人教初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè) 勾股定理的逆定理教案

17.2勾股定理的逆定理

一、教學(xué)目的

1.體會(huì)勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理。

2.探究勾股定理的逆定理的證明方法。

3.理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：掌握勾股定理的逆定理及證明。

2.難點(diǎn)：勾股定理的逆定理的證明。

三、例題的意圖分析

例1（補(bǔ)充）使學(xué)生了解命題，逆命題，逆定理的概念，及它們之間的關(guān)系。

例2通過讓學(xué)生動(dòng)手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學(xué)生的興趣和

求知欲，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力，再通過探究理論證明方法，使實(shí)踐上升到理論，提高學(xué)

生的理性思維。

例3（補(bǔ)充）使學(xué)生明確運(yùn)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一

般步驟：①先判斷那條邊最大。②分別用代數(shù)方法計(jì)算出a'b，和c'的值。③判斷才+田和

c?是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。

四、課堂引入

創(chuàng)設(shè)情境：⑴怎樣判定一個(gè)三角形是等腰三角形？

⑵怎樣判定一個(gè)三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定進(jìn)行對(duì)比，從勾股定

理的逆命題進(jìn)行猜想。

五、例習(xí)題分析

例1（補(bǔ)充）說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？

⑴同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行。

⑵如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么兩個(gè)實(shí)數(shù)平方相等。

⑶線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。

⑷直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

分析：⑴每個(gè)命題都有逆命題，說逆命題時(shí)注意將題設(shè)和結(jié)論調(diào)換即可，但要分清題設(shè)

和結(jié)論，并注意語言的運(yùn)用。

⑵理順?biāo)麄冎g的關(guān)系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真

一假，還可能都假。

解略。

例2證明：如果三角形的三邊長a,b,c滿足l+b、/,那么這個(gè)三角形是直角三角形。

分析：⑴注意命題證明的格式，首先要根據(jù)題意畫出圖

形，然后寫已知求證。

⑵如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形，現(xiàn)在只知道

若有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形，從而將問題

轉(zhuǎn)化為如何判斷一個(gè)角是直角。

⑶利用已知條件作一個(gè)直角三角形，再證明和原三

角形全等，使問題得以解決。

⑷先做直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計(jì)算斜邊AB=c,則通過三邊對(duì)應(yīng)相

等的兩個(gè)三角形全等可證。

⑸先讓學(xué)生動(dòng)手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學(xué)生的興趣和求知

欲，再探究理論證明方法。充分利用這道題鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力，由實(shí)踐到理論學(xué)生更

容易接受。

證明略。

例3(補(bǔ)充)已知：在AABC中，NA、NB、NC的對(duì)邊分別是a、b、c,a=n2-l,b=2n,

c=n2+l(n>l)

求證：ZC=90°o

分析：⑴運(yùn)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判

斷那條邊最大。②分別用代數(shù)方法計(jì)算出1+9和的值。③判斷alb?和c，是否相等，若

相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。

⑵要證NC=90°,只要證△ABC是直角三角形，并且c邊最大。根據(jù)勾股定理的逆定理

只要證明a'bJc，即可。

⑶由于a'+b'=(n2—1)2+(2n)2=n4+2n2+l,c2=(n2+l)2=n4+2n2+l,AMfOa2+b2=c2,

故命題獲證。

六、課堂練習(xí)

1.判斷題。

⑴在一個(gè)三角形中，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這條邊所對(duì)的角是直角。

⑵命題：”在一個(gè)三角形中，有一個(gè)角是30°,那么它所對(duì)的邊是另一邊的一半?！钡?/p>

逆命題是真命題。

⑶勾股定理的逆定理是：如果兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個(gè)三角形是

直角三角形。

⑷aABC的三邊之比是1：1：叵,則aABC是直角三角形。

2.AABC+ZA,NB、NC的對(duì)邊分別是a、b、c,下列命題中的假命題是()

A.如果NC-NB=NA,則AABC是直角三角形。

B.如果c'b2—a2,則AABC是直角三角形，且/C=90°。

C.如果(c+a)(c-a)=b2,則AABC是直角三角形。

I).如果/A：ZB：ZC=5：2：3,則4ABC是直角三角形。

3.下列四條線段不能組成直角三角形的是()

