2024屆江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)禮嘉中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)禮嘉中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是()A． B．C． D．2．下列說法中正確的是（）①相關(guān)系數(shù)用來衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，越接近于，相關(guān)性越弱；②回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心；③隨機(jī)誤差滿足，其方差的大小用來衡量預(yù)報(bào)的精確度；④相關(guān)指數(shù)用來刻畫回歸的效果，越小，說明模型的擬合效果越好.A．①② B．③④ C．①④ D．②③3．命題p:?x∈Ν，x3<x2；命題q:?a∈0,1A．p假q真 B．p真q假C．p假q假 D．p真q真4．甲、乙兩位同學(xué)將高三6次物理測(cè)試成績(jī)做成如圖所示的莖葉圖加以比較（成績(jī)均為整數(shù)滿分100分），乙同學(xué)對(duì)其中一次成績(jī)記憶模糊，只記得成績(jī)不低于90分且不是滿分，則甲同學(xué)的平均成績(jī)超過乙同學(xué)的平均成績(jī)的概率為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，，若方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．6．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù),且滿足,則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為()A．4 B．-1 C．1 D．-47．甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)報(bào)名參加社區(qū)服務(wù)活動(dòng),社區(qū)服務(wù)活動(dòng)共有關(guān)愛老人?環(huán)境監(jiān)測(cè)?教育咨詢?交通宣傳?文娛活動(dòng)五個(gè)項(xiàng)目,每人限報(bào)其中一項(xiàng),記事件為“5名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”,事件為“只有甲同學(xué)一人報(bào)關(guān)愛老人項(xiàng)目”,則()A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．9．設(shè)數(shù)列，()都是等差數(shù)列，若，則等于（）A．60 B．62 C．63 D．6610．已知，（），則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）A． B． C． D．11．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．12．定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若對(duì)任意的正實(shí)數(shù),都有恒成立,則使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍為(

)A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布如下：則的值為__________．14．若變量，滿足約束條件則的最大值為______．15．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．16．方程的解為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程（為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）直線l的極坐標(biāo)方程是，射線與圓C的交點(diǎn)為O、P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段的長(zhǎng).18．（12分）某學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活，以班級(jí)為單位組織學(xué)生開展古詩(shī)詞背誦比賽，隨機(jī)抽取一首，背誦正確加10分，背誦錯(cuò)誤減10分，且背誦結(jié)果只有“正確”和“錯(cuò)誤”兩種．其中某班級(jí)學(xué)生背誦正確的概率，記該班級(jí)完成首背誦后的總得分為.(1)求且的概率；(2)記，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．19．（12分）有甲、乙兩個(gè)游戲項(xiàng)目，要參與游戲，均需每次先付費(fèi)元（不返還），游戲甲有種結(jié)果：可能獲得元，可能獲得元，可能獲得元，這三種情況的概率分別為，，；游戲乙有種結(jié)果：可能獲得元，可能獲得元，這兩種情況的概率均為.（1）某人花元參與游戲甲兩次，用表示該人參加游戲甲的收益（收益=參與游戲獲得錢數(shù)-付費(fèi)錢數(shù)），求的概率分布及期望；（2）用表示某人參加次游戲乙的收益，為任意正整數(shù)，求證：的期望為.20．（12分）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，（1）求．（2）在復(fù)平面內(nèi)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，若是直角，求實(shí)數(shù)的值．21．（12分）若函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)有極值為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若有個(gè)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值;（2）當(dāng)時(shí)，證明：;（3）設(shè)函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，從而可得結(jié)論.【題目詳解】根據(jù)的圖象可知，當(dāng)或時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由此可知函數(shù)在和處取得極值，并且在處取得極大值，在處取得極小值，所以的圖象最有可能的是C.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想和分析能力.解決此類問題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，一定要注意極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反.2、D【解題分析】

運(yùn)用相關(guān)系數(shù)、回歸直線方程等知識(shí)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析即可【題目詳解】①相關(guān)系數(shù)用來衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱，越接近于，相關(guān)性越強(qiáng)，故錯(cuò)誤②回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，故正確③隨機(jī)誤差滿足，其方差的大小用來衡量預(yù)報(bào)的精確度，故正確④相關(guān)指數(shù)用來刻畫回歸的效果，越大，說明模型的擬合效果越好，故錯(cuò)誤綜上，說法正確的是②③故選【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是命題真假的判斷，運(yùn)用相關(guān)知識(shí)來進(jìn)行判斷，屬于基礎(chǔ)題3、A【解題分析】試題分析：∵x3<x2，∴x2∵loga(2-1)=loga1=0考點(diǎn)：命題的真假．4、C【解題分析】

