2024屆陜西省長安市第一中學高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題含解析

2024屆陜西省長安市第一中學高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖象向右平移個單位后所得的圖象關于原點對稱，則可以是（）A． B． C． D．2．已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則共軛復數(shù)等于（）A． B． C． D．3．在三棱錐中，，點為所在平面內的動點，若與所成角為定值，，則動點的軌跡是A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線4．若函數(shù)且）在R上既是奇函數(shù),又是減函數(shù),則的圖象是（）A． B．C． D．5．函數(shù)的圖象大致為()A． B．C． D．6．已知函數(shù)，則的解集為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)與（且）的圖象關于直線對稱，則“是增函數(shù)”的一個充分不必要條件是()A． B． C． D．8．若冪函數(shù)的圖象經過點，則其解析式為（）A． B． C． D．9．函數(shù)的所有零點的積為m，則有（）A． B． C． D．10．用反證法證明命題“已知，且，則中至少有一個大于”時，假設應為（）A．且 B．或C．中至多有一個大于 D．中有一個小于或等于11．玲玲到保山旅游，打電話給大學同學姍姍，忘記了電話號碼的后兩位，只記得最后一位是6，8，9中的一個數(shù)字，則玲玲輸入一次號碼能夠成功撥對的概率是()A．13 B．110 C．112．如果函數(shù)的圖象如下圖，那么導函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數(shù)且，函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍構成的集合為__________．14．已知函數(shù)（且）恒過定點，則__________.15．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是___．16．凸多面體的面數(shù)F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E之間的關系如下表.凸多面體面數(shù)(F)頂點數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569長方體6812五棱柱71015三棱錐446四棱錐558猜想一般結論:F＋V－E＝____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求與直線平行的曲線的切線方程.18．（12分）已如變換對應的變換矩陣是，變換對應的變換矩陣是.（Ⅰ）若直線先經過變換，再經過變換后所得曲線為，求曲線的方程；（Ⅱ）求矩陣的特征值與特征向量.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，是棱的中點，且.（1）求證：平面；（2）如果是棱上一點，且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.20．（12分）設實數(shù)滿足，實數(shù)滿足.（1）若，且為真，求實數(shù)的取值范圍；（2）若其中且是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知正項數(shù)列{an}為等比數(shù)列，等差數(shù)列{bn}的前n項和為Sn（n∈N*），且滿足：S11=208，S9﹣S7=41，a1=b2，a1=b1．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（2）設Tn=a1b1+a2b2+…+anbn（n∈N*），求Tn；（1）設，是否存在正整數(shù)m，使得cm·cm+1·cm+2+8=1（cm+cm+1+cm+2）．22．（10分）設數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，a1=1.若a1（I）求an及S（Ⅱ）設bn=1an+12-1

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

求出函數(shù)圖象平移后的函數(shù)解析式，再利用函數(shù)圖象關于原點對稱，即，求出，比較可得.【題目詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到.此函數(shù)圖象關于原點對稱，所以.所以.當時，．故選B.【題目點撥】由的圖象，利用圖象變換作函數(shù)的圖象，要特別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象沿軸的伸縮量的區(qū)別．先平移變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是個單位；而先周期變換(伸縮變換)再平移變換，平移的量是個單位.2、D【解題分析】試題分析：由題意得考點：復數(shù)運算3、B【解題分析】

建立空間直角坐標系，根據(jù)題意，求出軌跡方程，可得其軌跡.【題目詳解】由題，三棱錐為正三棱錐，頂點在底面的射影是底面三角形的中心，則以為坐標原點，以為軸，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，根據(jù)題意可得，設為平面內任一點，則，由題與所成角為定值，，則則，化簡得，故動點的軌跡是橢圓.選B【題目點撥】本題考查利用空間向量研究兩條直線所成的角，軌跡方程等，屬中檔題.4、A【解題分析】

由題意首先確定函數(shù)g(x)的解析式，然后結合函數(shù)的解析式即可確定函數(shù)的圖像.【題目詳解】∵函數(shù)(a>0,a≠1)在R上是奇函數(shù)，∴f(0)=0，∴k=2，經檢驗k=2滿足題意，又函數(shù)為減函數(shù)，所以，所以g(x)=loga(x+2)定義域為x>?2，且單調遞減，故選A.【題目點撥】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖像，指數(shù)函數(shù)的性質，函數(shù)的單調性和奇偶性的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.5、D【解題分析】

