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2024屆河南省淮陽縣第一高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末考試模擬試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.曲線對稱的曲線的極坐標(biāo)方程是()A. B. C. D.2.高三畢業(yè)時,甲,乙,丙等五位同學(xué)站成一排合影留念,在甲和乙相鄰的條件下,丙和乙也相鄰的概率為()A. B. C. D.3.將兩枚骰子各擲一次,設(shè)事件{兩個點(diǎn)數(shù)都不相同},{至少出現(xiàn)一個3點(diǎn)},則()A. B. C. D.4.已知a>0,b>-1,且a+b=1,則的最小值為()A. B. C. D.5.已知雙曲線,若其過一、三象限的漸近線的傾斜角,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.6.小趙、小錢、小孫、小李到個景點(diǎn)旅游,每人只去一個景點(diǎn),設(shè)事件“個人去的景點(diǎn)彼此互不相同”,事件“小趙獨(dú)自去一個景點(diǎn)”,則()A. B. C. D.7.甲、乙、丙,丁四位同學(xué)一起去問老師詢問成語競賽的成績。老師說:你們四人中有兩位優(yōu)秀,兩位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績.看后甲對大家說:我還是不知道我的成績,根據(jù)以上信息,則()A.乙、丁可以知道自己的成績 B.乙可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績 D.丁可以知道四人的成績8.設(shè),為的展開式的第一項(為自然對數(shù)的底數(shù)),,若任取,則滿足的概率是()A. B. C. D.9.小張從家出發(fā)去看望生病的同學(xué),他需要先去水果店買水果,然后去花店買花,最后到達(dá)醫(yī)院.相關(guān)的地點(diǎn)都標(biāo)在如圖所示的網(wǎng)格紙上,網(wǎng)格線是道路,則小張所走路程最短的走法的種數(shù)為()A.72 B.56 C.48 D.4010.復(fù)數(shù)的虛部為()A.2 B. C. D.11.已知集合,,下列結(jié)論成立的是A. B. C. D.12.已知,則展開式中,項的系數(shù)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍______.14.關(guān)于圓周率,祖沖之的貢獻(xiàn)有二:①;②用作為約率,作為密率,其中約率與密率提出了用有理數(shù)最佳逼近實數(shù)的問題.約率可通過用連分?jǐn)?shù)近似表示的方法得到,如:,舍去0.0625135,得到逼近的一個有理數(shù)為,類似地,把化為連分?jǐn)?shù)形式:(m,n,k為正整數(shù),r為0到1之間的無理數(shù)),舍去r得到逼近的一個有理數(shù)為__________.15.在的展開式中,的系數(shù)為_____.16.在極坐標(biāo)系中,直線與曲線交于兩點(diǎn),則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,OA,OB是兩條互相垂直的筆直公路,半徑OA=2km的扇形AOB是某地的一名勝古跡區(qū)域.當(dāng)?shù)卣疄榱司徑庠摴袍E周圍的交通壓力,欲在圓弧AB上新增一個入口P(點(diǎn)P不與A,B重合),并新建兩條都與圓弧AB相切的筆直公路MB,MN,切點(diǎn)分別是B,P.當(dāng)新建的兩條公路總長最小時,投資費(fèi)用最低.設(shè)∠POA=,公路MB,MN的總長為.(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出函數(shù)的定義域;(2)當(dāng)為何值時,投資費(fèi)用最低?并求出的最小值.18.(12分)已知直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))(Ⅰ)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;(Ⅱ)若過且與直線垂直的直線與曲線相交于兩點(diǎn),,求.19.(12分)若一圓錐的底面半徑為4,體積是.(1)求該圓錐的母線長;(2)已知該圓錐的頂點(diǎn)為,并且、為圓錐的兩個母線,求線段長度為何值時,△的面積取得最大值?20.(12分)2018年雙11當(dāng)天,某購物平臺的銷售業(yè)績高達(dá)2135億人民幣.與此同時,相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體系,現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易,并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計,對商品的好評率為0.9,對服務(wù)的好評率為0.75,其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為140次.