陜西省咸陽市2023屆高考模擬理科數(shù)學(xué)試題試題及答案

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬試題

數(shù)學(xué)(理科)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1,設(shè)集合4=卜"=戶}‘8=卜，=戶},則48=()

A(-℃,—1]B.fl,+co)

C.[0,1]D,(-<?,-l]u[l,+<x>)

【答案】B

【解析】

【分析】先分別求出集合AB,再根據(jù)交集的定義即可得解.

[詳解]A=y=Jd_]}=[產(chǎn)21或％v-1},

_]>Q1=|X|%

所以A3="”).

故選：B.

2.若(l+ai)i=l-歷，其中a,beR,則|a+bi|=()

A.2B.72C.73D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相等求得。力的值，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算求得答案.

【詳解】由(l+ai)i=l—?dú)v可得一a+i—1~bi,=,

故|a+為|=|—1一i|=7(-l)2+(-l)2=V2，

故選：B

3.已知向量”,/?滿足|〃|=1,|。|=2"-=2.+6,且a,6夾角120>則a.c=()

A.0B.1C.V2D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合數(shù)量積的定義，即可求得答案.

【詳解】由向量4,人滿足|。|=1,|匕|=2,。=2。+8,且。，〃夾角為120，

可得a-c=a?（2a+。）=2。+a,b=2xf+Ix2xcosl20

=2-1=1?

故選：B

4.血氧飽和度是血液中被氧結(jié)合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結(jié)合的血紅蛋白容量的百

分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).正常人體的血氧飽和度一般情

況下不低于96%,否則為供養(yǎng)不足.在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：

S（f）=S°e”描述血氧飽和度S（f）（單位％）隨機(jī)給氧時(shí)間。（單位:時(shí)）的變化規(guī)律，其

中So為初始血氧飽和度，人為參數(shù).已知品=60,給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為70,若

使血氧飽和度達(dá)到正常值，則給氧時(shí)間至少還需要（）小時(shí).（參考數(shù)據(jù)：

In5=1.61,In6=L79/n7=1.95/n8=2.07）

A.1.525B.1.675C.1.725D.1.875

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分別表示出女與股的范圍，然后結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，60e*=70,60e"296,則A=lnU=ln7-ln6,

96

Z：r>ln—=ln8-ln5,

60

…In8-ln52.07-1.61

所以f2--------=----------=2.875,

In7-ln61.95-1.79

則使血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時(shí)間至少還需要2.875-1=1.875小吐

故選：D.

5.若尸是拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，P是拋物線C上任意一點(diǎn)，|PF|的最小值為

1,且A8是拋物線C上兩點(diǎn)，1A可+忸可=6,則線段AB的中點(diǎn)到>軸的距離為

()

A.4B.3C.2D.-

2

【答案】C

【解析】

【分析】利用拋物線定義與性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】由條件可得產(chǎn)除0），設(shè)「（%，%）（玉（2°），

、2(\2(\2

M/一制+22/=卜+?當(dāng)面=0時(shí)取得等號(hào),

故p=2,Ciy2=4x.

設(shè)4（玉,乂）,8（々,必），則A、8中點(diǎn)坐標(biāo)為，-；）2

由拋物線的定義可知|AF|+怛尸|=玉+%2+。=6=玉+%2=4,故N；＞=2.

故選：C

6.2020年初，新型冠狀病毒（COWD-19）引起的肺炎疫情爆發(fā)以來，各地醫(yī)療機(jī)構(gòu)

采取了各種針對(duì)性的治療方法，取得了不錯(cuò)的成效，某醫(yī)療機(jī)構(gòu)開始使用中西醫(yī)結(jié)合方法

后，每周治愈的患者人數(shù)如下表所示：

第X周12345

治愈人數(shù)y（單位：十人）291()1316

由上表可得y關(guān)于X的線性回歸方程為曠=法+1，若第6周實(shí)際治愈人數(shù)為18人，則此

回歸模型第6周的殘差（實(shí)際值減去預(yù)報(bào)值）為（）

A.-1B.0C.]D.2

【答案】A

【解析】

【分析】將樣本中心點(diǎn)（反7）的坐標(biāo)代入回歸直線方程,求出辦的值，可得出回歸直線方程,

再將x=6代入回歸直線方程，用18減去所得結(jié)果即可得解.