利用函數(shù)的奇偶性和特殊值,借助排除法即可得出結果.【題目詳解】是奇函數(shù),是偶函數(shù)，是奇函數(shù),圖象關于原點對稱,排除A選項;排除B,C選項;故選:D.【題目點撥】本題考查已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,考查函數(shù)性質,借助特殊值代入的排除法是解答本題的關鍵,難度較易.6、C【解題分析】

根據(jù)分段函數(shù)的表達式，討論當和時，不等式的解，從而得到答案?！绢}目詳解】因為，由，得：①或②；解①得;；解②得：；所以的解集為；故答案選C【題目點撥】本題考查指數(shù)不等式與對數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題。7、C【解題分析】分析：先求出，再利用充分不必要條件的定義得到充分不必要條件.詳解：因為函數(shù)與（且）的圖象關于直線對稱，所以.選項A,是“是增函數(shù)”的非充分非必要條件，所以是錯誤的.選項B,是“是增函數(shù)”的非充分非必要條件，所以是錯誤的.選項C,是“是增函數(shù)”的充分非必要條件，所以是正確的.選項D,是“是增函數(shù)”的充分必要條件，所以是錯誤的.故答案為C.點睛：（1）本題主要考查充分條件必要條件的判斷，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)已知命題是條件，命題是結論,充分條件：若，則是充分條件.必要條件：若，則是必要條件.8、C【解題分析】

設冪函數(shù)，代入點，即可求得解析式.【題目詳解】設冪函數(shù)，代入點，，解得，.故選C.【題目點撥】本題考查了冪函數(shù)解析式的求法.9、B【解題分析】

作函數(shù)y=e-x與y=|log2x|的圖象，設兩個交點的坐標為（x1，y1），（x2，y2）（不妨設x1＜x2），得到0＜x1＜1＜x2＜2，運用對數(shù)的運算性質可得m的范圍．【題目詳解】令f（x）=0，即e-x=|log2x|，

作函數(shù)y=e-x與y=|log2x|的圖象，

設兩個交點的坐標為（x1，y1），（x2，y2）

（不妨設x1＜x2），

結合圖象可知，0＜x1＜1＜x2＜2，

即有e-x1=-log2x1，①

e-x2=log2x2，②

由-x1＞-x2，

②-①可得log2x2+log2x1＜0，

即有0＜x1x2＜1，

即m∈（0，1）．

故選：B．【題目點撥】本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，以及轉化思想和數(shù)形結合的思想應用，屬于中檔題．10、A【解題分析】

根據(jù)已知命題的結論的否定可確定結果.【題目詳解】假設應為“中至少有一個大于”的否定，即“都不大于”，即“且”.故選：.【題目點撥】本題考查反證法的相關知識，屬于基礎題.11、D【解題分析】

由分步計數(shù)原理和古典概型求得概率．【題目詳解】由題意可知，最后一位有3種可能，倒數(shù)第2位有10種可能，根據(jù)分步計數(shù)原理總共情況為N=3×10=30，滿足情況只有一種，概率為P=1【題目點撥】利用排列組合計數(shù)時，關鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏.在本題中，只有兩個號碼都拔完這種事情才完成，所以是分步計數(shù)原理．12、A【解題分析】試題分析：的單調變化情況為先增后減、再增再減因此的符號變化情況為大于零、小于零、大于零、小于零，四個選項只有A符合，故選A.考點：1、函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；2、函數(shù)圖象的應用.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調性，導數(shù)的應用以及數(shù)學化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】分析：先確定各段單調遞增，再考慮結合點處也單調遞增，解得實數(shù)的取值范圍.詳解：因為在上單調遞增，所以因此實數(shù)的取值范圍構成的集合為.點睛：已知函數(shù)的單調性確定參數(shù)的值或范圍要注意以下兩點：(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調的；(2)分段函數(shù)的單調性，除注意各段的單調性外，還要注意銜接點的取值；（3）復合函數(shù)的單調性，不僅要注意內外函數(shù)單調性對應關系，而且要注意內外函數(shù)對應自變量取值范圍.14、【解題分析】令指數(shù)，則：，據(jù)此可得定點的坐標為：，則：.15、【解題分析】