A.a=8,b=15,c-17

B.a=9,b=12,c=15

C.a=后,b=V3,c-y/2

I),a：b：c-2：3：4

4.已知：在aABC中，NA、NB、NC的對(duì)邊分別是a、b、c,分別為下列長度，判斷該

三角形是否是直角三角形？并指出那一個(gè)角是直角？

⑴a=6,b=2^2,c=M；⑵a=5,b=7,c=9；

⑶a=2,b=6，c=J7；(4)a=5,b=2-j6,c=l。

七、課后練習(xí)，

1.敘述下列命題的逆命題，并判斷逆命題是否正確。

⑴如果如>0,那么1>0；

⑵如果三角形有一個(gè)角小于90°,那么這個(gè)三角形是銳角三角形；

⑶如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的對(duì)應(yīng)角相等；

⑷關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩條線段一定相等。

2.填空題。

⑴任何一個(gè)命題都有，但任何一個(gè)定理未必都有。

⑵“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。”的逆定理是。

⑶在aABC中，若aM/—?jiǎng)taABC是三角形，是直角：

若a'<b"-cl則/B是o

⑷若在AABC中，a=m2—n2,b=2mn,c=m2+n2,則△ABC是三角形。

3.若三角形的三邊是(1)1、百、2；⑵LLL(3)32,42,52(4)9,40,41；

345

(5)(m+n)2-1,2(m+n),(m+n)2+1；則構(gòu)成的是直角三角形的有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

4.已知：在aABC中，NA、NB、NC的對(duì)邊分別是a、b、c,分別為下列長度，判斷

該三角形是否是直角三角形？并指出那一個(gè)角是直角？

⑴a=9,b=41,c=40；(2)a=15,b=16,c=6；

⑶a=2,b=2VJ,c=4；

(4)a=5k,b=12k,c=13k(k>0)o

八、參考答案：

課堂練習(xí)：

1.對(duì)，錯(cuò)，錯(cuò)，對(duì);2.D；

3.D；4.⑴是,4B；(2)不是;⑶是，4C；⑷是,4Ao

課后練習(xí)：

1.⑴如果a">。，那么a'X)；假命題。

⑵如果三角形是銳角三角形，那么有一個(gè)角是銳角；真命題。

⑶如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形全等；假命題。

⑷兩條相等的線段一定關(guān)于某條直線對(duì)稱；假命題。

2.⑴逆命題，逆定理；⑵內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；⑶直角，ZB,鈍角；⑷直角。

3.B4.⑴是，NB；⑵不是，；(3)是，NC；⑷是，NC。

課后反思：

17.2勾股定理的逆定理(二)

教案總序號(hào)：14時(shí)間：

一、教學(xué)目的

1.靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。

2.進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。

2.難點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題。

三、例題的意圖分析

例1(見教材例題)讓學(xué)生養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題的意識(shí)。

例2(補(bǔ)充)培養(yǎng)學(xué)生利用方程思想解決問題，進(jìn)一步養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決

實(shí)際問題的意識(shí)。

四、課堂引入N

創(chuàng)設(shè)情境：在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而使用一

些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法。

五、例習(xí)題分析

例1（見教材）

分析：⑴了解方位角，及方位名詞；I

⑵依題意畫出圖形；

⑶依題意可得PR=12X1.5=18,PQ=16X1.5=24,QR=30；

⑷因?yàn)?42+182=3（）2,PQ2+PR2=QR2,根據(jù)勾股定理的逆定理,知NQPR=90°；

⑸NPRS=/QPR-/QPS=45°。

小結(jié)：讓學(xué)生養(yǎng)成“己知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識(shí)。

例2（補(bǔ)充）一根30米長的細(xì)繩折成3段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊的長度比較

短邊長7米，比較長邊短1米，請(qǐng)你試判斷這個(gè)三角形的形狀。

分析：⑴若判斷三角形的形狀，先求三角形的三邊長；

⑵設(shè)未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長5、12、13：

⑶根據(jù)勾股定理的逆定理，由于+122=132,知三角形為直角三角形。

解略。

六、課堂練習(xí)c

1.小強(qiáng)在操場(chǎng)上向東走80m后，又走了60m,再走100m回到原Jk

地。小強(qiáng)在操場(chǎng)上向東走了80m后，又走60m的方向\

2.如圖，在操場(chǎng)上豎直立著一根長為2米的測(cè)影竿,早晨測(cè)得/------

它的影長為4米，中午測(cè)得它的影長為1米，則A、B、C三點(diǎn)能‘

否構(gòu)成直角三角形？為什么？N

3.如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海

域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩

個(gè)基地前去攔截，六分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截。已知甲J，\

巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，—-------------

航向?yàn)楸逼?0°,問：甲巡邏艇的航向？

七、課后練習(xí)