【詳解】由表可知，元=（x（l+2+3+4+5）=3,7=1x（2+9+10+13+16）=10,

由于回歸直線過樣本的中心點(diǎn)，貝打0=38+1，解得￡=3，

所以回歸直線方程為y=3x+l，

當(dāng)尤=6代入回歸直線方程可得5=3x6+1=19,

所以第6周的殘差為18—19=—1,

故選：A.

7.如圖所示的菱形A5CD中，=2,NB4O=60,對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)O,將

△ABD沿8。折到二A'BD位置，使平面A3。，平面3CD.以下命題：

①BZ）_LAC；

②平面AOC，平面8C。；

③平面ABC_L平面ACO；

④三棱錐A-BCD體積為1.

其中正確命題序號(hào)為（）

A.①?@B.②③C.③④D.①②④

【答案】D

【解析】

【分析】通過證6。工面AOC可判斷①②；求兩平面所成的二面角可判斷③；得到三棱錐

的高后可判斷④.

【詳解】如圖：

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，NBAT>=60°,

所以AB=AD=BC=CD=BD,。為BO的中點(diǎn)，

所以BDA.CO,A'OcCO=O,AO,COu面AOC,

所以面AOC,又ACu面A'OC,所以BD_LA'C,即①正確；

由①知5。_/面40。，又BDu面BCD,所以平面AOC_L平面BCD,即②正確;

如圖：

取AC的中點(diǎn)為E，連接BE,DE，依題意，AB=3C=A'￡>=CD,

所BEJ.A'E,DEVAC,所以N3E。是二面角3—4C—。的平面角,

又因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，平面A'BD平面BCD=BD,BDIA'O

所以A。_L面BCD，,ABD和△BCD是邊長為2的正三角形，

所以4'0=0C=萬了=G，且有A'O_LOC,

所以在RtZWOC中，A'C=指，

又，ABC和△A'DC是兩全等的等腰三角形，AB=BC=AD=CD=2,

AC的中點(diǎn)為E，所以BE=DE=J2?—（半>=半,

由已知可得△38是邊長為2的正三角形，得80=2,

則在△&）￡：中，容易算得BD=2,BE=DE=叵,BD2BE2+DE2.

2

所以NBEOH90，所以二面角8-AC—￡>不是直二面角，故③錯(cuò)誤；

由己知可得△BCD是邊長為2的正三角形，又由上得AO±面BCD,

所以三棱錐A—5C。的高即為AO,K0=6△BCD是邊長為2的正三角形，

,

所以三棱錐A-的體積為,Sflrn-AO=-xlx2x2x^x^^i,故④正確.

3BCD322

故選：D.

8.已知等比數(shù)列｛為｝滿足《A”=221,則僅“｝的前10項(xiàng)和（）

A.1024B.512C.1023D.5

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)所給遞推關(guān)系，分別求出等比數(shù)列的公比與首項(xiàng)即可得解.

【詳解】因?yàn)榈?+i=22"T,

所以氏+。+2=22n+1,相除可得當(dāng)=q?=2。,

因?yàn)閍,,41M=22"'>0,所以4>°，

所以4=2,

323

又a2a§—ata2=2-a,一2q：=6a：=2—2=6,可得q=±1,

l010

a（1-<177'>1-2

AS10==——=±1023,只有C符合題意，

1-q1-2

故選：C

9.在四棱錐S-AB8中，側(cè)面S4OJ?底面A5CD,側(cè)面SAD是正三角形，底面ABC。

是邊長為26的正方形，設(shè)P是該四棱錐外接球表面上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐P-SAO的體

積最大值為（

A.V15B.2+V15C.V3+3V15

3+V21

【答案】D

【解析】

【分析】作圖分析，確定四棱錐外接球球心位置，求得其半徑，確定三棱錐P-SAO的高的

最大值，根據(jù)棱錐體積公式，即可求得答案.