對的范圍分類討論函數(shù)的單調性，再利用可判斷函數(shù)在上遞增，利用函數(shù)的單調性將轉化成：，解得：，問題得解.【題目詳解】當時，，它在上遞增，當時，，它在上遞增，又所以在上遞增，所以可化為：，解得：.所以實數(shù)的取值范圍是故填：【題目點撥】本題主要考查了分類思想及函數(shù)單調性的應用，還考查了轉化能力及計算能力，屬于中檔題。16、2【解題分析】

根據(jù)前面幾個多面體所滿足的結論，即可猜想出【題目詳解】由題知：三棱柱：，則，長方體：，則，五棱柱：，則，三棱錐：，則四棱錐：，則，通過觀察可得面數(shù)、頂點數(shù)、棱數(shù)的關系為。【題目點撥】本題由幾個特殊多面體，觀察它們的面數(shù)、頂點數(shù)、棱數(shù)，歸納出一般結論，著重考查歸納推理和凸多面體的性質等知識，屬于基礎題。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)或.【解題分析】

(1)由題意可得，切線的斜率為，據(jù)此可得切線方程為.(2)設與直線平行的切線的切點為，由導函數(shù)與切線的關系可得，則切線方程為或.【題目詳解】(1)∵，∴，求導數(shù)得，∴切線的斜率為，∴所求切線方程為，即.(2)設與直線平行的切線的切點為，則切線的斜率為.又∵所求切線與直線平行，∴，解得，代入曲線方程得切點為或，∴所求切線方程為)或)，即或.【題目點撥】本題主要考查導函數(shù)研究函數(shù)的切線方程及其應用，導數(shù)的幾何意義等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）先求出變換矩陣，然后設曲線上一點，列出方程即可得到方程；（Ⅱ）先利用多項式求出特征根，然后求出特征向量.【題目詳解】解：（Ⅰ），在曲線上任取一點，在變換的作用下得到點，則即，整理得，則即代入中得.（Ⅱ）矩陣的特征多項式為，令得或，①當時，由，得即令，則.所以矩陣的一個特征向量為；②當時，由，得，即令，則.所以矩陣的一個特征向量.【題目點撥】本題主要考查矩陣變換，特征值和特征向量的相關運算.意在考查學生的分析能力和計算能力，難度中等.19、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】試題分析：（1）由所以．又因為底面平面；（2）如圖以為原點建立空間直角坐標系，求得平面的法向量和．試題解析：（1）連結，因為在中，，所以，所以．因為，所以．又因為底面，所以，因為，所以平面（2）如圖以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則．因為是棱的中點，所以．所以，設為平面的法向量，所以，即，令，則，所以平面的法向量因為是在棱上一點，所以設．設直線與平面所成角為，因為平面的法向量，所以．解得，即，所以考點：1、線面垂直；2、線面角.20、（1）（2）【解題分析】

（1）解一元二次不等式求得中的取值范圍，解絕對值不等式求得中的取值范圍，根據(jù)為真，即都為真命題，求得的取值范圍.（2）解一元二次不等式求得中的取值范圍，根據(jù)是的充分不必要條件列不等式組，解不等式組求得實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】對于：由得，解（1）當時，對于：，解得，由于為真，所以都為真命題，所以解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（2）當時，對于：，解得.由于是的充分不必要條件，所以是的必要不充分條件，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查根據(jù)含有邏輯連接詞命題真假性求參數(shù)的取值范圍，考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.21、（1）；（2）；（1）存在，m=2．【解題分析】分析：（1）先根據(jù)已知條件列方程求出b1=﹣2，d=1,得到等差數(shù)列{bn}的通項，再求出，即得等比數(shù)列{an}的通項.(2)利用錯位相減法求Tn.(1)對m分類討論，探究是否存在正整數(shù)m，使得cm·cm+1·cm+2+8=1（cm+cm+1+cm+2）．詳解：（1）等差數(shù)列{bn}的前n項和為Sn（n∈N*），且滿足：S11=208，S9﹣S7=41，即解得b7=16，公差為1，∴b1=﹣2，bn=1n﹣5，∵a1=b2=1，a1=b1=4，數(shù)列{an}為等比數(shù)列，∴an=2n﹣1，n∈N*（2）Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=﹣2×1+1×2+…+（1n﹣5）2n﹣1，①∴2Tn=﹣2×2+1×22+…+（1n﹣5）2n，②①﹣①得﹣Tn=﹣2+1（2+22+…+2n﹣1）﹣（1n﹣5）2n=（8﹣1n）2n﹣8，∴Tn=（1n﹣8）2n+8，n∈N*（1）∵設，當m=1時，c1?c