1.一根24米繩子，折成三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長分別為____________,

此三角形的形狀為。A

2.一根12米的電線桿AB,用鐵絲AC、AD固定，現(xiàn)已知用去A

鐵絲AC=15米，AD=13米，又測(cè)得地面上B、C兩點(diǎn)之間距離是/\

9米，B、D兩點(diǎn)之間距離是5米，則電線桿和地面是否垂直，/\

為什么？/\

3.如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些JBc

D

蔬菜，爸爸讓小明計(jì)算一下土地的面積，以便計(jì)算一下產(chǎn)量。D______________c

小明找了一卷米尺，測(cè)得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12V.\

米，又已知NB=90°。\

八、參考答案：

課堂練習(xí)：A

1.向正南或正北。

2.能，因?yàn)锽CJBD2+CD2=20,AC2=AD2+CD2=5,AB2=25,所以螃+人代AB1

3.由aABC是直角三角形，可知NCAB+NCBA=90°,所以有NCAB=40°,航向?yàn)楸逼珫|50°。

課后練習(xí)：

1.6米，8米，10米，直角三角形；

2.AABC^ZXABD是直角三角形，AB和地面垂直。

3.提示：連結(jié)A示AC2=AB2+BC2=25,AC2+AD2=CD2,因此NCAB=90°,

S四邊彩=SAADC+SAABC=36平方米。

課后反思：

17.2勾股定理的逆定理（三）

教案總序號(hào)：15時(shí)間:

一、教學(xué)目的

1.應(yīng)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形。

2.靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解綜合題。

3.進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：利用勾股定理及逆定理解綜合題。

2.難點(diǎn)：利用勾股定理及逆定理解綜合題。

三、例題的意圖分析

例1（補(bǔ)充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。

例2（補(bǔ)充）使學(xué)生掌握研究四邊形的問題，通常添置輔助線把它轉(zhuǎn)化為研究三角形的

問題。本題輔助線作平行線間距離無法求解。創(chuàng)造3、4、5勾股數(shù)，利用勾股定理的逆定理

證明DE就是平行線間距離。

例3（補(bǔ)充）勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用，注意條件的轉(zhuǎn)化及變形。

四、課堂引入

勾股定理和它的逆定理是黃金搭檔，經(jīng)常綜合應(yīng)用來解決一些難度較大的題目。

五、例習(xí)題分析

例1（補(bǔ)充）已知：在AABC中，NA、NB、ZC的對(duì)邊分別是a、b、c,滿足

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。

試判斷△ABC的形狀。

分析：⑴移項(xiàng)，配成三個(gè)完全平方；⑵三個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,AD

則都為0;⑶已知a、b、c,利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形I\

狀為直角三角形。\

例2（補(bǔ)充）已知：如圖，四邊形ABCD,AD〃BC,AB=4,BC=6,|\

CD=5,AD=3,BEC

求：四邊形ABCD的面積。

分析：⑴作DE〃AB,連結(jié)BD,則可以證明△ABDg/\EDB（ASA）；

⑵DE=AB=4,BE=AD=3,EC=EB=3；⑶在aDEC中，3、4、5勾股數(shù),Z\DEC為直角三角形,

BDA

DE1BC；⑷利用梯形面積公式可解，或利用三角形的面積。

例3(補(bǔ)充)已知：如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，且CD，=AD?BD。

求證：AABC是直角三角形?

分析：?E所球,BC2=CD2+BD2

.,.AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2

=AD2+2AD-BD+BD2

=(AD+BD)2=AB2

六、課堂練習(xí)

1.若aABC的三邊a、b、c,滿足(a-b)(a+b2-c2)=0,則△ABC是()

A.等腰三角形；

B.直角三角形；

C.等腰三角形或直角三角形；

D.等腰直角三角形。

2.若aABC的三邊a、b、c,滿足a：b：c=l：1：及，試判斷AABC

的形狀。//

313Af/

3.已知：如圖，四邊形ABCD,AB=1,BC=—,CD=—,AD=3,且AB_L

44/

求：四邊形ABCD的面積。

4.己知：在△ABC中，ZACB=90°,CD_LAB于D,且CD?=AD?BD。

求證：AABC中是直角三角形。

七、課后練習(xí)，

1.若△ABC的三邊a、b、c滿足a2+b*+c2+50=6a+8b+10c,

求4ABC的面積。

2.在△ABC中，AB=13cm,AC=24cm,中線BD=5cm。

求證：AABC是等腰三角形.

