2024屆吉林省蛟河市第一中學校數(shù)學高二第二學期期末檢測試題含解析

2024屆吉林省蛟河市第一中學校數(shù)學高二第二學期期末檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則（）A． B． C． D．2．已知實數(shù)，則的大小關系是()A． B． C． D．3．已知復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)（）A． B． C． D．4．用數(shù)學歸納法證明，則當時左端應在的基礎上（）A．增加一項 B．增加項C．增加項 D．增加項5．從4名男同學和3名女同學中選出3名參加某項活動，則男女生都有的選法種數(shù)是（）A．18 B．24 C．30 D．366．運用祖暅原理計算球的體積時，構造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，與半球（如圖一）放置在同一平面上，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐（如圖二），用任何一個平行與底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此證明該幾何體與半球體積相等.現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖三），類比上述方法，運用祖暅原理可求得其體積等于（）A． B． C． D．7．復數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為（）A． B． C． D．8．ΔABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，的圖象過點，且在上單調，的圖象向左平移個單位后得到的圖象與原圖象重合，若存在兩個不相等的實數(shù)，滿足，則（）A． B． C． D．10．如圖，陰影部分的面積是（）A． B． C． D．11．設m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若13a=7b，則m＝()A．5 B．6 C．7 D．812．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．3 B．9 C．18 D．27二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．觀察下面幾個算式：；；；1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25.利用上面算式的規(guī)律，計算______14．已知數(shù)列為正項的遞增等比數(shù)列，，，記數(shù)列的前n項和為，則使不等式成立的最大正整數(shù)n的值是_______．15．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3.1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，則p（X>4）=16．某種產品每箱裝6個,其中有4個合格,2個不合格,現(xiàn)質檢人員從中隨機抽取2個進行檢測,則檢測出至少有一個不合格產品的概率是_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若不等式的解集包含，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知曲線在處的切線方程為.（Ⅰ）求值.（Ⅱ）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.點的直角坐標為，直線與曲線交于兩點.（Ⅰ）寫出點的極坐標和曲線的普通方程；（Ⅱ）當時，求點到兩點的距離之積.20．（12分）選修4-5：不等式選講（1）已知，且，證明；（2）已知，且，證明.21．（12分）在如圖所示的多面體中，平面，，，，，，，是的中點.（1）求證：；（2）求二面角的平面角的余弦值.22．（10分）設等差數(shù)列的公差為d、前n項和為，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式：（2）令，求數(shù)列的前n項和．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

結合函數(shù)、不等式及絕對值含義判斷即可【題目詳解】對，若，則，但推不出，故錯；對，若，設，則函數(shù)為增函數(shù)，則，故錯；對，若，但推不出，故錯誤；對，設，則函數(shù)為增函數(shù)，當時，，則，故正確；故選：D【題目點撥】本題考查由指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)及絕對值的含義比大小，屬于基礎題2、B【解題分析】

根據(jù)，利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調性即可得出．【題目詳解】解：∵，∴，，．∴．故選：B．【題目點撥】本題考查了指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．3、A【解題分析】

利用等式把復數(shù)z計算出來，然后計算z的共軛復數(shù)得到答案.【題目詳解】，則.故選A【題目點撥】本題考查了復數(shù)的計算和共軛復數(shù),意在考查學生對于復數(shù)的計算能力和共軛復數(shù)的概念,屬于簡單題.4、D【解題分析】

明確從變?yōu)闀r，等式左端的變化，利用末尾數(shù)字作差即可得到增加的項數(shù).【題目詳解】當時，等式左端為：當時，等式左端為：需增加項本題正確選項：【題目點撥】本題考查數(shù)學歸納法的基礎知識，關鍵是明確等式左端的數(shù)字變化規(guī)律.5、C【解題分析】

由于選出的3名學生男女生都有，所以可分成兩類，一類是1男2女，一類是2男1女.【題目詳解】由于選出的3名學生男女生都有，所以可分成兩類：（1）3人中是1男2女，共有；（2）3人中是2男1女，共有；所以男女生都有的選法種數(shù)是.【題目點撥】本題考查分類與分步計算原理，考查分類討論思想及簡單的計算問題.6、C【解題分析】

