.【變式112】（2024·河北石家莊·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，則．【答案】3【解析】由已知得，，，解得.故答案為：3.【變式113】（2024·上海虹口·高一上外附中?？计谀┤?，且，則的坐標(biāo)為．【答案】或【解析】由，可設(shè)，則，由，得，解得，故或，故答案為：或【變式114】（2024·河南鄭州·高一河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）已知向量，，若，則．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，解得，則，，所以，所以，故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】求向量的模的常見思路及方法（1）求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，即，求模時(shí)，勿忘記開方．（2）或，此性質(zhì)可用來求向量的模，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．題型十二：平面向量的夾角、垂直問題【例12】（2024·河北邢臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，且，的夾角為鈍角，則的取值范圍為【答案】【解析】向量，，且，的夾角為鈍角且，不共線，則,解得：且，故答案為：.【變式121】（2024·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）在平行四邊形ABCD中，，，，，線段AE與BF相交于點(diǎn)G，則.【答案】【解析】如圖，不妨以A為原點(diǎn)，所在直線為橫軸，建立直角坐標(biāo)系，過作軸于M點(diǎn)，由題意可得，，則，，，，，得，，所以.故答案為：.【變式122】（2024·云南昆明·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)x，，向量，，，且，，則向量與的夾角大小為．【答案】【解析】由題意得，解得，故，，則，因?yàn)椋?故答案為：【變式123】（2024·陜西榆林·高一?？计谀┮阎蛄?(1)求；(2)設(shè)的夾角為，求的值；(3)若向量與互相垂直，求的值.【解析】（1）因?yàn)椋?；?）的夾角為，則；（3）因?yàn)?，所以，，由向量與互相垂直得，，所以，化簡得，解得.【變式124】（2024·四川遂寧·高一四川省蓬溪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知向量(1)當(dāng)，且時(shí)，求(2)當(dāng)，，求向量與的夾角α的余弦值.【解析】（1）向量則，，由，可得，即，解得或，又，所以，則，，所以.（2）由，則，由，可得，解得，所以，，，.【方法技巧與總結(jié)】解決向量夾角問題的方法及注意事項(xiàng)（1）求解方法：由直接求出．（2）注意事項(xiàng)：利用三角函數(shù)值求的值時(shí)，應(yīng)注意角的取值范圍是．利用判斷的值時(shí)，要注意時(shí)，有兩種情況：一是是鈍角，二是為；時(shí)，也有兩種情況：一是是銳角，二是為．題型十三：平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用【例13】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在邊長為的正方形中，是中點(diǎn)，則；若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是.【答案】【解析】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎叫蔚倪呴L為，且是中點(diǎn)，則，則，所以；設(shè)，其中，則，則，所以，，則，，其中，，當(dāng)時(shí)，有最小值為.所以的最小值是.故答案為：30；【變式131】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）在等腰梯形ABCD中，已知，，，，動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且，，則的最小值為.【答案】【解析】由題意，，，所以，，又動(dòng)點(diǎn)和分別在線段和上，且，，所以，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，故答案為：．【變式132】（2024·天津和平·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，是線段上的點(diǎn)，且，是線段的中點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，設(shè)，則；若為邊長等于2的正三角形，則.【答案】/0.5【解析】由于，則，又是線段的中點(diǎn)，故，結(jié)合得，故；設(shè)，而，是線段的中點(diǎn)，故，又三點(diǎn)共線，故，則，故，又為邊長等于2的正三角形，則，故答案為：；【變式133】（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中?？计谀┰谄叫兴倪呅沃?，，若點(diǎn)滿足則.【答案】36【解析】由題意得，，所以.故答案為：36.【變式134】（2024·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)，則的最小值為．【答案】【解析】在中，，，，所以，又，所以，以所在直線為軸，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】坐標(biāo)法一、單選題1．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知向量，則（

）A．10 B．5 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：C2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）若，則實(shí)數(shù)（

）A．6 B． C．3 D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，所以，即，解?故選：B.3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知向量，，.若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，由可得，，即，整理?又因?yàn)?，所以，?lián)立，解得或，故，故選C.4．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知向量，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】法一：用坐標(biāo)表示向量由題意可知，，由得，，整理得，，所以．則A對(duì)；法二：因?yàn)橄蛄浚?，又，所以，所?故選：A．5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，，是直線上的一點(diǎn)，若則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，又是直線上的一點(diǎn)，所以，又，所以，所以.故選：B6．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知平行四邊形，若點(diǎn)是邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)處），點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，，設(shè)，，則，，因?yàn)椋?，解得，所以，?故選：C.7．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知平面向量，，若實(shí)數(shù)m，n滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，，又，所以，即，所以與的夾角為,故選：B.8．（2024·四川成都·高一四川省成都市第四十九中學(xué)校校考期末）已知是邊長為1的正的邊上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】取AC的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，直線AC為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)，，，且，時(shí)，取最小值；時(shí)，取最大值，∴的取值范圍是，故選：A.二、多選題9．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知，則（

）A．若，則B．若，則C．的最小值為2D．若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為【答案】AB【解析】已知，若，則，解得，A選項(xiàng)正確；若，則，解得，B選項(xiàng)正確；，，當(dāng)時(shí)，有最小值，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，向量與向量的夾角為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB10．（2024·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．已知，為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則可作為平面的一組基底B．，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得C．兩個(gè)非零向量，，若，則與共線且反向D．中，，，則為等邊三角形【答案】ACD【解析】由，為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，所以設(shè)，所以，則不存在，所以與不共線，則可作為平面的一組基底，故A對(duì)；只有當(dāng)時(shí)，若，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，故B錯(cuò)；因?yàn)閮蓚€(gè)非零向量，，設(shè)與夾角為，由，平方得，，所以，又，所以，則與共線且反向，故C對(duì)；在中，，所以，，所以，由，得，即，則為等邊三角形，故D對(duì).故選：ACD11．（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）若平面向量，，其中，，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則與同向的單位向量為C．若，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．若，則的最小值為【答案】BD【解析】由，，A選項(xiàng)：，則，解得，則，，所以不存在，使，即，不共線，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，則，解得，即，，，所以與同向的單位向量為，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：時(shí)，，又與的夾角為銳角，則，解得，且，即，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，