3.已知：如圖，Nl=/2,AD=AE,D為BC上一點(diǎn)，且BD=DC,

AC=AE2+CE%

求證：AB2=AE2+CE2O4.已知△ABC的三邊為a、b、c,且a+b=4,ab=l,c=V14,試判

定aABC的形狀。

八、參考答案：

課堂練習(xí)：

1.C；

2.Z^ABC是等腰直角三角形；

3.2

4

4.提示:VAC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2,AAC2+BC2=AD2+2CD2+BD=

AD2+2AD?BD+BD2=(AD+BD)2=AB2,AZACB=90°。

課后練習(xí)：

1.6；

2.提示：因?yàn)锳D'BDJAB'所以ADJ_BD,根據(jù)線段垂直平分線的判定可知AB=BC。

3.提示:WAC2=AE2+CE2^ZE=90"；由△ADC-ZXAEC,得AD=AE,CD=CE,ZADC=ZBE=90°,

根據(jù)線段垂直平分線的判定可知AB=AC,則AB2=AE2+CE\

4.提示：直角三角形,用代數(shù)方法證明，因?yàn)椋╝+b）2=16,a2+2ab+b2=16,ab=l,所以a2+b2=14,.

又因?yàn)椤?=14,所以a'+b'c?。

課后反思：

平行四邊形的判定一一三角形的中位線

【.課標(biāo)要求】

1.理解三角形中位線的概念，掌握它的性質(zhì).

2.能較熟練地應(yīng)用三角形中位線性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.

課標(biāo)3.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，,進(jìn)一步發(fā)展推理論證的能力.

解讀4.能運(yùn)用綜合法證明有關(guān)三角形中位線性質(zhì)的結(jié)論.理解在證明過程中所運(yùn)用的歸納、類

與比、轉(zhuǎn)化等思想方法.

教材教學(xué)內(nèi)容分析：

分析1、證明三角形中位線的性質(zhì)時(shí)，題中輔助線的添加都是一大難點(diǎn)，因此教師一定要重點(diǎn)

分析輔助線的作法的思考過程.

2、強(qiáng)調(diào)三角形的中位線與中線的區(qū)別

3、要把三角形中位線性質(zhì)的特點(diǎn)、條件、結(jié)論及作用交代清楚

知識(shí)

1、理解三角形中位線的概念，掌握它的性質(zhì)

與

2、能較熟練地應(yīng)用三角形中位線性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.

技能

教

學(xué)過程

目與經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展推理論證的能力.

標(biāo)方法

情感

能運(yùn)用綜合法證明有關(guān)三角形中位線性質(zhì)的結(jié)論.理解在證明過程中所運(yùn)用的歸

態(tài)度

納、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法.

價(jià)值觀

教學(xué)

重點(diǎn)掌握和運(yùn)用三角形中位線的性質(zhì).

重點(diǎn)

與

難點(diǎn)難點(diǎn)三角形中位線性質(zhì)的證明（輔助線的添加方法）.

媒體教

三角板

具

課時(shí)1課時(shí)

教學(xué)過程

修改欄

教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)

一、課堂引入

1.平行四邊形.的性質(zhì)；平行四邊形的判定；它們之間

有什么聯(lián)系？

平行四邊形知識(shí)的運(yùn)用

2.你能說說平行四邊形性質(zhì)與判定的用途嗎？包括三個(gè)方面：一是直接

運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)

（答：平行四邊形知識(shí)的運(yùn)用包括三個(gè)方面：一是直接去解決某些問題.例如求

運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)去解決某些問題.例如求角的度角的度數(shù)，線段的長度，

數(shù)，線段的長度，證明角相等或線段相等等；二是判定證明角相等或線段相等

一個(gè)四邊形是平行四邊形，從而判定直線平行等；三是等；二是判定一個(gè)四邊形

是平行四邊形，從而判定

先判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，然后再眼再用平行四

直線平行等；三是先判定

邊形的性質(zhì)去解決某些問題.）

一個(gè)四邊形是平行四邊

形，然后再眼再用平行四

3.創(chuàng)設(shè)情境

邊形的性質(zhì)去解決某些

實(shí)驗(yàn)：請(qǐng)同學(xué)們思考：A問題.

將任意一個(gè)三角形分.成四個(gè)

全等的二角形，你是如何切

割的？（答案如圖）BL___^c

F

.圖中有幾個(gè)平行四邊

形？你是如何判斷的？

二、定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中

位線.