(1)請完成下表,并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.5%的前提下,認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)?對服務(wù)好評對服務(wù)不滿意合計對商品好評140對商品不滿意10合計200(2)若將頻率視為概率,某人在該購物平臺上進(jìn)行的3次購物中,設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為X.①求隨機(jī)變量X的分布列;②求X的數(shù)學(xué)期望和方差.附:K2P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)已知正項數(shù)列{an}為等比數(shù)列,等差數(shù)列{bn}的前n項和為Sn(n∈N*),且滿足:S11=208,S9﹣S7=41,a1=b2,a1=b1.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;(2)設(shè)Tn=a1b1+a2b2+…+anbn(n∈N*),求Tn;(1)設(shè),是否存在正整數(shù)m,使得cm·cm+1·cm+2+8=1(cm+cm+1+cm+2).22.(10分)已知函數(shù)對任意實數(shù)滿足.(1)當(dāng)?shù)闹芷谧畲笾禃r,求函數(shù)的解析式,并求出單調(diào)的遞增區(qū)間;(2)在(1)的條件下,若,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】
先把兩曲線極坐標(biāo)方程化為普通方程,求得對稱曲線,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程。【題目詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程可知曲線為,曲線為,所以對稱直線為,化為極坐標(biāo)方程為,選A.【題目點(diǎn)撥】由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式,利用這個公式可以實現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化。2、B【解題分析】
記事件甲乙相鄰,事件乙丙相鄰,利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計算出和,再利用條件概率公式可計算出所求事件的概率.【題目詳解】記事件甲乙相鄰,事件乙丙相鄰,則事件乙和甲丙都相鄰,所求事件為,甲乙相鄰,則將甲乙兩人捆綁,與其他三位同學(xué)形成四個元素,排法種數(shù)為,由古典概型的概率公式可得.乙和甲丙都相鄰,則將甲乙丙三人捆綁,且乙位置正中間,與其他兩位同學(xué)形成三個元素,排法種數(shù)為,由古典概型的概率公式可得,由條件概率公式可得,故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計算,解這類問題時,要弄清各事件事件的關(guān)系,利用排列組合思想以及古典概型的概率公式計算相應(yīng)事件的概率,并靈活利用條件概率公式計算出所求事件的概率,考查計算能力,屬于中等題.3、A【解題分析】分析:利用條件概率求.詳解:由題得所以故答案為:A.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查條件概率,意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)條件概率的公式:,=.4、A【解題分析】分析:由,且,變形可得利用導(dǎo)數(shù)求其最值;詳解:,且a+b=1,∴.
令,解得,此時函數(shù)單調(diào)遞增;令,解得此時函數(shù)單調(diào)遞減.
∴當(dāng)且僅當(dāng)時,函數(shù)取得極小值即最小值,點(diǎn)睛:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,屬中檔題.5、B【解題分析】分析:利用過一、三象限的漸近線的傾斜角θ∈[,],可得1≤≤,即可求出雙曲線的離心率e的取值范圍.詳解:雙曲線=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,由過一、三象限的漸近線的傾斜角θ∈[,],∴tan≤≤tan,∴1≤≤,∴1≤≤3,∴2≤1+≤4,即2≤e2≤4,解得≤e≤2,故選:B.點(diǎn)睛:求離心率的常用方法有以下兩種:(1)求得的值,直接代入公式求解;(2)列出關(guān)于的齊次方程(或不等式),然后根據(jù),消去后轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程(或不等式)求解.6、D【解題分析】分析:這是求小趙獨(dú)自去一個景點(diǎn)的前提下,4
個人去的景點(diǎn)不相同的概率,求出相應(yīng)基本事件的個數(shù),即可得出結(jié)論.詳解:小趙獨(dú)自去一個景點(diǎn),則有3個景點(diǎn)可選,其余3人只能在小趙剩下的3個景點(diǎn)中選擇,可能性為種
所以小趙獨(dú)自去一個景點(diǎn)的可能性為種
因為4
個人去的景點(diǎn)不相同的可能性為種,
所以.