首先求得甲的平均數(shù)，然后結(jié)合題意確定污損的數(shù)字可能的取值，最后利用古典概型計(jì)算公式求解其概率值即可.【題目詳解】由題意可得：，設(shè)被污損的數(shù)字為x，則：，滿足題意時(shí)，，即：，即x可能的取值為,結(jié)合古典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值：.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查莖葉圖的識(shí)別與閱讀，平均數(shù)的計(jì)算方法，古典概型計(jì)算公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5、C【解題分析】

對(duì)的范圍分類，即可將“方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根”轉(zhuǎn)化為“在內(nèi)有實(shí)數(shù)解，且方程的正根落在內(nèi)”，記，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理即可列不等式組，解得：，問題得解．【題目詳解】當(dāng)時(shí)，可化為：整理得：當(dāng)時(shí)，可化為：整理得：，此方程必有一正、一負(fù)根.要使得方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則在內(nèi)有實(shí)數(shù)解，且方程的正根落在內(nèi).記，則，即：，解得：.故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分類思想及轉(zhuǎn)化思想，還考查了函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，還考查了計(jì)算能力及分析能力，屬于難題．6、D【解題分析】

由已知條件推導(dǎo)得到f′（1）=-4，由此能求出曲線y=f（x）在（1，f（1））處切線的斜率．【題目詳解】由，得，∴曲線在點(diǎn)處的切線斜率為-4，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及運(yùn)算，求解問題的關(guān)鍵，在于對(duì)所給極限表達(dá)式進(jìn)行變形，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上的點(diǎn)的切線斜率，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

由條件概率與獨(dú)立事件可得：，P(AB)=，所以P(A|B)=，得解.【題目詳解】由已知有事件概率為：，事件概率為：P(AB)=，所以P(A|B)=，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計(jì)算，條件概率的兩種求法:(1)定義法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=即可；(2)基本事件法:借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=，本題屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】分析：根據(jù)題意，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為減函數(shù)，分析的特殊值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得在區(qū)間和上都有，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得在區(qū)間和上都有，進(jìn)而將不等式變形轉(zhuǎn)化可得或，解可得x的取值范圍，即可得答案.詳解：根據(jù)題意，設(shè)，其導(dǎo)數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，則有，即函數(shù)在上為減函數(shù)，又，則在區(qū)間上，，又由，則，在區(qū)間上，，又由，則，則在區(qū)間和上都有，又由為奇函數(shù)，則在區(qū)間和上都有，或，解可得：或.則x的取值范圍是.故選：D.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，以及不等式的解法，關(guān)鍵是分析與的解集.9、A【解題分析】

設(shè)數(shù)列的公差為，則由題意可得，求得的值，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解得值，得到答案.【題目詳解】由題意，數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，設(shè)數(shù)列的公差為，則有，即，解得，所以，，所以，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】由，得：，∴為常數(shù)列，即，故故選C11、A【解題分析】

根據(jù)題意，分析函數(shù)f（x）的奇偶性以及在區(qū)間（0，）上，有f（x）＞0，據(jù)此分析選項(xiàng)，即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，f（x）＝ln|x|（ln|x|+1），有f（﹣x）＝ln|﹣x|（ln|﹣x|+1）＝ln|x|（ln|x|+1）＝f（x），則f（x）為偶函數(shù)，排除C、D，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝lnx（lnx+1），在區(qū)間（0，）上，lnx＜﹣1，則有l(wèi)nx+1＜0，則f（x）＝lnx（lnx+1）＞0，排除B；故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的圖象分析，一般用排除法分析，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解題分析】

