2024屆內(nèi)蒙古包頭市稀土高新區(qū)二中數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試試題含解析

2024屆內(nèi)蒙古包頭市稀土高新區(qū)二中數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè),則()A． B．C． D．2．的展開式中的系數(shù)為（）A．100 B．80 C．60 D．403．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的四個命題：①對應(yīng)的點在第一象限；②；③是純虛數(shù)；④．其中真命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．44．定義在上的函數(shù)，若對于任意都有且則不等式的解集是（）A． B． C． D．5．函數(shù)f(x)=sin(ωx+πA．關(guān)于直線x=π12對稱 B．關(guān)于直線C．關(guān)于點π12，0對稱 D．6．如果（，表示虛數(shù)單位），那么()A．1 B． C．2 D．07．的展開式中的常數(shù)項為（）A． B． C． D．8．已知為等差數(shù)列,,則（）A．42 B．40 C．38 D．369．若，，，則（）A． B．C． D．10．生活中有這樣一個實際問題：如果一杯糖水不夠甜，可以選擇加糖的方式，使得糖水變得更甜．若，則下列數(shù)學(xué)模型中最能刻畫“糖水變得更甜”的是（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，滿足和均為偶函數(shù)，且，設(shè)，則A． B． C． D．12．已知的分布列為：設(shè)則的值為（）A． B． C． D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若正實數(shù)滿足，則的最小值為______．14．已知函數(shù)在定義域內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是______15．已知拋物線的焦點為,準(zhǔn)線與軸的交點為為拋物線上的一點,且滿足,則=_____.16．已知是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，,則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某種設(shè)備的使用年限(年)和維修費用(萬元),有以下的統(tǒng)計數(shù)據(jù):34562.5344.5（Ⅰ）畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；（Ⅱ）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；（Ⅲ）估計使用年限為10年，維修費用是多少萬元？（附：線性回歸方程中，其中，）．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線交于兩點.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點的極坐標(biāo)為，的值.19．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系．設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝2.(1)寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線C上的點到直線l的最大距離．20．（12分）已知二階矩陣A=abcd，矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個特征向量為α121．（12分）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，（Ⅰ）求證：平面BCD；（Ⅱ）求點E到平面ACD的距離.22．（10分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，M是的中點，是的中點，點在上，且滿足.（1）證明：.（2）當(dāng)取何值時，直線與平面所成的角最大？并求該角最大值的正切值.（3）若平面與平面所成的二面角為，試確定P點的位置.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：由題意將替換為，然后和比較即可.詳解：由題意將替換為，據(jù)此可得：.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法中由k到k+1的計算方法，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2、D【解題分析】

由二項式項的公式，直接得出x2的系數(shù)等于多少的表達式，由組合數(shù)公式計算出結(jié)果選出正確選項．【題目詳解】因為的展開式中含的項為,故的系數(shù)為40.故選：D【題目點撥】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)項的公式正確寫出x2的系數(shù)是解題的關(guān)鍵，對于基本公式一定要記憶熟練．3、B【解題分析】

求出z的坐標(biāo)判斷①；求出判斷②；求得的值判斷③；由兩虛數(shù)不能進行大小比較判斷④．【題目詳解】∵，∴z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（1，1），在第一象限，故①正確；，故②錯誤；，為純虛數(shù)，故③正確；∵兩虛數(shù)不能進行大小比較，故④錯誤．∴其中真命題的個數(shù)為2個．故選：B．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

令,求導(dǎo)后根據(jù)題意知道在上單調(diào)遞增，再求出，即可找到不等式的解集?！绢}目詳解】令則所以在上單調(diào)遞增，又所以的解集故選D【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解不等式，屬于中檔題。5、B【解題分析】

求出函數(shù)的解析式，然后判斷對稱中心或?qū)ΨQ軸即可．【題目詳解】函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+π3）（ω＞0）的最小正周期為π2，可得ω函數(shù)f（x）＝2sin（4x+π由4x+π3=kπ+π2，可得x=kπ當(dāng)k＝0時，函數(shù)的對稱軸為：x=π故選：B．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，周期的求法，考查計算能力，是基礎(chǔ)題6、B【解題分析】分析：復(fù)數(shù)方程左邊分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡為的形式，利用復(fù)數(shù)相等求出即可詳解：解得故選點睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)相等的充要條件，運用復(fù)數(shù)的乘除法運算法則求出復(fù)數(shù)的表達式，令其實部與虛部分別相等即可求出答案．7、C【解題分析】

化簡二項式的展開式，令的指數(shù)為零，求得常數(shù)項.【題目詳解】二項式展開式的通項為，令，故常數(shù)項為，故選C.【題目點撥】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查二項式展開式中的常數(shù)項，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】分析：由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可求，然后由即可求解.詳解：，，，，故選：B.點睛：(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題．(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．9、C【解題分析】

直接由微積分基本定理計算出可得．【題目詳解】因為，，，所以，故選：C.【題目點撥】本題考查微積分基本定理，掌握基本初等函數(shù)的積分公式是解題關(guān)鍵．10、B【解題分析】

由題意可得糖水甜可用濃度體現(xiàn)，設(shè)糖的量為，糖水的量設(shè)為，添加糖的量為，對照選項，即可得到結(jié)論．【題目詳解】由題意，若，設(shè)糖的量為，糖水的量設(shè)為，添加糖的量為，選項A，C不能說明糖水變得更甜，糖水甜可用濃度體現(xiàn)，而，能體現(xiàn)糖水變甜；選項D等價于，不成立，故選：B．【題目點撥】本題主要考查了不等式在實際生活中的運用，考查不等式的等價變形，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解題分析】分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性求出，然后即可得到答案詳解：由題意可得：故，周期為故選點睛：本題考查了函數(shù)的奇偶性和周期性，運用周期性進行化簡，結(jié)合已知條件求出結(jié)果，本題的解題方法需要掌握。12、A【解題分析】