【詳解】如圖，設(shè)G為底面正方形438的中心，

9c

4g------------%

設(shè)的中點(diǎn)為F,連接即，因?yàn)閭?cè)面S4）是正三角形，故SFLAO，

又側(cè)面SAD_L底面ABC。，側(cè)面SADc底面ABCD=A￡）,SFu平面SAD,

故SFJ_底面ABC。，設(shè)E為工SAQ的中心，則E在S/上，

過點(diǎn)G作底面ABC￡＞的垂線/,則/〃SP,過點(diǎn)E作平面SAQ的垂線，

交/于點(diǎn)0,即為四棱錐S-A8co外接球的球心，且四邊形0GFE為矩形，

則在正三角形中，SE=2x26義立=2,而0E=GF=6,

32

故外接球半徑R=OS=&+（6）2=幣,

由于P是該四棱錐外接球表面上的動(dòng)點(diǎn)，則P到側(cè)面SAQ的最大距離為

K+0E=V7+G

故三棱錐P—SAO的體積最大值為V=；x乎x（2由yx（J7+百）=3+J萬，

故選：D

3

10.某中學(xué)舉行疾病防控知識(shí)競賽，其中某道題甲隊(duì)答對(duì)該題的概率為二，乙隊(duì)和丙隊(duì)答

對(duì)該題的概率都是（2.若各隊(duì)答題的結(jié)果相互獨(dú)立且都進(jìn)行了答題.則甲、乙、丙三支競賽

隊(duì)伍中恰有一支隊(duì)伍答對(duì)該題的概率為（)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可.

【詳解】解：記“甲隊(duì)答對(duì)該題”為事件A,“乙隊(duì)答對(duì)該題”為事件8,“丙隊(duì)答對(duì)該

題”為事件C,

則甲、乙、丙三支競賽隊(duì)伍中恰有一支隊(duì)伍答對(duì)該題的概率

P=P(ABC+ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）

3111211127

=—x-x—+—X—x-+—x—x—=—,

43343343336

故選：C.

11.已知雙曲線￡:：■-表■=l（a>0力>0）的右焦點(diǎn)F是拋物線c2:>2=>（））的

焦點(diǎn)，且它們的公共弦過點(diǎn)尸，則雙曲線的離心率為（）

A.72B.72+1C.百D.73+1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線以及拋物線的對(duì)稱性可推出它們的公共弦垂直于x軸，由此分

別利用拋物線和雙曲線方程求得公共弦長，可得。，仇c的關(guān)系式，即可求得答案.

2

【詳解】拋物線C2:y=2Px（p>0）的焦點(diǎn)為（多0）,

由題意知雙曲線￡:三一點(diǎn)■=13>0力〉0）的右焦點(diǎn)F是拋物線：V=2px">0）

的焦點(diǎn),

可得c=K,設(shè)它們的公共弦為AB,由題意知AB過點(diǎn)F,

2

根據(jù)雙曲線以及拋物線的對(duì)稱性可知ABlx軸,

將尤=。=曰代入C2：V=2px(p>0)中，得V=p2,故|蝴=2〃=4<?,

工2v2V?c?/?2

將工=。代入C:丁一斗=1(。>0,。>0)中，可得二二l,.?.y=±—,

ab~b"a"a

OA27A2

則|AB|=二，所以二=4c,.-.c2-2ac-a2=0,

aa

即e2—2e—1=0,e=五+1,(e=—>/2+1舍去),

故選：B

—xev,x<0

12.己知函數(shù)/(x)=《，則函數(shù)g(x)=/(/(x))-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

ln(x+l),x>0

A.1B.0C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖像，利用換元法令，=/(x),可知/(。=1；結(jié)合函數(shù)圖像

及解析式可求得，的值，再結(jié)合圖像即可確定方程解的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

-xex,x<0

【詳解】函數(shù)/(》)=〈

ln(x+l),x>0

對(duì)y=-xe'=>y'=-(x+l)e[令y'>0=x<-l,令y'<0n()>x>—l,

可知y=-疣、在(9,—1)上單調(diào)遞增，在(—1,0)上單調(diào)遞減,

且x趨向負(fù)無窮時(shí)，y>0,廣-1時(shí)，y=-,

maxe

故結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，可畫出函數(shù)/(x)圖像如下圖所示:

函數(shù)g(x)=/(/(x))-1的零點(diǎn)，即/(/(x))=l,令r=/(x),代入可得/")=l>g,

由圖像可知/=e-l,即/(x)=e-l,

結(jié)合函數(shù)圖像可知，/（x）=e-l有1個(gè)解，

綜合可知，函數(shù)g（x）=/（/（*））-1的零點(diǎn)有1個(gè)，

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.4名醫(yī)護(hù)人員（含甲、乙）去三個(gè)不同的社區(qū)參加核酸檢測，每個(gè)社區(qū)至少去一名，則

甲、乙去同一社區(qū)的方法種數(shù).