故選:D.點(diǎn)睛:本題考查條件概率,考查學(xué)生的計算能力,確定基本事件的個數(shù)是關(guān)鍵.7、A【解題分析】
根據(jù)甲的所說的話,可知乙、丙的成績中一位優(yōu)秀、一位良好,再結(jié)合簡單的合情推理逐一分析可得出結(jié)果.【題目詳解】因為甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中有兩位優(yōu)秀、兩位良好,又甲看了乙、丙的成績且還不知道自己的成立,即可推出乙、丙的成績中一位優(yōu)秀、一位良好,又乙看了丙的成績,則乙由丙的成績可以推出自己的成績,又甲、丁的成績中一位優(yōu)秀、一位良好,則丁由甲的成績可以推出自己的成績.因此,乙、丁知道自己的成績,故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡單的合情推理,解題時要根據(jù)已知的情況逐一分析,必要時可采用分類討論的思想進(jìn)行推理,考查邏輯推理能力,屬于中等題.8、D【解題分析】分析:由已知求得m,畫出A表示的平面區(qū)域和滿足ab>1表示的平面區(qū)域,求出對應(yīng)的面積比即可得答案.詳解:由題意,s=,∴m==,則A={(x,y)|0<x<m,0<y<1}={(x,y)|0<x<e,0<y<1},畫出A={(x,y)|0<x<e,0<y<1}表示的平面區(qū)域,任取(a,b)∈A,則滿足ab>1的平面區(qū)域為圖中陰影部分,如圖所示:計算陰影部分的面積為S陰影==(x﹣lnx)=e﹣1﹣lne+ln1=e﹣1.所求的概率為P=,故答案為:D.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查幾何概型,考查定積分和二項式定理,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(1)解答本題的關(guān)鍵是利用定積分求陰影部分的面積.9、A【解題分析】
分別找出從家到水果店,水果店到花店,花店到醫(yī)院的最短路線,分步完成用累乘即可.【題目詳解】由題意可得從家到水果店有6種走法,水果店到花店有3種走法,花店到醫(yī)院有4種走法,因此一共有(種)【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合中的乘法原理.屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,化簡復(fù)數(shù),即可得到復(fù)數(shù)的虛部,得到答案.【題目詳解】由題意,復(fù)數(shù),所以復(fù)數(shù)的虛部為,故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,以及復(fù)數(shù)的概念的應(yīng)用,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】由已知得,,則,故選D.12、B【解題分析】
==﹣1,則二項式的展開式的通項公式為Tr+1=﹣?,令9﹣2r=3,求得r=3,∴展開式中x3項的系數(shù)為﹣?=﹣,故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的混合運(yùn)算.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
函數(shù)在上單調(diào)遞增,等價于在恒成立,再利用最值法運(yùn)算即可.【題目詳解】解:因為,所以,因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以在恒成立,即在恒成立,又當(dāng)時,取最小值,即,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍,重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.14、.【解題分析】
利用題中的定義以及類比推理直接進(jìn)行求解即可.【題目詳解】舍去得到逼近的一個有理數(shù)為.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查了類比推理,解題的關(guān)鍵是理解題中的定義,屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】
本題考查二項式定理.二項展開式的第項為.則的第項為,令,可得的系數(shù)為16、【解題分析】
把圓與直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,利用圓心在直線上可得.【題目詳解】直線化為直線圓化為,配方為,可得圓心,半徑.則圓心在直線上,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)方程和普通方程的互化、圓的弦長公式計算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)當(dāng)時,投資費(fèi)用最低,此時的最小值為.【解題分析】