【思考】：

（1）想一想：①一個(gè)三角形的中位線共有幾條？②三角一個(gè)三角形的中位線共

形的中位線與中線有什么區(qū)別？有三條；三角形的中位線

與中線的區(qū)別主要是線

（2）三角形的中位線與第三邊有怎樣的關(guān)系？

段的端點(diǎn)不同.中位線是

（答：（1）一個(gè)三角形的中位線共有三條；三角形的中

中點(diǎn)與中點(diǎn)的連線；中線

位線與中線的區(qū)別主要是線段的端點(diǎn)不同.中位線是中是頂點(diǎn)與,對(duì)邊中點(diǎn)的連

點(diǎn)與中點(diǎn)的連線；中線是頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線.（2）線.

三角形的中位線與第三邊的關(guān)系：三角形的中位線平行

與第三邊，且等于第三邊的一半.）

三角形中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行與第三邊，三角形的中位線與第三

邊的關(guān)系：三角形的中位

且等于第三邊的一半.

線平行與第三邊，且等于

K拓展X利用這一定理，你能證明出在設(shè)情境中分割出

第三邊的一半.

來的四個(gè)小三角形全等嗎？（讓學(xué)生口述理由）

三、例題分析

例1如圖，點(diǎn)D、E、分別為aABC

邊AB、AC的中點(diǎn)，求證：DE〃BC且

DE=-BC.

2

分析：所證明的結(jié)論既有平行關(guān)

系，又有數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想已學(xué)過的

知識(shí)，可以把要證明的內(nèi)容轉(zhuǎn)化到一個(gè)平行四邊形中,

利用平行四邊形的對(duì)邊平行且

相等的性質(zhì)來證明結(jié)論成立,從

所證明的結(jié)論既有平行

而使問題得到解決，這就需要添

關(guān)系，又有數(shù)量關(guān)系，聯(lián)

加適當(dāng)?shù)妮o助線來構(gòu)造平行四

想已學(xué)過的知識(shí)，可以把

邊形.

⑴要證明的內(nèi)容轉(zhuǎn)化到一

方法1：如圖(1),延長DE

個(gè)平行四邊形中，利用平

到F,使EF=DE,連接CF,由4ADE絲△CFE,可得AD〃

行四邊形的.對(duì)邊平行且

FC,且AD=FC,因此有BD〃FC,BD=FC,所以四邊形BCFD

是平行四邊形.所以DF〃BC,DF=BC,因?yàn)镈E=，DF,所相等的性質(zhì)來證明結(jié)論

2成立，從而使問題得到解

以DE/7BC且DE=，BC.決，這就需要添加適當(dāng)?shù)?/p>

2輔助線來構(gòu)造平行四邊

(也可以過點(diǎn)C作CF〃AB交DE的延長線于F.點(diǎn)，證明形.

方法與上面大體相同)

方法2：如圖(2),延長DE

到F,使EF=DE,連接CF、CD

和AF,又AE=EC,所以四邊形

ADCF是平行四邊形.所以AD

//FC,且AD=FC.因?yàn)锳D=BD,

所以BD〃FC,且BD=FC.所以

四邊形ADCF是平行四邊形.所以DF〃BC,且DF=BC,因

為DE=」DF,所以DE〃BC且DE=」BC.

22

例2(補(bǔ)充)已知：如圖(1),在四邊形ABCD中，E、

F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).

求證：四邊形EFGH是平行

四邊形.

分析：因?yàn)橐阎c(diǎn)E、F、

G、H分別是線段的中點(diǎn)，可以

設(shè)法應(yīng)用三角形中位線性質(zhì)找

到四邊形EFGH的邊之間的關(guān)系.由于四邊形的對(duì)角線可

以把四邊形分成兩個(gè)三角形，所以添加輔助線，連接AC

或BD,構(gòu)造“三角形中位線”的基本圖形后，此題便可

得證.

證明：連結(jié)AC（圖（2））,ADAG中，

?/AH=HD,CG=G1）,

二HG〃人C,HG=-AC（三角形中位線性質(zhì)）.

2

一同理EF〃AC,EF=-AC.

2

二HG〃EF,且HG=EF.

二四邊形EFGH是平行四邊形.

此題可得結(jié)論：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的

四邊形是平行四邊形.