【答案】6

【解析】

【分析】將甲、乙捆綁選一個(gè)社區(qū)，然后剩余2個(gè)醫(yī)護(hù)人員再分別選一個(gè)社區(qū)求解.

【詳解】解：因?yàn)榧?、乙去同一社區(qū)，

將甲、乙捆綁選一個(gè)社區(qū)，然后剩余2個(gè)醫(yī)護(hù)人員再分別選一個(gè)社區(qū)，

所以甲、乙去同一社區(qū)的方法種數(shù)=3x2x1=6,

故答案為：6

14.寫出一個(gè)過（1,0）且與直線尤=一1相切的圓的方程.

【答案】（x-l）2+（y—2>=4（答案不唯一）

【解析】

【分析】由直線和圓的位置關(guān)系可知圓心到點(diǎn)（1,0）與直線戶-1的距離相等，建立方程即

可（也可以利用拋物線的定義確定圓心軌跡）.

【詳解】設(shè)圓心（。,力），半徑為r,則—+,2=卜+1|=rn/2=4a/=卜+”,

不妨令。=1,則匕=±2,「=2,故滿足題意的一個(gè)圓的方程為：（x-l）2+（y-2）2=4.

故答案：（x-l）2+（y-2）2=4（答案不唯一）

已知函數(shù)/(x)=Jlsin.n

15.4x+—.對(duì)于下列四種說法:

6

①函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)后,0成中心對(duì)稱;

②函數(shù)/（X）在（-71,71）上有8個(gè)極值點(diǎn);

7U兀

③函數(shù)/（X）在區(qū)間上的最大值為JE；

OO_

④函數(shù)“X）在區(qū)間［一戈］上單調(diào)遞增.

其中正確的序號(hào)是.

【答案】②③

【解析】

H0，則函數(shù)/（X）的圖像不關(guān)于點(diǎn)5,0卜戈中心對(duì)稱;

【分析】對(duì)于①,對(duì)于

7T

②，由X的范圍，得出4x+—的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得取到極值點(diǎn)的位置；對(duì)于

6

③，由X的范圍，得出4X+2的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得出函數(shù)的最值；對(duì)于④,

6

7T

由X的范圍，得出4x+-的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

6

【詳解】對(duì)于①，/^=V2sin^+^=V2sin^=-V2,\/（x）的圖像不關(guān)于

點(diǎn)（三，0）成中心對(duì)稱，錯(cuò)誤；

八z471（23兀25兀、,,71

對(duì)于②，XG（-7C,7Tx）,piiJ4x+-e一一—,則當(dāng)4x十二分別取

6^66J6

TT21TS7TITV

土蕓，土蕓，土當(dāng)時(shí)，函數(shù)/（X）取到極值，正確；

,「兀兀［一兀712兀

對(duì)于③，，則4%+工￡-—，

一88」633

/(x)=V^sin卜元V2,正確;

對(duì)于④，則4x+?e［一2由于正弦函數(shù)在（一等，稱］上不單

V44J6166J<66；

調(diào)，錯(cuò)誤；

故答案為：②③

16.黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，是由德國數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)中有廣泛的

應(yīng)用.黎曼函數(shù)定義在［0,1］上，其解析式如下：

/、4=￡都是正整數(shù)，幺是既約真分?jǐn)?shù)

R（X）=J"P\P人若函數(shù)/（X）是R上的奇函

0,x=0,l或［0,1］上的無理數(shù).

數(shù)，且對(duì)任意的XGR,都有f（l+x）=-當(dāng)［0,1］時(shí)，數(shù)x）=R任）,則

/(2023)+/(20^23)+/(-2-0”23)=

【答案】—

6

【解析】

【分析】利用/(X)為奇函數(shù)和滿足/(l+x)+/(l—x)=O可得/(X)的周期，利用周期

可將/(2023)化為41),結(jié)合41+元)+〃l—x)=0可求/⑴；利用周期和奇函數(shù)性

質(zhì)可將半，-學(xué)化到xe[0,l]內(nèi)利用R(x)解析式求解.