根據(jù)橢圓方程,構造一個底面半徑為2,高為3的圓柱,通過計算可知高相等時截面面積相等,因而由祖暅原理可得橄欖球幾何體的體積的一半等于圓柱的體積減去圓錐的體積.【題目詳解】由橢圓方程,構造一個底面半徑為2,高為3的圓柱在圓柱中挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點、上底面為底面的圓錐當截面與底面距離為時，截圓錐得到的截面小圓半徑為則，即所以截面面積為把代入橢圓方程，可求得所以橄欖球形狀幾何體的截面面積為由祖暅原理可得橄欖球幾何體的體積為故選:C【題目點撥】本題考查了類比推理的綜合應用,空間幾何體體積的求法,屬于中檔題.7、B【解題分析】

由虛數(shù)的定義求解．【題目詳解】復數(shù)的虛部是－1．故選：B．【題目點撥】本題考查復數(shù)的概念，掌握復數(shù)的概念是解題基礎．8、D【解題分析】

邊化角，再利用三角形內角和等于180°，全部換成B角，解出即可【題目詳解】（）【題目點撥】本題考查正弦定理解三角形，屬于基礎題．9、A【解題分析】

由圖像過點可得，由的圖象向左平移個單位后得到的圖象與原圖象重合，可知，結合在上單調，從而得到，由此得到的解析式，結合圖像，即可得到答案。【題目詳解】因為的圖象過點，則，又，所以.一方面，的圖象向左平移單位后得到的圖象與原函數(shù)圖象重合，則，即，化簡可知．另一方面，因為在上單調，所以，即，化簡可知.綜合兩方面可知．則函數(shù)的解析式為，結合函數(shù)圖形，因為，當時，，結合圖象可知則，故選A．【題目點撥】本題主要考查正弦函數(shù)解析式的求法，以及函數(shù)圖像的應用，考查學生的轉化能力，屬于中檔題。10、C【解題分析】

運用定積分的性質可以求出陰影部分的面積.【題目詳解】設陰影部分的面積為，則.選C【題目點撥】考查了定積分在幾何學上的應用，考查了數(shù)學運算能力.11、B【解題分析】試題分析：由題意可知,,,即,,解得．故B正確．考點：1二項式系數(shù)；2組合數(shù)的運算．12、D【解題分析】設等差數(shù)列的首項為，公差為.∵∴，即∴∴故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10000【解題分析】觀察歸納中間數(shù)為2，結果為4＝22；中間數(shù)為3，結果為9＝32；中間數(shù)為4，結果為16＝42；于是中間數(shù)為100，結果應為1002＝10000.故答案為：10000點睛：這個題目考查的是合情推理中的數(shù)學式子的推理；一般對于這種題目，是通過數(shù)學表達式尋找規(guī)律，進而得到猜想．或者通過我們學習過程中的一些特例取歸納推理，注意觀察題干中的式子的規(guī)律，以免出現(xiàn)偏差．14、6【解題分析】

設等比數(shù)列{an}的公比q，由于是正項的遞增等比數(shù)列，可得q＞1．由a1+a5=82，a2?a4=81=a1a5，∴a1，a5，是一元二次方程x2﹣82x+81=0的兩個實數(shù)根，解得a1，a5，利用通項公式可得q，an．利用等比數(shù)列的求和公式可得數(shù)列{}的前n項和為Tn．代入不等式2019|Tn﹣1|＞1，化簡即可得出．【題目詳解】數(shù)列為正項的遞增等比數(shù)列，，a2?a4=81=a1a5，即解得，則公比，∴，則，∴，即，得，此時正整數(shù)的最大值為6.故答案為6.【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．15、0.1587【解題分析】