板書

設(shè)計(jì)

作業(yè)

布置

教學(xué)

反思

18.1.1平行四邊形的性質(zhì)

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.理解并掌握平行四邊形的概念和平行四邊形對(duì)邊、對(duì)角相等的性質(zhì).

2.會(huì)用平行四邊形的性質(zhì)解決簡單的平行四邊形的計(jì)算問題，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)的論證.

3.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力及邏輯推理能力.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：平行四邊形的定義，平行四邊形對(duì)角、對(duì)邊相等的性質(zhì)，以及性質(zhì)的應(yīng)用.

2.難點(diǎn)：運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.

3.難點(diǎn)的突破方法：

本節(jié)的主要內(nèi)容是平行四邊形的定義和平行四邊形對(duì)邊相等、對(duì)角相等的性質(zhì).這一節(jié)

是全章的重點(diǎn)之一，學(xué)好本節(jié)可為學(xué)好全章打下基礎(chǔ).

學(xué)習(xí)這一節(jié)的基礎(chǔ)知識(shí)是平行線性質(zhì)、全等三角形和四邊形，課堂上可引導(dǎo)學(xué)生回憶有

關(guān)知識(shí).

平行四邊形的定義在小學(xué)里學(xué)過，學(xué)生是不生疏的，但對(duì)于概念的本質(zhì)屬性的理解并不

深刻，所以這里并不是復(fù)習(xí)鞏固的問題，而是要加深理解，要防止學(xué)生把平行四邊形概念當(dāng)

作已知，而不重視對(duì)它的本質(zhì)屬性的掌握.

為了有助于學(xué)生對(duì)平行四邊形本質(zhì)屬性的理解，在講平行四邊形定義前，要把平行四邊

形的對(duì)邊、對(duì)角讓學(xué)生認(rèn)清楚.

講定義時(shí)要強(qiáng)調(diào)“四邊形”和“兩組對(duì)邊分別平行”這兩個(gè)條件，一個(gè)“四邊形”必須

具備有“兩組對(duì)邊分別平行”才是平行四邊形；反之，平行四邊形，就一定是有“兩組對(duì)邊

分別平行”的一個(gè)“四邊形”.要指出，定義既是平行四邊形的一個(gè)判定方法，又是平行四

邊形的一個(gè)性質(zhì).

新教材是先讓學(xué)生用觀察、度量和猜想的方法得到平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等這

兩條性質(zhì)的，然后用兩個(gè)三角形全等，證明了這兩條性質(zhì).這有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、

猜想、歸納知識(shí)的自學(xué)能力.

教學(xué)中可以通過大量的生活中的實(shí)例：如推拉門、汽車防護(hù)鏈、書本等引入新.課，使

學(xué)生在已有的知識(shí)和認(rèn)知的基礎(chǔ)上去探索數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，達(dá)到用問題創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，提高

學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

然后讓學(xué)生通過具體問題的觀察、猜想.出一些不同于一般四邊形的性質(zhì)，進(jìn)一步由學(xué)

生歸納總結(jié)得到平行四邊形的性質(zhì).同時(shí)教師整理出一種推導(dǎo)平行四邊形性質(zhì)的范式，讓學(xué)

生在教師的范式的誘導(dǎo)下，初步達(dá)到演繹數(shù)學(xué)論證過程的能力.

最后通過不同層次的典型例、習(xí)題，讓學(xué)生自己理解并掌握本節(jié)課的知識(shí).

三、例題的意圖分析

教材P42的例1,它是平行四邊形性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，題目比較簡單，其目的就是讓學(xué)生能

運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算，講課時(shí)，可以讓學(xué)生來解答.例2是補(bǔ)充的一道幾

何證明題，即讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證，又讓學(xué)生從較簡單的幾何

論證開始，提高學(xué)生的推理論證能力和邏輯思維能力，學(xué)會(huì)演繹幾何論證的方法.此題應(yīng)讓

學(xué)生自己進(jìn)行推理論證.

四、課堂引入

我們一起來觀察下圖中的竹籬笆格子和汽車的防護(hù)鏈，想一想它們是什么兒何圖形

的形象？

平行四邊形是我們常見的圖形，你還能舉出平行四邊形在生活中應(yīng)用的例子嗎？

你能總結(jié)出平行四邊形的定義嗎？

（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.A_______________D

（2）表示：平行四邊形用符號(hào)“口”來表示.77

如圖，在四邊形ABCD中，AB〃DC,AD〃BC,那么四邊//

形ABCD是平行四邊形.平行四邊形ABCD記作“OABCD”，Bc

讀作“平行四邊形ABCD”.