【詳解】〔〃1+力=一/(1一%),又/(x)是奇函數(shù)，

二/(l+x)=〃-l+x)，

.?./(x+2)=/(x),/(x)的一個(gè)周期為2.

?."(2023)=/(2xl011+l)=/(l)=E(l)=0,

故答案為：

6

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答.

(一)必考題：共60分.

17.已知在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足：

sin（8+C）cos2A+gsin2A=0.

D

（1）求角A的大??；

（2）設(shè)a=2,以BC為直徑做半圓（如圖），。是半圓弧上任意一點(diǎn)（除外），連接

DB,DC,求四邊形ABOC的面積的最大值.

【答案】（1）-

3

⑵73+1

【解析】

【分析】（1）由的關(guān)系，結(jié)合三角形內(nèi)角和，即可得出角A的大小;

（2）利用幾何性質(zhì)即可得出四邊形ABDC的面積的最大值.

【小問1詳解】

由題意，

在.ABC中，sin（3+C）cos2A+；sin2A=0,

■:A+B+C=兀,

sinAcos2A+sinAcosA=0即sinA（cosA+cos2A）=0,

*.*sinA>0,

cos2A+cosA=0,

2cos2A+cosA-1=0?

解得：cosA=1或cosA=-l,

2

0<A<7i,

【小問2詳解】

由題意，（1）及圖得，BC=2,

要使四邊形ABCO面積最大，只要使.ABC和△5CD中3c上的高最大,

在，ABC中，

作，ABC的外接圓，

D

''sAIIC=^absinA,由幾何知識(shí)得，當(dāng)-ABC為等邊三角形時(shí)面積最大，

此時(shí)A=60°,a=h=2,SAnr=—a/?sin60°=—x2x2sin60°=V3,

c22

在△BCD中，^BDC=90°,

i1RD^-4-0/)2

SBCDJBDCDsin90。J8。-CD4-,當(dāng)且僅當(dāng)BO=CD時(shí)等號(hào)成立,

BCD224

此時(shí)8。=。。=器=3，S=16O.CO=，x夜x近=1,

由幾何知識(shí)得,fiCDmax

22

為等腰直角三角形，且BC為斜邊時(shí)，面積最大.

?,^ABDCmax=SABCmax+BCDmax=>

18.陽光體育運(yùn)動(dòng)是教育部、國家體育總局、共青團(tuán)中央決定于2007年4月29日在全國范

圍內(nèi)全面啟動(dòng)的一項(xiàng)有利于學(xué)生健康的運(yùn)動(dòng).學(xué)校開展陽光體育運(yùn)動(dòng)，是為切實(shí)推動(dòng)全國億

萬學(xué)生陽光體育運(yùn)動(dòng)的廣泛開展，吸引廣大青少年學(xué)生積極參加體育鍛煉，走向操場，走進(jìn)

大自然，走到陽光下，掀起群眾性體育鍛煉熱潮.某中學(xué)有2000名學(xué)生，其中男生1200人，

女生800人.為了解全校學(xué)生每天進(jìn)行陽光體育的時(shí)間，學(xué)校采用分層抽樣的方法，從中抽

取男女生共100人進(jìn)行問卷調(diào)查.將樣本中的“男生”和"女生”按每天陽光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間(單

位：分鐘)各分為5組：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,8())經(jīng)統(tǒng)計(jì)得下表:

男生[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)

人數(shù)3624243

女生[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)

人數(shù)2141662

(1)用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)全校學(xué)生中每天陽光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在［50,60)分鐘內(nèi)的總?cè)?/p>

數(shù)是多少？

(2)(i)從陽光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不足40分鐘的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1名女

生的概率；

(ii)國家規(guī)定，中學(xué)生平均每人每天陽光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不少于一小時(shí).若該學(xué)校學(xué)生少于

國家標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)校應(yīng)該適當(dāng)增加陽光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間.根據(jù)以上抽樣數(shù)據(jù)，試分析判斷男女生是