求出η的期望，然后利用，求解即可．【題目詳解】由題意可知E（η）＝﹣101．∵，所以＝E（1η﹣2）＝1E（η）﹣21．故選A．【題目點撥】本題考查數(shù)學(xué)期望的運算性質(zhì)，也可根據(jù)兩個變量之間的關(guān)系寫出ξ的分布列，再由ξ分布列求出期望．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9【解題分析】

根據(jù)，展開后利用基本不等式求最值.【題目詳解】等號成立的條件是，即，，解得：的最小值是9.【題目點撥】本題考查了基本不等式求最值的問題，屬于簡單題型.基本不等式求最值，需滿足“一正，二定，三相等”，這三個要素缺一不可.14、【解題分析】

根據(jù)題意可知在內(nèi)能成立，利用參變量分離法，轉(zhuǎn)化為在上能成立，令，則將問題轉(zhuǎn)化為，從而得到實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】∵函數(shù)，∴在上能成立，∴，令，即為，∵的最大值為，∴，∴實數(shù)的取值范圍為，故選答案為．【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)存在減區(qū)間，經(jīng)常會運用分離變量，轉(zhuǎn)化為求最值．屬于中檔題．15、【解題分析】分析：利用拋物線的性質(zhì)，過作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于，則，則，在中可表示出，計算即可得到答案詳解：過作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于則故點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是記清拋物線上點到焦點距離等于到準(zhǔn)線距離，靈活運用拋物線的定義來解題16、【解題分析】分析：先求導(dǎo)，再求，再求.詳解：由題得令x=0得，所以.故答案為：ln2.點睛：(1)本題主要考查求導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)值的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.(2)解答本題的關(guān)鍵是求.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)詳見解析;(2);(3)當(dāng)時，萬元.【解題分析】（1）直接將四個點在平面直角坐標(biāo)系中描出；（2）先計算，，再借助計算出，求出回歸方程；（3）依據(jù)線性回歸方程求出當(dāng)時，的值：【試題分析】（1）按數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟：先驗證時成立，再假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，分析推證時也成立：(1)(2)；所求的線性回歸方程：(3)當(dāng)時，萬元18、(1)，.(2).【解題分析】分析：(1)先根據(jù)加減消元法得直線的普通方程，再根據(jù)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）先求P直角坐標(biāo)，再設(shè)直線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式，代入曲線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義以及利用韋達定理得結(jié)果.詳解：(1)的普通方程為:；又,即曲線的直角坐標(biāo)方程為:(2)解法一:在直線上,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標(biāo)方程得，即,.解法二:，，，．點睛：直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的應(yīng)用過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù)，t可正、可負、可為0)若M1，M2是l上的兩點，其對應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則(1)M1，M2兩點的坐標(biāo)分別是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若線段M1M2的中點M所對應(yīng)的參數(shù)為t，則t＝，中點M到定點M0的距離|MM0|＝|t|＝.(4)若M0為線段M1M2的中點，則t1＋t2＝0.19、（1）（2）【解題分析】

試題分析：（1）利用兩角差的余弦公式及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得直線l的普通方程；利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，消去θ可得曲線C的普通方程．（2）由點到直線的距離公式、兩角和的正弦公式，及正弦函數(shù)的有界性求得點P到直線l的距離的最大值．試題解析：⑴由得，∴由得⑵在上任取一點，則點到直線的距離為≤．∴當(dāng)－1，即時，.考點：1.極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，2.點到直線距離公式.20、A=【解題分析】

運用矩陣定義列出方程組求解矩陣A【題目詳解】由特征值、特征向量定義可知，Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩陣【題目點撥】本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣，只需運用定義得出方程組即可求出結(jié)果，較為簡單21、（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）要證明平面BCD，需要證明，，證明時主要是利用已知條件中的線段長度滿足勾股定理和等腰三角形三線合一的性質(zhì)（Ⅱ）中由已知條件空間直角坐標(biāo)系容易建立，因此可采用空間向量求解，以為坐標(biāo)原點，以方向為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和斜線的方向向量，代入公式計算試題解析：（Ⅰ）證明：為的中點，，,，，，又，，，均在平面內(nèi)，平面（Ⅱ）方法一：以為坐標(biāo)原點，以方向為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)為平面的法向量，則，取，，則點到平面的距離為方法二：設(shè)點在上，且，連，為的中點，平面，平面，平面，平面平面，平面平面，且交線為過點作于點，則平面分別為的中點，則平面，平面，平面，點到平面的距離即，故點到平面的距離為考點：1.線面垂直的判定；2.點到面的距離22、（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解題分析】

（1）以AB，AC，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點的坐標(biāo)及對應(yīng)向量的坐標(biāo)，易判斷，即；（2）設(shè)出平面ABC的一個法向量，我們易表達出，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性及正切函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，求出滿足條件的值，進而求出此時的正線值；（3）平面PMN與平面ABC所成的二面角為，則平面PMN與平面ABC法向量的夾角余弦值的絕對值為，代入向量夾角公式，可以構(gòu)造一個關(guān)于的方程，解方程即可求出