?：ABHDC、AD〃BC,四邊形/靦是平行四邊形（判定）；

②..?四邊形ABCD是平行四邊形...曲/%,AD//BC（性質(zhì)）.

注意：平行四邊形中對(duì)邊是指無公共點(diǎn)的邊，對(duì)角是指不相鄰的角，鄰邊是指有公共端

點(diǎn)的邊，鄰角是指有一條公共邊的兩個(gè)角.而三角形對(duì)邊是指一個(gè)角的對(duì)邊，對(duì)角是指一條

邊的對(duì)角.（教學(xué)時(shí)要結(jié)合圖形，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)清楚）

2.【探究】平行四邊形是一種特殊的四邊形，它除具有四邊形的性質(zhì)和兩組對(duì)邊分別

平行外，還有什么特殊的性質(zhì)呢？我們一起來探究一下.

讓學(xué)生根據(jù)平行四邊形的定義畫一個(gè)一個(gè)平行四邊形，觀察這個(gè)四邊形，它除具有四邊

形的性質(zhì)和兩組對(duì)邊分別平行外以，它的邊和角之間有什么關(guān)系？度量一下，是不是和.你

猜想的一致？

（1）由定義知道，平行四邊形的對(duì)邊平行.根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，在平行四邊形中，

相鄰的角互為補(bǔ)角.

（相鄰的角指四邊形中有一條公共邊的兩個(gè)角.注意和第一章的鄰角相區(qū)別.教學(xué)時(shí)結(jié)合

圖形使學(xué)生分辨清楚.）與

（2）猜想平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等.八奧7

下面證明這個(gè)結(jié)論的正確性./、、、、J

已知：如圖CABCD.,BL-----------2c

求證：AB=CD,CB=AD,ZB=Z.D,ZBAD=ZBCD.

分析：作口ABCD的對(duì)角線AC,它將.平行川邊形分成aABC和ACDA,證明這兩個(gè)三角形

全等即可得到結(jié)論.

（作對(duì)角線是解決四邊形問題常用的輔助線，通過作對(duì)角線，可以把未知問題轉(zhuǎn)化為己知

的關(guān)于三角形的問題.）

證明：連接AC,

AB〃CD,AD〃BC,

，Z1=Z3,Z2=Z4.

又AC=CA,

二AABC^ACDA（ASA）.

AB=CD,CB=AD,NB=ND.

又Z1+Z4=Z2+Z3,

ZBAD=ZBCD.

由此得到：

平行四邊形性質(zhì)1平行四邊形的對(duì)邊相等.

平行四邊形性質(zhì)2平行四邊形的對(duì)角相等.

五、例習(xí)題分析

例1（教材P42例1）

例2（補(bǔ)充）.如圖,在平行四邊形ABCD中,AE=CF,

求證：AF=CE.

分析：要證AF=CE,需證4ADF絲ACBE,由于四邊形ABCD是平行四邊形，因此有ND=/B,

AD=BC,AB=CD,又AE=CF,根據(jù)等式性質(zhì)，可得BE=DF.由“邊角邊”可得出所需要的結(jié)論.

證明略.

六、隨堂練習(xí)

1.填空：

（1）在口ABCD中，ZA=50°,貝l」NB=度，ZC=度，ZD=度.

（2.）如果口ABCD中，NA—NB=240,貝|NA=_度，ZB=_度，ZC=—度，ZD=_度.

（3）如果ZZ7ABCD的周長為28cm,且AB：BC=2:5,那么AB=cm,BC=cm,CD=cm,

CD=cm.

2.如圖4.3—9,在二7ABCD中，AC為對(duì)角線，BE±AC,DF±

AC,E、F為垂足，求證：BE=DF.

七、課后練習(xí)

1.（選擇）在下列圖形的性質(zhì)中，平行四邊形不一定具有的是（）.

（A）對(duì)角相等（B）對(duì)角互補(bǔ)（C）鄰角互補(bǔ)（D）內(nèi)角和是360。

2.在GABCD中，如果EF〃AD,GH〃CD,EF與GH相交與點(diǎn)0,那么圖中的平行四邊形一共有

（）.

（A）4個(gè)（B）5個(gè)（C）8個(gè)（D）9個(gè)

3.如圖，AD〃BC,AE〃CD,BD平分NABC,求證AB=CE.