否要增加每天陽關(guān)體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間？

【答案】(1)800人

7

(2)(i)—；(ii)男生，女生都需要增加每天陽關(guān)體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，分別計(jì)算男生與女生的人數(shù)，即可得到總?cè)藬?shù)；

(2)(i)根據(jù)題意，由古典概型的概率計(jì)算公式即可得到結(jié)果；

(ii)根據(jù)題意，分別計(jì)算樣本中男生，女生陽光體育鍛煉平均時(shí)間，即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

估計(jì)全校學(xué)生中每天陽光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在［50,60)分鐘內(nèi)的人數(shù)：

男生:1200x”=480人，女生800x”=320人,

6040

總?cè)藬?shù)為480+320=800人.

【小問2詳解】

(i)從表中知，陽光體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不足40分鐘的樣本學(xué)生中共有5人，其中男生3人，

女生2人，

從中隨機(jī)抽取2人的基本事件總數(shù)為C；=1(),其中至少有1名女生的事件數(shù)為C；-C；=7,

7

故所求概率為一.

(ii)樣本中男生陽光體育鍛煉平均時(shí)間

3624243

35x—+45x—+55x—+65x—+75x—58<60,

6060606060

知男生要增加每天陽關(guān)體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間,

樣本中女生陽光體育鍛煉平均時(shí)間

__2._14__166__2__

35x--F45x----F55x---F65x--F75x—=53<60

4040404040

知女生要增加每天陽關(guān)體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間

19.如圖，已知直四棱柱ABC。-A4CQ的底面458是菱形，AB=2,

ND43=60,A4,=3,。|是4c和BQ的交點(diǎn)，M是QC的中點(diǎn).

（1）證明：加/1平面。42；

（2）設(shè)4月的中點(diǎn)為N,求直線MN和平面C5,3所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）^2

44

【解析】

【分析】（1）法1：證明。和根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明

結(jié)論；

法2：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)計(jì)算AM-4=0,AMCD1=0.即

可證明結(jié)論；

（2）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.

【小問1詳解】

證明：法1：證明：在直四棱柱A8CD-中，44，平面4片。12，

44<=平面A^G。，故AAJ_4A，又底面A4G2為菱形，

則AG1BtDt,而AG—=4,AG,你U平面ACC,A,

故gp，平面ACC|A，4Wu平面ACGA，,BR1AM,即AM,用。，

由已知/DAB=60,A6=2得

AC=2AO=2區(qū)AOt=舊+（回=2y/3,AC=AOt，

而M是oc的中點(diǎn)，知AM，。。，又與Anqc=a，4A，QCu平面C4A，

所以平面C3IA.

法2：設(shè)AC和BD的交點(diǎn)為。，取。為原點(diǎn)，直線04,05,。。分別為x，y，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系。-型，

則A(V3,0,0),C(-V3,0,0),0,(0,0,3),

31(0,1,3)，9(0,一1,3),“(一￥，0$,

CB、=(國,3),C0=(73,-1,3),

...(3G03、

AM=(---,0,-)

AMCB,=(--,O,-)-(V3,l,3)=O,

22

AMS=(一￥，0,|>(6,-1,3)=0,

/.AMJ.CB],AM±CD,,又CBtCD、=C,CB,,CD,u平面CB、R,

:.A〃_Z平面CBQi

【小問2詳解】

由(1)知AM是平面cq。的一個(gè)法向量,

取與AM共線的向量”=(-6,0,1)作為平面的一個(gè)法向量,

而M(-冬0$,N吟&3)，即"N=(6,;,|),

設(shè)直線MN和平面所成角為。,0<6><90,

(一60,1).(E_3夜

于是sin0=kos〈〃,MN〉卜n-MN

即直線MN和平面CBR所成角的正弦值為￡11

44

20.知橢圓C：，+}=l(a>6>0)的離心率為三,A6分別為橢圓C的右頂點(diǎn)和上頂

點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。為橢圓C在第一象限上一點(diǎn)，已知四邊形。4OB面積的最大值為1.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為尸，M,N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)(異于頂點(diǎn))，直線

AM,AN分別交于丁軸于點(diǎn)P,Q,設(shè)直線PF,QF的斜率分別為4,e，試問kk2是否為定

值？若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，說明理由.

