2024屆浙江省寧波市慈溪市三山高級中學(xué)等六校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆浙江省寧波市慈溪市三山高級中學(xué)等六校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)與（且）的圖象關(guān)于直線對稱，則“是增函數(shù)”的一個充分不必要條件是()A． B． C． D．2．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A． B． C． D．與的值有關(guān)3．設(shè)隨機(jī)變量，若，則等于（）A． B． C． D．4．設(shè)，則A． B． C． D．5．已知，，是不全相等的正數(shù)，則下列命題正確的個數(shù)為()①；②與及中至少有一個成立；③，，不能同時(shí)成立．A． B． C． D．6．已知，，，，若（、均為正實(shí)數(shù)），根據(jù)以上等式，可推測、的值，則等于（）A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．2018年元旦期間，某高速公路收費(fèi)站的三個高速收費(fèi)口每天通過的小汽車數(shù)（單位：輛）均服從正態(tài)分布，若，假設(shè)三個收費(fèi)口均能正常工作，則這個收費(fèi)口每天至少有一個超過700輛的概率為（）A． B． C． D．9．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（）A．2 B． C． D．10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的，的值分別為（）A．3，5 B．4，7 C．5，9 D．6，1111．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．12．將曲線按變換后的曲線的參數(shù)方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，則四棱錐的體積為__________.14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為_______.15．若從4名男生和3名女生中任選2人參加演講比賽，則至少選出1名女生的概率為_______（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）．16．已知向量與共線且方向相同，則_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）函數(shù).（Ⅰ）若時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)，若函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)，且函數(shù)在和處都取得極值．（1）求，的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．19．（12分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，是棱的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）如果是棱上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.20．（12分）在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且滿足：.（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤?，求的最大值.21．（12分）在一次購物抽獎活動中，假設(shè)某張獎券中有一等獎券張，可獲得價(jià)值元的獎品，有二等獎券張，每張可獲得價(jià)值元的獎品，其余張沒有獎，某顧客從此張獎券中任抽張，求（1）該顧客中獎的概率；（2）該顧客獲得獎品總價(jià)值為元的概率.22．（10分）為更好地落實(shí)農(nóng)民工工資保證金制度，南方某市勞動保障部門調(diào)查了年下半年該市名農(nóng)民工（其中技術(shù)工、非技術(shù)工各名）的月工資，得到這名農(nóng)民工月工資的中位數(shù)為百元（假設(shè)這名農(nóng)民工的月工資均在（百元）內(nèi)）且月工資收入在（百元）內(nèi)的人數(shù)為，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫出如圖所示的頻率分布直方圖：（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）已知這名農(nóng)民工中月工資高于平均數(shù)的技術(shù)工有名，非技術(shù)工有名，則能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為是不是技術(shù)工與月工資是否高于平均數(shù)有關(guān)系？參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：先求出，再利用充分不必要條件的定義得到充分不必要條件.詳解：因?yàn)楹瘮?shù)與（且）的圖象關(guān)于直線對稱，所以.選項(xiàng)A,是“是增函數(shù)”的非充分非必要條件，所以是錯誤的.選項(xiàng)B,是“是增函數(shù)”的非充分非必要條件，所以是錯誤的.選項(xiàng)C,是“是增函數(shù)”的充分非必要條件，所以是正確的.選項(xiàng)D,是“是增函數(shù)”的充分必要條件，所以是錯誤的.故答案為C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查充分條件必要條件的判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)已知命題是條件，命題是結(jié)論,充分條件：若，則是充分條件.必要條件：若，則是必要條件.2、A【解題分析】分析：根據(jù)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對稱軸，利用對稱性，即可求得，從而求出即可.詳解：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，正態(tài)曲線的對稱軸是，，而與關(guān)于對稱，由正態(tài)曲線的對稱性得：，故.故選：A.點(diǎn)睛：解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間．利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.3、C【解題分析】由于,則由正態(tài)分布圖形可知圖形關(guān)于對稱，故，則，故選C.4、C【解題分析】分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)，然后求解復(fù)數(shù)的模.詳解：，則，故選c.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.5、C【解題分析】

①假設(shè)等式成立，由其推出a、b、c的關(guān)系，判斷與題干是否相符；②假設(shè)其全部不成立，由此判斷是否存在符合條件的數(shù)；③舉例即可說明其是否能夠同時(shí)成立.【題目詳解】對①，假設(shè)（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0?a=b=c與已知a、b、c是不全相等的正數(shù)矛盾，∴①正確；

對②，假設(shè)都不成立，這樣的數(shù)a、b不存在，∴②正確；

對③，舉例a=1，b=2，c=3，a≠c，b≠c，a≠b能同時(shí)成立，∴③不正確．

故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，利用反證法、分析法等方式即可證明，有時(shí)運(yùn)用舉例說明的方式更快捷.6、B【解題分析】