A,-------JD

BEC

課后反思:

18.1.1平行四邊形的性質(zhì)

三、教學(xué)目標(biāo)：

1.理解并掌握平行四邊形的概念和平行四邊形對(duì)邊、對(duì)角相等的性質(zhì).

2.會(huì)用平行四邊形的性質(zhì)解決簡單的平行四邊形的計(jì)算問題，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)的論證.

3.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力及邏輯推理能力.

四、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：平行四邊形的定義，平行四邊形對(duì)角、對(duì)邊相等的性質(zhì)，以及性質(zhì)的應(yīng)用.

2.難點(diǎn)：運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.

3.難點(diǎn)的突破方法：

本節(jié)的主要內(nèi)容是平行四邊形的定義和平行四邊形對(duì)邊相等、對(duì)角相等的性質(zhì).這一節(jié)

是全章的重點(diǎn)之一，學(xué)好本節(jié)可為學(xué)好全章打下基礎(chǔ).

學(xué)習(xí)這一節(jié)的基礎(chǔ)知識(shí)是平行線性質(zhì)、全等三角形和四邊形，課堂上可引導(dǎo)學(xué)生回憶有

關(guān)知識(shí).

平行四邊形的定義在小學(xué)里學(xué)過，學(xué)生是不生疏的，但對(duì)于概念的本質(zhì)屬性的理解并不

深刻，所以這里并不是復(fù)習(xí)鞏固的問題，而是要加深理解，要防止學(xué)生把平行四邊形概念當(dāng)

作已知，而不重視對(duì)它的本質(zhì)屬性的掌握.

為了有助于學(xué)生對(duì)平行四邊形本質(zhì)屬性的理解，在講平行四邊形定義前，要把平行四邊

形的對(duì)邊、對(duì)角讓學(xué)生認(rèn)清楚.

講定義時(shí)要強(qiáng)調(diào)“四邊形”和“兩組對(duì)邊分別平行”這兩個(gè)條件，一個(gè)“四邊形”必須

具備有“兩組對(duì)邊分別平行”才是平行四邊形；反之，平行四邊形，就一定是有“兩組對(duì)邊

分別平行”的一個(gè)“四邊形”.要指出，定義既是平行四邊形的一個(gè)判定方法，又是平行四

邊形的一個(gè)性質(zhì).

新教材是先讓學(xué)生用觀察、度量和猜想的方法得到平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等這

兩條性質(zhì)的，然后用兩個(gè)三角形全等，證明了這兩條性質(zhì).這有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、

猜想、歸納知識(shí)的自學(xué)能力.

教學(xué)中可以通過大量的生活中的實(shí)例：如推拉門、汽車防護(hù)鏈、書本等引入新.課，使

學(xué)生在已有的知識(shí)和認(rèn)知的基礎(chǔ)上去探索數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，達(dá)到用問題創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，提高

學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

然后讓學(xué)生通過具體問題的觀察、猜想.出一些不同于一般四邊形的性質(zhì)，進(jìn)一步由學(xué)

生歸納總結(jié)得到平行四邊形的性質(zhì).同時(shí)教師整理出一種推導(dǎo)平行四邊形性質(zhì)的范式，讓學(xué)

生在教師的范式的誘導(dǎo)下，初步達(dá)到演繹數(shù)學(xué)論證過程的能力.

最后通過不同層次的典型例、習(xí)題，讓學(xué)生自己理解并掌握本節(jié)課的知識(shí).

三、例題的意圖分析

教材P42的例1,它是平行四邊形性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，題目比較簡單，其目的就是讓學(xué)生能

運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算，講課時(shí)，可以讓學(xué)生來解答.例2是補(bǔ)充的一道幾

何證明題，即讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證，又讓學(xué)生從較簡單的幾何

論證開始，提高學(xué)生的推理論證能力和邏輯思維能力，學(xué)會(huì)演繹幾何論證的方法.此題應(yīng)讓

學(xué)生自己進(jìn)行推理論證.

四、課堂引入

我們一起來觀察下圖中的竹籬笆格子和汽車的防護(hù)鏈，想一想它們是什么兒何圖形

的形象？

平行四邊形是我們常見的圖形，你還能舉出平行四邊形在生活中應(yīng)用的例子嗎？

你能總結(jié)出平行四邊形的定義嗎？

（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.A_______________D

（2）表示：平行四邊形用符號(hào)“口”來表示.77

如圖，在四邊形ABCD中，AB〃DC,AD〃BC,那么四邊//

形ABCD是平行四邊形.平行四邊形ABCD記作“OA