2

【答案】(1)—+/=1

2

(2)攵「網(wǎng)為定值1.

【解析】

【分析】(1)法一、利用三角換元設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)表示面積結(jié)合三角函數(shù)的值域得出;=夜，

由離心率計(jì)算即可得橢圓方程；

法二、運(yùn)用。點(diǎn)坐標(biāo)表示面積，結(jié)合柯西不等式得=0,由離心率計(jì)算即可得橢圓方

程，

(2)設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)，表示N坐標(biāo)，再表示直線AM,AN方程，求得RQ坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)斜

率公式化簡即可.

JT

法一：設(shè)￡)(acosabsin6?)(0<6?<-),

則四邊形0AD3的面積為工人.。8$6+,。?6(：056=立^出"山(。+3<—^-ab=1,

22242

即"=血，乂3=叵4=2+(：2,解得"痣,6=1,即橢圓C:1+y2=i

a22

法二：如圖，設(shè)D(x,y)(x,y>0),則四邊形。4aB的面積為‘法+,砂=，4伙土+=)

222ab

由柯西不等式得;"(土+^^^所儼+儼\仁)2+(12=曰"=1,即皿=0,

又￡=，N,a2=b2+c2,解得a=e,b=l,即橢圓C:三+y2=i.

a22

設(shè)直線M（%,%）,N（一/，為），其中J+y：=l，

則直線AM:y

令龍=0,得P(0,-W"),

Xo-yj2

直線AN:y=r-(x—y/2),令x=0,得Q(0,----,

-x0->/2x0+V2

又尸(1,0),所以K-k2=kpF,女=，"與_—=J：=1,

QXo+6XO-V2宕-2

綜上知，為定值L

21.已知函數(shù)/'（x）=lnx+」y-@（aeR）

（1）討論函數(shù)〃x）的單調(diào)性；

（2）（i）若/（x）?0恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍;

12〃八/1、

(ii)證明:H—7+…^------7?ln(〃+1)

22325+1)2

【答案】（1）/（X）在（0,竺必*）上遞減，在（“+，1+8,+00）上遞增

22

（2）（i）a<l；（ii）證明見解析

【解析】

【分析】（1）求導(dǎo)

.-a—+8/—a++8、

2a/2+^-222)根據(jù)

f'M=-

Xxxx3x3

<-￡+7778>0,由廣口)<。和八龍)>()求解；

22

(2)由,f(無)20,轉(zhuǎn)化為Q<xlnx+L(x>0),令g(x)=Hnx+L(x>0),用導(dǎo)數(shù)法

求其最小值即可；(ii)由(1)知，取。=1,得到/(工)=1111+二一,2/(1)=0,得

廠x

%—1〃+1,〃+1n

至UinxNr,取x=——，得到in——>--nr求解

x2nn5+1)

【小問1詳解】

由/(x)=lnxd—;---(Q￡R),

XX

—a+cr+8

當(dāng)0<》<絲孚逑時(shí)，r(x)<。，“X)在?Q++8

)上遞減,

當(dāng)X〉竺字也時(shí)，f'(X)>0,/(x)在(空**,+00)上遞增

【小問2詳解】

(i)/(x)>0,即a4xlnx+」(x>0),

令g(x)=xlnx+—(x>0),則g'(x)=lnx+l——7，

xx

令〃(x)=g，(x)=Inx+1--v,

i9

則〃(力=己+彳>0,知Mx)=g'(x)在(0,+s)上遞增,

XX

又g'⑴=0,

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<0,g(x)在(0,1)上遞減,

當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,g(x)在(1,+8)上遞增，

所以g(X)min=g(D=l，

：.a<1

(ii)證明:由(1)知，取a=l,則/(x)=lnx+r——>/(1)=0,

xx

可得InxN上?，取x=K里，有In七口之n

xnn(n+1)2'

2132"+1〉n

In—>—,In—In

122232n(〃+l)2'

[2[3]〃+1、12n

相力口得由7+巾萬+…E〒之耍+?+…+癡萬，

12n

即—+~---1-----------7<ln(n+1).

2232(〃+1)?

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問關(guān)鍵是由（1）取4=1和/（D=0,從而構(gòu)造可得

x-1〃+1i鹿+1