P(3≤X≤4)=12P(2≤X≤4)=0.3413,

觀察如圖可得,

∴P(X>4)=0.5-P(3≤X≤4)=0.5-0.3413

=0.1587考點：正態(tài)分布點評：隨機變量～N(μ,δ2)中，16、【解題分析】

首先明確試驗發(fā)生包含的事件是從6個產品中抽2個，共有種結果，滿足條件的事件是檢測出至少有一個不合格產品，共有種結果，根據(jù)古典概型概率公式得到結果.【題目詳解】由題意知本題是一個等可能事件的概率，因為試驗發(fā)生包含的事件是6個產品中抽取2個，共有種結果，滿足條件的事件是檢測出至少有一個不合格產品，共有種結果，所以檢測出至少有一個不合格產品的概率是，故答案是：.【題目點撥】該題考查的是有關等可能事件的概率的求解問題，在解題的過程中，注意對試驗所包含的基本事件數(shù)以及滿足條件的基本事件數(shù)，以及概率公式，屬于簡單題目.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)或(2)【解題分析】

運用分類討論去絕對值，然后求出不等式結果由題意得，結合解集得出不等式組求出結果【題目詳解】（1）即①當時，原不等式化為，即，解得，∴；②當時，原不等式化為，即，解得，∴.③當時，原不等式化為，即，解得，∴∴不等式的解集為或.（2）不等式可化為問題轉化為在上恒成立，又，得∴，∴.【題目點撥】本題考查了含有絕對值問題的不等式，首先需要進行分類討論去掉絕對值，然后求出不等式結果，在第問中需要進行轉化，繼而只有一個絕對值問題求解。18、(Ⅰ)；(Ⅱ)【解題分析】

（Ⅰ）利切點為曲線和直線的公共點，得出，并結合列方程組求出實數(shù)、的值；（Ⅱ）解法1：由，得出，將問題轉化為直線與曲線的圖象有兩個交點時，求出實數(shù)的取值范圍，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值，借助數(shù)形結合思想得出實數(shù)的取值范圍；解法2：利用導數(shù)得出函數(shù)的極小值為，并利用極限思想得出當時，，結合題意得出，從而得出實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】（Ⅰ），，；（Ⅱ）解法1：，函數(shù)有兩個零點，相當于曲線與直線有兩個交點.，當時，在單調遞減，當時，在單調遞增，時，取得極小值，又時，；時，，；解法2：，，當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞增，時，取得極小值，又時，，.【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)的零點個數(shù)問題，對于直線與函數(shù)曲線相切的問題，一般要抓住以下兩點：（1）切點為切線和函數(shù)曲線的公共點，于此可列等式；（2）導數(shù)在切點處的導數(shù)值等于切線的斜率．19、(1)見解析;(2).【解題分析】分析：⑴由極坐標方程求出點的極坐標，運用求得曲線的普通方程⑵將代入，求出直線的參數(shù)方程，然后計算出結果詳解：（Ⅰ）由得，又得，∴點的極坐標為.由得，所以有，由得，所以曲線的普通方程為：.（Ⅱ）因為，點在上，∴直線的參數(shù)方程為：，將其代入并整理得，設所對應的參數(shù)分別為，且有，所以.點睛：本題考查了極坐標和普通方程之間的轉化，運用代入化簡即可，在求距離時可以運用參數(shù)方程來解答，計算量減少20、（1）見解析（2）見解析【解題分析】

（1）由展開利用基本不等式證明即可；（2）由，結合條件即可得解.【題目詳解】證明：（1）因為，當時等號成立.（2）因為，又因為，所以，，，∴.當時等號成立，即原不等式成立.【題目點撥】本題主要考查了基本不等式的應用，需要進行配湊，具有一定的技巧性，屬于中檔題.21、（1）見解析；（2）．【解題分析】試題分析：由題意可證得兩兩垂直，建立空間直角坐標系求解．（1）通過證明，可得．（2）由題意可得平面的一個法向量為，又可求得平面的法向量為，故可求得，結合圖形可得平面與平面所成的二面角為銳角，由此可得所求余弦值．試題解析：（1）∵平面平面平面，∴，又，∴兩兩垂直，以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直