(1)由題意,設(shè),利用平面幾何的知識和三角函數(shù)的關(guān)系式及三角恒等變換的公式,即可得函數(shù)的關(guān)系式;(2)利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式和恒等變換的公式,求得的解析式,再利用基本不等式,即可求得投資的最低費(fèi)用,得到答案.【題目詳解】(1)連接,在中,,故,據(jù)平面幾何知識可知,在中,,故,所以,顯然,所以函數(shù)的定義域為,即函數(shù)關(guān)系式為,且.(2)化簡(1)中的函數(shù)關(guān)系式可得:令,則,代入上式得:當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”,此時求得,又,所以∴當(dāng)時,投資費(fèi)用最低,此時的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的實際應(yīng)用,以及基本不等式求最值問題,其中根據(jù)平面幾何的知識和三角函數(shù)的關(guān)系式和恒等變換的公式,得到函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵,著重靠考查了分析問題和解答問題的能力,以及推理與運(yùn)算能力.18、(Ⅰ),(Ⅱ)【解題分析】
(Ⅰ)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,即可求得直線的直角坐標(biāo)方程,消去參數(shù),即可求得曲線的普通方程;(Ⅱ)求得直線的參數(shù)方程,代入橢圓的方程,利用直線參數(shù)的幾何意義,即可求解.【題目詳解】(Ⅰ)由直線極坐標(biāo)方程為,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,可得直線直角坐標(biāo)方程:,由曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),則,整理得,即橢圓的普通方程為.(Ⅱ)直線的參數(shù)方程為,即(為參數(shù))把直線的參數(shù)方程代入得:,故可設(shè),是上述方程的兩個實根,則有又直線過點(diǎn),故由上式及的幾何意義得:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程,以及參數(shù)方程與普通方程的互化,以及直線參數(shù)的應(yīng)用,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)5;(2).【解題分析】
(1)先根據(jù)體積求高,再根據(jù)母線與高的關(guān)系求結(jié)果;(2)先確定△的面積最大值何時取得,再根據(jù)勾股定理求長度.【題目詳解】(1)因為圓錐的底面半徑為4,體積是,所以因此母線長為;(2)△的面積因為,所以當(dāng)時,△的面積取最大值,此時【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐的體積以及截面積,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.20、(1)詳見解析(2)①詳見解析②E(X)=2110【解題分析】
(1)補(bǔ)充列聯(lián)表,根據(jù)公式計算卡方值,進(jìn)行判斷;(2)(?。┟看钨徫飼r,對商品和服務(wù)都好評的概率為710,且X的取值可以是0,1,2,3,x符合二項分布,按照二項分布的公式進(jìn)行計算即可得到相應(yīng)的概率值;(ⅱ)按照二項分布的期望和方差公式計算即可【題目詳解】(1)由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評價的2×2列聯(lián)表:對服務(wù)好評對服務(wù)不滿意合計對商品好評14040180對商品不滿意101020合計15050200則K2由于7.407<7.879,則不可以在犯錯誤概率不超過0.5%的前提下,認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān).(2)(ⅰ)每次購物時,對商品和服務(wù)都好評的概率為710且X的取值可以是0,1,2,3,則P(X=0)=(310P(X=2)=C32故X的分布列為X0123P27189441343(ⅱ)由于X~B(3,710),則E(X)=3×710【題目點(diǎn)撥】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為:第一步是“判斷取值”,即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值,以及取每個值所表示的意義;第二步是“探求概率”,即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式,以及對立事件的概率公式等),求出隨機(jī)變量取每個值時的概率;第三步是“寫分布列”,即按規(guī)范形式寫出分布列,并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確.21、(1);(2);(1)存在,m=2.【解題分析】分析:(1)先根據(jù)已知條件列方程求出b1=﹣2,d=1,得到等差數(shù)列{bn}的通項,再求出,即得等比數(shù)列{an}的通項.(2)利用錯位相減法求Tn.(1)對m分類討論,探究是否存在正整數(shù)m,使得cm·cm+1·cm+2+8=1(cm+cm+1+cm+2).詳解:(1)等差數(shù)列{bn}的前n項和為Sn(n∈N*),且滿足:S11=208,S9﹣S7=41,即解得b7=16,公差為1,∴b1=﹣2,bn=1n﹣5,∵a1=b2=1,a1=b1=4,數(shù)列{an}為等比數(shù)列,∴an=2n﹣1,n∈N*(2)Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=﹣2×1+1×2+…+(1n﹣5)2n﹣
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