分析：構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定它的單調(diào)性，從而可得題中不等式的解．詳解：設(shè)，則，由已知當(dāng)時(shí)，，∴在上是減函數(shù)，又∵是偶函數(shù)，∴也是偶函數(shù)，，不等式即為，即，∴，∴，即．故選A．點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后解函數(shù)不等式．解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)．新函數(shù)的結(jié)構(gòu)可結(jié)合已知導(dǎo)數(shù)的不等式和待解的不等式的形式構(gòu)造．如，，，等等．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：離散型隨機(jī)變量的概率之和為1詳解：解得：。點(diǎn)睛：離散型隨機(jī)變量的概率之和為1，是分布列的性質(zhì)。14、9.【解題分析】分析：畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)求最值即可.詳解：作出如圖所示可行域：可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A（2,3）時(shí)取得最大值，故最大值為9.點(diǎn)睛：考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃的最值問題，準(zhǔn)確畫出圖形，畫出可行域確定最優(yōu)解是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】函數(shù)f（x）=的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x2+2ax+1由于函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則方程f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即有△=4a2﹣4＞0，解得，a＞1或a＜﹣1．故答案為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）16、或【解題分析】

方程相等分為兩種情況：相等或者相加等于14，計(jì)算得到答案.【題目詳解】或解得：或故答案為：或【題目點(diǎn)撥】本題考查了組合數(shù)的計(jì)算，漏解是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）2【解題分析】

（1）首先利用對(duì)圓C的參數(shù)方程（φ為參數(shù)）進(jìn)行消參數(shù)運(yùn)算，化為普通方程，再根據(jù)普通方程化極坐標(biāo)方程的公式得到圓C的極坐標(biāo)方程．（2）設(shè)，聯(lián)立直線與圓的極坐標(biāo)方程，解得；設(shè)，聯(lián)立直線與直線的極坐標(biāo)方程，解得，可得．【題目詳解】（1）圓C的普通方程為，又，所以圓C的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，則由解得，，得；設(shè)，則由解得，，得；所以【題目點(diǎn)撥】本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，考查圓的極坐標(biāo)方程，考查極坐標(biāo)方程的求解運(yùn)算，考查了學(xué)生的計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)；(2)分布列見解析，.【解題分析】

（1）由知，背誦6首，正確4首，錯(cuò)誤2首，又，所以第一首一定背誦正確，由此求出對(duì)應(yīng)的概率；（2）根據(jù)題意確定的取值，計(jì)算相對(duì)應(yīng)的概率值，寫出的分布列，求出數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】(1)當(dāng)S6＝20時(shí)，即背誦6首后，正確的有4首，錯(cuò)誤的有2首．由Si≥0(i＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背誦正確，則其余4首可任意背誦正確2首；若第一首背誦正確，第二首背誦錯(cuò)誤，第三首背誦正確，則其余3首可任意背誦正確2首．則所求的概率.(2)由題意知ξ＝|S5|的所有可能的取值為10,30,50，又，，，，∴ξ的分布列為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力與數(shù)學(xué)計(jì)算能力．19、（1）分布列見解析，期望為；（2）見解析．【解題分析】分析：（1）表示該人參加游戲甲的收益，可能取值為，，，，分布列為：（2）用表示某人參加次游戲乙的收益可能取值為，，，…，，…（且），每次獨(dú)立，獲獎(jiǎng)的概率為.滿足二項(xiàng)分布。詳解：（1）則的所有可能取值為，，，，，，，，，，；（2）證明：的所有可能取值為，，，…，，…（且），（且），，，兩式相加即得，所以.點(diǎn)睛：（1）離散型隨機(jī)變量的分布列，根據(jù)題意，搞清隨機(jī)變量的最小值和最大值，其它值隨之確定。（2）根據(jù)題意，要能判斷出是否為二項(xiàng)分布，抓題目的關(guān)鍵詞：事件相互獨(dú)立（放回），每次事件成功的概率相等.（3）二項(xiàng)分布的期望公式，方差20、（1）z＝3+4i；（2）c＝8【解題分析】

（1）設(shè)，由，進(jìn)行計(jì)算化簡(jiǎn)，得到關(guān)于的方程組，解得答案；（2）代入（1）中求出的，然后由∠AOB是直角，得到，得到關(guān)于的方程，求出的值.【題目詳解】（1）設(shè)，由，得，∴，解得．∴；（2）由題意，的坐標(biāo)分別為∴，，∵是直角，∴，即．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的表示，向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于簡(jiǎn)單題.21、（1）；（2）.【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)取得極值的條件，得到方程組，求得的值，從而得到函數(shù)的解析式；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性以及極值，通過有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，求得的取