根據(jù)前面幾個等式歸納出一個關(guān)于的等式，再令可得出和的值，由此可計(jì)算出的值.【題目詳解】，，，由上可歸納出，當(dāng)時(shí)，則有，，，因此，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納推理，解題時(shí)要根據(jù)前幾個等式或不等式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行歸納，考查推理能力，屬于中等題.7、D【解題分析】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，選D.8、C【解題分析】分析：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求解即可.詳解：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，每個收費(fèi)口超過輛的概率，這三個收費(fèi)口每天至少有一個超過輛的概率，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)與實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.有關(guān)正態(tài)分布的應(yīng)用題考查知識點(diǎn)較為清晰，只要掌握以下兩點(diǎn)，問題就能迎刃而解：（1）仔細(xì)閱讀，將實(shí)際問題與正態(tài)分布“掛起鉤來”；（2）熟練掌握正態(tài)分布的性質(zhì)，特別是狀態(tài)曲線的對稱性以及各個區(qū)間概率之間的關(guān)系.9、D【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可確定最大值．【題目詳解】，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，∴已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，.故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．解題時(shí)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的增減，從而確定最值，在閉區(qū)間的最值有時(shí)可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，要注意比較．10、C【解題分析】執(zhí)行第一次循環(huán)后，，，執(zhí)行第二次循環(huán)后，，，執(zhí)行第三次循環(huán)后，，，執(zhí)行第四次循環(huán)后，此時(shí)，不再執(zhí)行循環(huán)體，故選C.點(diǎn)睛：對于比較復(fù)雜的流程圖，可以模擬計(jì)算機(jī)把每個語句依次執(zhí)行一次，找出規(guī)律即可.11、C【解題分析】，選C.12、D【解題分析】由變換：可得：,代入曲線可得：，即為：令(θ為參數(shù))即可得出參數(shù)方程．故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意可得，再利用三棱錐的體積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【題目詳解】由已知得，，，四邊形是菱形，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何體的體積，解題的關(guān)鍵是把四棱錐的體積轉(zhuǎn)化為兩個三棱錐的體積，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】分析：由條件可得①，②，由單調(diào)遞增的定義可知③，由①②③求得交集即可得到答案詳解：函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)為增，即①時(shí)也為增，即有②又由單調(diào)遞增的定義可知③由②可得由③可得故的取值范圍為點(diǎn)睛：本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，助于分段函數(shù)的分界點(diǎn)的情況，是一道中檔題，也是易錯題。15、.【解題分析】分析：從4名男生和3名女生中任選2人參加演講比賽，則所有可能結(jié)果共有種，設(shè)事件A“所選2人都是男生”，則A事件“所選2人都是男生”包含的基本事件個數(shù)有種，即可求出A事件的概率，從而利用即可.詳解：從4名男生和3名女生中任選2人參加演講比賽，則所有可能結(jié)果共有種，設(shè)事件A“所選2人都是男生”，則A事件“所選2人都是男生”包含的基本事件個數(shù)有種，，故至少選出1名女生的概率為.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查概率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式、對立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用.16、3【解題分析】

先根據(jù)向量平行，得到，計(jì)算出t的值，再檢驗(yàn)方向是否相同．【題目詳解】因?yàn)橄蛄颗c共線且方向相同所以得．解得或．當(dāng)時(shí)，，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，，與方向相同，故．【題目點(diǎn)撥】本題考查兩向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，解不等式則單調(diào)區(qū)間可求；（Ⅱ）在上有兩個零點(diǎn)，等價(jià)于在上有兩解，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求其最值即可求解【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，?dāng)，時(shí)，，在和上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.故的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為（Ⅱ）因?yàn)樵谏嫌袃蓚€零點(diǎn)，等價(jià)于在上有兩解，令則令則在上單調(diào)遞增，又在上有，在有時(shí)，，時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，，由有兩解及可知.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值，不等式恒成立，分離參數(shù)法，零點(diǎn)個數(shù)問題，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是中檔題18、(1),；(2).【解題分析】

(1)易得和為導(dǎo)函數(shù)的兩個零點(diǎn),代入計(jì)算即可求得.(2)求導(dǎo)分析的解集即可.【題目詳解】(1)∵.∴,∵函數(shù)在和處都取得極值,故和為的兩根.故.即,(2)由(1)得故當(dāng),即時(shí),即,解得或.∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)極值點(diǎn)求解參數(shù)的問題以及求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)增區(qū)間的問題.需要根據(jù)題意求導(dǎo),根據(jù)極值點(diǎn)為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)以及導(dǎo)函數(shù)大于等于0則原函數(shù)單調(diào)遞增求解集即可.屬于中檔題.19、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】試題分析：（1）由所以．又因?yàn)榈酌嫫矫妫唬?）如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量和．試題解析：（1）連結(jié)，因?yàn)樵谥?，，所以，所以．因?yàn)?，所以．又因?yàn)榈酌?，所以，因?yàn)?，所以平面?）如圖以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以．所以，設(shè)為平面的法向量，所以，即，令，則，所以平面的法向量因?yàn)槭窃诶馍弦稽c(diǎn)，所以設(shè)．設(shè)直線與平面所成角為，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄?，所以．解得，即，所以考點(diǎn)：1、線面垂直；2、線面角.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）2.【解題分析】

（Ⅰ）運(yùn)用正弦定理實(shí)現(xiàn)角邊轉(zhuǎn)化，然后利用余弦定理，求出角的大?。唬á颍┓椒?：由（II）及，利用余弦定理，可得，再利用基本不等式，可求出的最大值；方法2：利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，利用兩角和的正弦公式和輔助角公式，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性，可求出的最大值；【題目詳解】（I）由正弦定理得：，因?yàn)椋?，所以由余弦定理得：，又在中，，所?（II）方法1：由（I）及，得，即，因?yàn)?，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）所以.則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）故的最大值為2.方法2：由正弦定理得，，則，因?yàn)?，所以，故的最大值?（當(dāng)時(shí)）.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，考查了二角和的正弦公式及輔助角公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21、(1);(2).【解題分析】分析：（1）由題意求出該顧客沒有中獎的概率，由此利用對立事件概率計(jì)算公式能求出該顧客中獎的概率；（2）利用古典概